初中数学人教版（2024）七年级上册（2024）直线、射线、线段精品导学案

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内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 直线、射线、线段
【典例1】如图，有一把磨损严重的直尺，上面的大部分刻度已经看不清了，能看清的只有4个刻度（单位：cm）．用这把直尺能直接量出的不同长度有（ ）
A．3个B．6个C．8个D．10个
【变式1】如图，下列说法正确的是（ ）
A．直线OB和直线BO不是同一条直线
B．点B是直线AB的一个端点
C．射线OA和射线OB不是同一条射线
D．点A在线段OB上
【变式2】下列几何图形与相应语言描述相符的是（ ）
A．延长线段AB到C
B．射线BC经过点A
C．点P既在直线a上，也在直线b上
D．射线CD与线段AB没有交点
【变式3】如图，在同一平面内有四个点A、B、C、D，请按要求完成下列问题．（注此题作图不要求写出画法和结论）
（1）作射线AC；
（2）作直线BD与射线AC相交于点O；
（3）分别连接AB、AD；
（4）我们容易判断出线段AB+AD与BD的数量关系是 ，理由是 ．
题型2 直线的性质：两点确定一条直线
【典例1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③B．②④C．①④D．②③

【变式1】如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是（ ）
A．两点之间线段最短B．两点确定一条直线
C．垂线段最短D．以上都不是
【变式2】如图，将甲，乙两把尺子拼在一起，两端重合，如果甲尺经校定是直的，那么乙尺不是直的，判断依据是 ．
【变式3】在教室中排课桌时，经常会在最前边和最后边的课桌旁拉一条直线，使得课桌排成整齐一行，体现的数学基本事实是： ．
题型3 线段的性质：两点之间线段最短
【典例1】如图，用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，则剩下的树叶周长小于原树叶的周长，能解释这一现象的数学道理是（ ）
A．两点之间直线最短
B．经过一点有无数条直线
C．两点确定一条直线
D．两点之间线段最短
【变式1】金秋十月，我校校园内色彩斑斓．小明同学捡到一片沿直线被折断了的银杏叶（如图），他发现剩下的银杏叶的周长比原银杏叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．直线没有端点，向两端无限延伸
B．两点之间，线段最短
C．经过一点有无数条直线
D．两点确定一条直线
【变式2】为了让一队学生站成一条直线，先让两名学生站好不动，其他学生依次往后站，要求目视前方只能看到各自前面的那名学生，这种做法依据的几何知识应是（ ）
A．两点确定一条直线
B．两点之间，线段最短
C．射线只有一个端点
D．两直线相交只有一个交点
【变式3】黄伯云院士说：“所谓失败，就是做事过程中的一种状态我们做事，就要遇山打洞，逢水架桥，不要轻言放弃．”你能用学过的数学知识，来解释“遇山打洞，逢水架桥”的原因吗？ ．
题型4 两点间的距离
【典例1】下列说法错误的是（ ）
A．过两点有且只有一条直线
B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离
C．两点之间，线段最短
D．射线AB和射线BA是同一条射线
【变式1】延长线段AB到C，使BC=14AB，若AC＝15，点D为线段AC的中点，则BD的长为（ ）
A．4.5B．3.5C．2.5D．1.5
【变式2】如图，C是AB的中点，D是BC的中点，下列等式不正确的是（ ）
A．CD＝AD﹣BCB．CD＝AC﹣DB
C．CD=13ABD．CD=12AB﹣DB
【变式3】【新知理解】如图1，点C在线段AB上，图中共有三条线段AB、AC和BC，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．比如：一条线段的中点是这条线段的“巧点”．
【问题解决】如图2，若AB＝18cm，点C是线段AB的巧点，则AC＝ cm．
题型5 比较线段的长短
【典例1】图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（ ）
A．OF的长B．OE的长C．OD的长D．OC的长
【变式1】如图，一支水笔正好与一把直尺平靠放在一起，小明发现：水笔的笔尖端（A点）正好对着直尺刻度约为5.6cm处，另一端（B点）正好对着直尺刻度约为20.6cm．则水笔的中点位置的刻度约为（ ）
A．15cmB．7.5cmC．13.1cmD．12.1cm
【变式2】用“叠合法”比较两条线段AB，CD的大小，其中正确的方法是（ ）
A．B．
C．D．
【变式3】（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．
①若AM＝16cm，则CD＝ cm；
②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
①若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD＝ 度．
②请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．
（3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k，用含有k的式子表示∠COD的度数．（直接写出计算结果）
题型6 线段的和差
【典例1】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（ ）
A．105cmB．20cm
C．105cm或25cmD．105cm或20cm
