初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.2.1 垂直于弦的直径课文配套ppt课件

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.2.1 垂直于弦的直径课文配套ppt课件，共4页。PPT课件主要包含了学习目标，解得x5，平行弦夹的弧相等，归纳总结，又∵ACAB，∴AEAD，垂径定理的实际应用，弓形中重要数量关系，cm或2cm，解连接OC等内容，欢迎下载使用。
3. 灵活运用垂径定理解决有关圆的问题.
1. 进一步认识圆，了解圆是轴对称图形.
2. 理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它解决一些简单的计算、证明和作图问题.
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？在折的过程中你有何发现？
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
例 求证：圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴.
导引：要证明圆是轴对称图形，只需证明圆上任意一点关于直径所在直线(对称轴)的对称点也在圆上.
证明：如图，设CD是⊙O的任意一条直径，A为⊙O上点C,D以外的任意 一点.过点A作AA′⊥CD，交⊙O于点A′，垂足为M，连接OA，OA′. 在△OAA′中，∵OA=OA′, ∴△OAA′是等腰三角形. 又AA′⊥CD，∴AM=MA′. 即CD是AA′的垂直平分线. 这就是说，对于圆上任意一点A， 在圆上都有关于直线CD的对称点A′，因此⊙O关于直线CD对称. 即圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧? 为什么?
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的几个基本图形：
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦；③平分弦（非直径）；④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.在一个圆中，一条直线只要满足上面五个条件中的任意两个，都可以推出其他三个结论(知二推三).
“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
例 赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1 400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
分析：解决此问题的关键是根据赵州桥的实物图画出几何图形.
在Rt△OAD中，由勾股定理，得OA2=AD2+OD2，即R2=18.52+（R-7.23）2.解得R≈27.3.因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.3 m.
由题设可知AB=37，CD=7.23，
在圆中有关弦长a，半径r，弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
d+h=r
如图，AB是圆O的弦，半径OC⊥AB于点D，若圆O的半径为5，AB=8，则CD的长是( )
A.2B.3C.4D.5
1. 如图， ⊙ O的弦AB＝8cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2cm，求半径OC的长.
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
设OC=x cm，则OD= x-2,根据勾股定理，得
即半径OC的长为5cm.
x2=42+(x-2)2，
证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧） AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD
利用垂径定理及推论证明相等
解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距（垂线段），或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
2.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E，求证四边形ADOE是正方形．
∴ 四边形ADOE为正方形.
证明：∵OE⊥AC，OD⊥AB，AB⊥AC
∴∠OEA=∠EAD=∠ODA=90°
∴四边形ADOE为矩形，AE= AC,AD= AB
例3 根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37m，CD=7.23m.
解得R≈27.3（m）.
即主桥拱半径约为27.3m.
R2=18.52+(R-7.23)2
3. 如图a、b,一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为7cm，则弓形的高为＿ ＿ ＿＿.
2cm或12cm
在圆中有关弦长a,半径r, 弦心距d（圆心到弦的距离），弓形高h的计算题时，常常通过连半径或作弦心距构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
d+h=r
1. 已知⊙O中，弦AB=8cm，圆心到AB的距离为3cm，则此圆的半径为 .
2. ⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10cm，弦MN∥EF,且MN=12cm,EF=16cm,则弦MN和EF之间的距离为 .
已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点。你认为AC和BD有什么关系？为什么？
证明：过O作OE⊥AB，垂足为E， 则AE＝BE，CE＝DE. ∴ AE－CE＝BE－DE 即 AC＝BD.
如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD,点O是弧CD的圆心),其中CD=600m,E为弧CD上的一点,且OE⊥CD，垂足为F,EF=90m.求这段弯路的半径.
设这段弯路的半径为Rm,则OF=(R-90)m.
∴这段弯路的半径约为545m.