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初中数学人教版七年级上册4.2 直线、射线、线段导学案及答案
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这是一份初中数学人教版七年级上册4.2 直线、射线、线段导学案及答案，文件包含42直线射线线段讲义学生版docx、42直线射线线段讲义教师版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共66页， 欢迎下载使用。
1、理解两点确定一条直线的事实，并体会它们在解决实际问题中的作用；掌握直线、射线、线段的表示方法，建立初步的符号感；理解直线、射线、线段的联系和区别，进一步发展抽象概括的能力．
2、理解线段的性质，线段的中点和两点间的距离，能对线段进行度量和比较．
知识点一： 直线
知识点二： 射线
知识点三： 线段
例题1．下列说法正确的是（ ）
A．射线PA和射线AP是同一条射线
B．射线OA的长度是12cm
C．直线ab、cd相交于点M
D．两点确定一条直线
【分析】根据射线的表示方法判断A；根据射线的定义判断B；根据直线的表示方法判断C；根据直线的性质公理判断D．
【解答】解：A、射线PA和射线AP是同一条射线，说法错误；
B、射线OA的长度是12cm，说法错误；
C、直线ab、cd相交于点M，说法错误；
D、两点确定一条直线，说法正确．
故选D．
【点评】本题考查了直线、射线的定义及表示方法：直线可用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB（或直线BA）．射线是直线的一部分，可用一个小写字母表示，如：射线l；或用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．直线与射线都是无限长，不能度量．也考查了直线的性质公理．
变式．下列说法中正确的是（ ）
A．画一条长3cm的射线B．直线、线段、射线中直线最长
C．延长线段BA到C，使AC=BAD．延长射线OA到点C
【分析】分别利用直线、射线、线段的性质分析得出答案．
【解答】解：A、画一条长3cm的射线，射线没有长度，故此选项错误；
B、直线、线段、射线中直线最长，错误，射线、直线都没有长度，故此选项错误；
C、延长线段BA到C，使AC=BA，正确；
D、延长射线OA到点C，错误，可以反向延长射线．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，正确把握相关性质是解题关键．
例题2．已知如图，则下列叙述不正确的是（ ）
A．点O不在直线AC上
B．图中共有5条线段
C．射线AB与射线BC是指同一条射线
D．直线AB与直线CA是指同一条直线
【分析】根据点与直线的关系可知点O不在直线AC上，故A说法正确，不符合题意；
图中有线段AB、AC、BC、OB、OC，共5条，故B说法正确，不符合题意；
射线表示方法是端点字母在前，故C错误，符合题意；
直线表示方法是用直线上两个点表示，没有先后顺序，故D正确，不符合题意．
【解答】解：A、点O不在直线AC上，故A说法正确，不符合题意；
B、图中有线段AB、AC、BC、OB、OC，共5条，故B说法正确，不符合题意；
C、射线AB与射线BC不是指同一条射线，故C错误，符合题意；
D、直线AB与直线CA是指同一条直线，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，以及点与直线的位置关系，关键是掌握三线的表示方法．
变式．如图，下列说法，正确说法的个数是（ ）
①直线AB和直线BA是同一条直线；
②射线AB与射线BA是同一条射线；
③线段AB和线段BA是同一条线段；
④图中有两条射线．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据直线、射线及线段的定义及特点结合图形即可解答．
【解答】解：①直线AB和直线BA是同一条直线，正确；
②射线AB与射线BA是同一条射线的顶点不同，故错误；
③线段AB和线段BA是同一条线段，正确；
④每一个点对应两个射线，图中有4条射线，故错误．
综上可得①③正确．
故选C．
【点评】本题考查直线、射线及线段的知识，属于基础题，注意基本概念的掌握．
例题3．作图，在平面内有四个点A，B，C，D，请你用直尺按下列要求作图．
（1）作射线CD；
（2）作直线AD；
（3）连结AB；
（4）作直线BD与直线AC相交于点O．
【分析】（1）直接利用射线的定义得出答案；
（2）直接利用直线的定义得出答案；
（3）直接利用线段的定义得出答案；
（4）根据直线的定义得出交点．
【解答】解：（1）如图所示：CD即为所求；
（2）如图所示：AD即为所求；
（3）如图所示：AB即为所求；