【变式1】题目：“如图，有公共端点P的两条线段PM，PN组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成长度相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．若已知D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，E为线段AC的中点，CD＝2，CE＝5，求线段BC的长．”甲答BC＝6，乙答BC＝12，丙答BC＝14，下列判断正确的是（ ）
A．只有甲的答案正确
B．甲、乙的答案合在一起才正确
C．甲、丙的答案合在一起才正确
D．三人的答案合在一起才正确
【变式2】已知线段AB＝18，点C是AB的中点，点D是直线AB上一点，且BD=13BC，则CD的长为（ ）
A．12B．6C．6或12D．9或12
【变式3】综合与实践
在学习数轴与线段的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“优点”进行研究．
定义：点C在线段AB上，若BC＝2AC或AC＝2BC，则称点C是线段AB的“优点”，线段AC，BC称作互为“优点”伴侣线段．
（1）观察判断
如图1，点C为线段AB的“优点”．
①若AC＝6，AC＜BC，则AB＝ ；
②若点D也是线段AB的“优点”（不同于点C），则AC BD（填“＝”或“≠”）；
（2）性质探究
如图2，在原点为O的数轴上有E，F两点，其中E点表示的数为1，F点表示的数为4．若点M在点N的左侧，且M，N均为线段OF的“优点”，求线段MN的长；
（3）拓展应用
在（2）的探究中，若点G在线段EF的延长线上，且线段EF与GF互为“优点”伴侣线段，请直接写出点G表示的数．
题型7 作图—尺规作图的定义
【典例1】下列作图语句中，正确的是（ ）
A．画直线AB＝6cm
B．延长线段AB到C
C．延长射线OA到B
D．作直线使之经过A，B，C三点
【变式1】下列作图语句正确的是（ ）
A．延长线段AB到C，使AB＝BC
B．延长射线AB
C．过点A作AB∥CD∥EF
D．作∠AOB的平分线OC
【变式2】下列语句中表述正确的是（ ）
A．延长直线ABB．延长线段AB
C．作直线AB＝BCD．延长射线OC
过 关 验 收
如图，下列说法正确的是（ ）
A．点O在线段AB上
B．点B是直线AB的一个端点
C．射线OB和射线AB是同一条射线
D．图中共有3条线段
如图，AE是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站在这段路线上往返行车，需印制（ ）种车票．
A．10B．11C．20D．22
下列说法不正确的有（ ）
①绝对值是本身的数是正数；
②符号不同的两个数互为相反数；
③两数相加，和一定大于任何一个加数；
④线段AB和线段BA表示的是同一条线段．
A．①③B．②③C．①②③D．①②④
如图，AB是一段高铁行驶路线图，图中字母表示的5个点表示5个车站，在这段路线上往返行车，需印制 20 种车票．
画图，平面上有四点，A、B、C、D，根据语句画图．
（1）画直线AB，CD交于点E；
（2）画线段AC、BD相交于F点；
（3）画射线BC．
下列四种实践方式：木匠弹墨线、打靶瞄准、弯曲公路改直、拉绳插秧，其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）个．
A．1B．2C．3D．4
“雨是最寻常的，一下就是三两天，可别恼，看，像牛毛，像花针，像细丝，密密地斜织着…”句中，雨“像细丝”说明（ ）
A．点动成线B．线动成面
C．面动成体D．两点确定一条直线
下列四个生活中的现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定这一行树所在的直线；
③从A地到B地架设电线，总是尽可能沿着线段AB方向架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．
其中可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的有（ ）
A．①②B．①③C．②③D．③④
如图，建筑工人砌墙时，经常用细绳在墙的两端之间拉一条参照线，使砌的每一层砖在一条直线上，这样做的依据是（ ）
A．直线比曲线短B．两点之间，线段最短
C．两点确定一条直线D．垂线段最短
如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是 ．
生活中，有下列两个现象，对于这两个现象的解释，正确的是（ ）
A．均用两点之间线段最短来解释
B．均用经过两点有且只有一条直线来解释
C．现象1用两点之间线段最短来解释，现象2用经过两点有且只有一条直线来解释
D．现象1用经过两点有且只有一条直线来解释，现象2用两点之间线段最短来解释
毛泽东主席在《水调歌头游泳》中写道“一桥飞架南北，天堑变通途”．正如从黄果树风景区到关岭县城的坝陵河大桥建成后，从黄果树风景区到关岭县城经大桥通过的路程缩短20公里，用所学数学知识解释这一现象恰当的是（ ）
A．过一点可以画多条直线
B．两点确定一条直线
C．两点之间线段最短
D．连接两点间线段的长度是两点间的距离
如图，l是一条笔直的公路，在公路的两侧各有一个村庄A，B，两个村庄准备集资修建一个公交车站，经过协商，要求车站到两个村庄的路程和最短，小聪帮助设计了公交车站修建点M，则小聪设计的理由是 ．
如图，A、B是河l两侧的两个村庄．现要在河l上修建一个抽水站P，使它到两个村庄A、B的距离之和最小，小丽认为在图中连接AB与l的交点就是抽水站P的位置，你认为这里用到的数学基本事实是 ．
下列四个生活、生产现象：
①用两个钉子就可以把木条固定在墙上；
②植树时，只要定出两棵树的位置，就能确定同一行所在的直线；
③从A地到B地，架设电线，总是尽可能沿着线段AB架设；
④把弯曲的公路改直，就能缩短路程．其中可用定理“两点之间，线段最短”来解释的现象有 ．（填序号）
已知点C在线段AB上，则下列条件中，不能确定点C是线段AB中点的是（ ）
A．AC=12ABB．AC＝CBC．AB＝2CBD．AC+CB＝AB
如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB＝3cm，BC＝2cm，那么A、C两点之间的距离为（ ）
