初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）29.2.1 垂直于弦的直径课文内容ppt课件

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剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？
发现：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．　
下面我们来证明这个结论.
如图，设AB是⊙O 中任意一条直径，如果M为⊙O上点A，B以外的任意一点，M′是点M关于直线AB的对称点，那么直线AB是线段MM′的垂直平分线.因为圆心O在AB上，所以OM′=OM,因此点M′在⊙O 上.如果点M与点A或点B重合，那么结论显然也成立.
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴.
直径是线段，而对称轴是直线，所以不能说“圆的对称轴是直径”.
下列说法中，不正确的是( ) A. 圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 B. 圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合 C. 圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个 D. 圆的每一条直径都是它的对称轴
解析：圆的每条直径所在的直线都是它的对称轴，D错误.故选D.
问题：如图,MM′是⊙O 的一条弦, 直径AB⊥MM′, 垂足为N.你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧吗? 为什么?
相等的线段: MN=M′N相等的弧: 弧 MA=M′A, 弧 MB=M′B理由：把圆沿着直径AB 折叠时，点M 与点M′ 重合，MN 与M′N 重合，弧MA 和弧M′A重合,弧MB 与弧M′B 重合．这样，我们就得到垂径定理:
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
指弦所对的劣弧和优弧或两个半圆.
此处的“直径”可以是过圆心且垂直于弦的线段、直线
如图，CD ⊥ AB ，垂足为E，CD是⊙ O 的直径，那么可用几何语言表述为：
如图，OE⊥AB于点E，若⊙O的半径为10cm,OE=6cm,则AB= cm.
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换，命题是真命题吗？
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.（1）CD⊥AB吗？为什么？（2）弧AC与弧BC相等吗?弧AD与弧BD相等吗?
解：（1）如图，连接AO,BO,则AO=BO,又AE=BE，OE=OE,∴△AOE≌△BOE（SSS），∴∠AEO=∠BEO=90°，∴CD⊥AB.（2）由垂径定理可得弧AC=弧BC，弧AD =弧BD.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
“不是直径”的条件能去掉吗？
注意“不是直径”的条件不能去掉.因为圆的任意两条直径都是互相平分的.
如图，CD 是⊙ O 的直径，AB 是弦(非直径)，AB 与CD 相交于点E，且AE=BE，那么CD 垂直于AB，并且AC = CB，AD = DB .可用几何语言表述为:
根据垂径定理与推论可知对于一个圆和一条直线来说.如果具备：（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧.上述五个条件中的任意两个条件都可以推出其他三个结论.简记为：知二推三
赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有 1 400 年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，跨度（弧所对的弦的长）为 37 m，拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥拱的半径（结果保留小数点后一位）.
d + h = r
赵州桥中，弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间有以下关系：
即 R2 = (R - 7.23)2 + 18.52，
因此，赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.
解得 R ≈27.3，
1.下列说法中正确的是( ) A.在同一个圆中最长的弦只有一条 B.垂直于弦的直径必平分弦 C.平分弦的直径必垂直于弦 D.圆是轴对称图形，每条直径都是它的对称轴
2.⊙O的直径AB=20cm, ∠BAC=30°则弦AC= .
3.如图，在⊙ O 中，AB 为⊙ O 的弦，C，D 是直线 AB 上的 两点，且AC=BD.求证：△ OCD 为等腰三角形.
证明：如图，过点O 作OM ⊥ AB，垂足为M.∵ OM ⊥ AB，∴ AM=BM.∵ AC=BD，∴ CM=DM.又∵ OM ⊥ CD，∴ OC=OD.∴△ OCD 为等腰三角形.