（4）如图所示：点O即为所求．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．
变式1．读句画图：如图，A，B，C，D在同一平面内，
（1）过点A和点D作直线；
（2）画射线CD；
（3）连结AB；
（4）连结BC，并反向延长BC．
【分析】根据直线：向两方无限延长；射线向一方无限延长；线段：本身不能向两方无限延长，画出图形即可．
【解答】解：作图如图所示．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，关键是掌握三种线的特点．
变式2．如图，已知点A、B、C，根据下列语句画图：（尺规作图，要保留作图痕迹．）
（1）画出直线AB；
（2）画出射线AC；
（3）在线段AB的延长线上截取线段BD，使得AD=AB+BC；
（4）画出线段CD．
【分析】直接利用直线、射线、线段的定义分别得出答案．
【解答】解：如图所示：（1）直线AB即为所求；
（2）射线AC即为所求；
（3）D点即为所求；
（4）线段CD即为所求．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．
变式3．如图，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线AC，线段BC，射线AB；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B、C），连接AD；
（3）数数看，此时图中线段共有 6 条．
【分析】（1）（2）根据直线，射线，线段的概念，利用直尺即可作出图形；
（3）根据线段的定义即可求解．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
（3）图中有线段6条，即线段AB，AD，AC，BD，BC，DC．
故答案为6．
【点评】本题考查了线段、射线以及线段的作图，是一个基础题，在作图的过程中要注意延伸性．
知识点四： 线段的画法、长短比较与和差关系
例题1.观察下列两组图形，比较线段的长短．再用直尺量一下，看看你的观察结果是否正确？
【考点】比较线段的长短．
【分析】先观察图形得出答案，再通过度量看看是否正确即可．
【解答】解：第一个图形：a＞b，第二个图形和第三个图形：a=b．
【点评】本题考查了比较两线段的长短的应用，主要考查学生观察图形的能力．
变式1.如图所示，比较这两组线段的长短．
【考点】比较线段的长短．
【分析】利用重合的方法即可比较．
【解答】解：（1）把图中的线段AB、线段CD放在一条直线上，使A、C重合，使点D与点B在A的同侧，点D在线段AB外，所以AB＜CD；
（2）把图中的线段AB、线段CD放在一条直线上，使A、C重合，点B和点D重合，所以AB=CD．
【点评】本题考查了线段长短的比较，理解比较的方法是关键．
变式1.比较图中各条线段的长短，并用刻度尺或圆规验证你的结论．
【考点】比较线段的长短．
【分析】根据线段的长短的比较方法：叠合法，测量法，可得答案．
【解答】解：把AB平移到CD上，得A′B′，，
AB=A′B′＜CD，
∴BC＜AB＜CD．
【点评】本题考查了比较线段的长短，把线段AB平移到线段CD上是解题关键．
变式2.比较下列各组线段的长短
（1）线段OA与OB．
（2）线段AB与AD．
（3）线段AB、BC与AC．
【考点】比较线段的长短．
【分析】（1）根据两条线段的一端重合，然后比较另一端即可；
（2）在线段AD上截取线段AB即可得出答案；
（3）在线段BC上截取一线段BA'和CA''使其分别与线段BA和CA相等，再在线段AC上截取AB'使其与线段AB相等，即可得出答案．
【解答】解：（1）OB＞OA；
（2）有下图可知：
AD＞AB；
（3）有下图可知：
BC＞AC＞AB．
故答案为：OB＞OA；AD＞AB；BC＞AC＞AB．
【点评】本题考查了比较线段长短的知识，属于基础题，注意基础知识的熟练掌握．
题考查了比较线段的长短，把线段AB平移到线段CD上是解题关键．
变式3.如图所示，线段AB、CD的长短关系，并用刻度尺或圆规验证．
【考点】比较线段的长短．
【分析】根据线段的长短的比较的方法：测量法，叠合法，可得答案．
【解答】解；如图：把线段AB平移到CD上，得
，
AB=A′B′＞CD．
【点评】本题考查了比较线段的长短，利用了叠合法，把线段AB平移到直线CD上是解题关键．
例题2.如图，FG可用端点标有字母的线段的差把它表示出来，这种表示方法共有 3 种．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】结合体图形将FG表示几条线段的差的形式即可．
【解答】解：FG=EH﹣EF﹣GH、FG=EG﹣EF、FG=FH﹣GH．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是直线、射线、线段，掌握图形中线段之间的和差关系是解题的关键．