A．1cmB．5cmC．1cm或5cmD．无法确定
下列说法正确的是（ ）
A．连接两点的线段叫做这两点的距离
B．过一点有且只有一条直线
C．若AP＝BP，则点P为线段为AB的中点
D．反向延长射线AB
如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝5，CE＝7，则线段BC的长为 ．
如图1，OP为一条拉直的细线，长为7cm，A，B两点在OP上，若先握住点B，将OB折向BP，使得OB重叠在BP上，如图2．再从图2的A点及与A点重叠处一起剪开，使得细线分成三段．若这三段的长度由短到长之比为1：2：4，其中以点P为一端的那段细线最长，则OB的长为 cm．
已知线段AB和点P，如果PA+PB＝AB，那么（ ）
A．点P为AB中点
B．点P在线段AB上
C．点P在线段AB外
D．点P在线段AB的延长线上
如图，已知B、C在线段AD上．
（1）图中共有 条线段；
（2）若AB＝CD．
①比较线段的大小：AC BD（填：“＞”、“＝”或“＜”）；
②若BD＝4AB，BC＝12cm，求AD的长．
综合与探究
【背景知识】
如图甲，已知线段AB＝20cm，CD＝4cm，线段CD在线段AB上运动，E，F分别是AC，BD的中点．
【知识探究】
（1）若AC＝6cm，则EF＝ cm；
（2）当线段CD在线段AB上运动时，试判断EF的长度是否发生变化？如果不变，请求出EF的长度，如果变化，请说明理由；
【类比探究】
（3）对于角，也有和线段类似的规律．如图乙，已知∠COD在∠AOB内部转动，OE，OF分别平分∠AOC和∠BOD，
①若∠AOB＝150°，∠COD＝30°，则∠EOF＝ ．
②试判断∠EOF的大小是否发生变化？如果不变，请确定∠EOF的大小，如果变化，请说明理由．
（1）特例感知：如图1，已知线段MN＝20，AB＝2，线段AB在线段MN上运动（点A不超过点M，点B不超过点N），点C和点D分别是AM，BN的中点．
①若AM＝8，则CD＝ ：（直接填写答案）
②线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD．
如图，已知线段AB上有两点C、D，且AC＝BD，M、N分别是线段AC、AD的中点，若AB＝acm，AC＝BD＝bcm，且a、b满足(a−10)2+|b2−4|=0．
（1）求AB、AC的长度．
（2）求线段MN的长度．
有两根木条，一根AB长为60cm，另一根CD长为90cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（ ）
A．15cmB．75cm
C．15cm或75cmD．以上都不对
已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，M是线段AC的中点，则线段AM的长为 cm．
如图，点C、D在线段AB上，AB＝12，AC＝2，D为线段BC的中点．求线段CD的长，补全下面过程
（1）求线段CD的长，补全下面过程：
∵AB＝12，AC＝2，
∴BC＝AB﹣AC ＝ ，
∵D为线段BC的中点，
∴CD=12BC ＝ ．
（2）若点E是直线AB上一点，且AE＝CD，则线段EB的长为 ．
【概念学习】点C在直线AB上，若ACAB=a，则称a是点C在直线AB上的“求真值”，记作QZ（A，B）C＝a．
例如，如图，若AMAB=13，则点M在直线AB上的“求真值”是13，记作QZ（A，B）M=13；若DBAB=13，则ADAB=23，故点D在直线AB上的“求真值”是23，记作QZ（A，B）D=23．
【理解与应用】
（1）已知点M在线段AB上，若AB＝5，AM＝2.5，则QZ（A，B）M＝ ；若BM＝7，QZ（A，B）M=13，则AB＝ ．
（2）如图，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段AM上，D在线段BM上）．若点C、D运动时，总有MD＝3AC，
①求QZ（A，B）M的值；
②若N是直线AB上一点，且AN﹣BN＝MN，求QZ（A，B）N的值．
题型1 直线、射线、线段
题型2 直线的性质：两点确定一条直线
题型3 线段的性质：两点之间线段最短
题型4 两点间的距离
题型5 比较线段的长短
题型6 线段的和差
题型7 作图—尺规作图的定义
解｜题｜知｜识
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
解｜题｜知｜识
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
解｜题｜知｜识
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
解｜题｜知｜识
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
解｜题｜知｜识
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
如图，AC＝BC，C为AB中点，AC=12AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB=12CB=14AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
解｜题｜知｜识
线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，
解｜题｜知｜识
（1）尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图．只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题．
（2）基本要求
它使用的直尺和圆规带有想像性质，跟现实中的并非完全相同．
直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．
圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．