变式.画图题
（1）画线段MN，使得MN=2a﹣b；
（2）在直线MN外任取一点A，画射线AM和直线AN；
（3）延长MN至点P，使AP=MA，画线段PN，试估计所画图形中PM与PN的差和线段MN的大小关系．
【考点】作图—复杂作图；比较线段的长短．
【分析】（1）①画一条直线l；②在l上任取一点M，截取MQ=2a；③在线段MQ上截取QN=b；
（2）在直线MN外任取一点A，画射线AM和直线AN即可；
（3）延长MN至点P，使AP=MA，画线段PN，再比较PM与PN的差和线段MN的大小关系．
【解答】解：（1）作图如下：MN即为所求；
（2）作图如下：
（3）作图如下：由图形可知PM﹣PN=MN．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图和比较线段的长短，会作一条线段等于已知线段，正确理解作图要求是关键．
知识点五： 线段的中点
例题1、如图，若点C为线段AB的中点，则AC= CB = AB ．
【考点】比较线段的长短．
【专题】计算题．
【分析】由于点C为中点，所以分线段AB为相等的两部分，即AC=BC．
【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC=CB=AB．
【点评】掌握线段中点的性质．
变式1．（2016秋•沧州期末）点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（ ）
A．AC=BCB．AC+BC=ABC．AB=2ACD．BC=AB
【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、C、D都可以确定点C是线段AB中点．
【解答】解：A、AC=BC，则点C是线段AB中点；
B、AC+BC=AB，则C可以是线段AB上任意一点；
C、AB=2AC，则点C是线段AB中点；
D、BC=AB，则点C是线段AB中点．
故选：B．
【点评】根据线段的中点能够写出正确的表达式．反过来，也要会根据线段的表达式来判断是否为线段的中点．
变式2．点P在线段EF上，现有四个等式①PE=PF；②PE=EF；③EF=2PE；④2PE=EF；其中能表示点P是EF中点的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据中点的定义判断各项即可得出答案．
【解答】解：①PE=PF，点P在线段EF上，可判断P是EF中点，故正确；
②PE=EF，则PE=PF，点P在线段EF上，可判断P是EF中点，故正确；
③EF=2PE，则EF=4PE，点P在线段EF上，可判断P不是EF中点，故错误；
④2PE=EF，则PE=PF，点P在线段EF上，可判断P是EF中点，故正确；
综上可得①②④正确．
故选B．
【点评】本题考查线段及重点的知识，有一定难度，注意考虑线段的延长线可能满足条件．
例题2．已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．5cm
【分析】本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上时和当点C在线段AB的延长线上时．
【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN=AC+BC=AB=5；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN=AC﹣BC=7﹣2=5．
综合上述情况，线段MN的长度是5cm．
故选D．
【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．
例题3．如图，已知线段AB=10cm，点N在AB上，NB=2cm，M是AB中点，那么线段MN的长为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【分析】根据M是AB中点，先求出BM的长度，则MN=BM﹣BN．
【解答】解：∵AB=10cm，M是AB中点，
∴BM=AB=5cm，
又∵NB=2cm，
∴MN=BM﹣BN=5﹣2=3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了线段的长短比较，根据点M是AB中点先求出BM的长度是解本题的关键．
变式1．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（ ）
A．2（a﹣b）B．2a﹣bC．a+bD．a﹣b
【分析】由已知条件可知，MN=MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD=2（MB+CN），故AD=AB+CD+BC可求．
【解答】解：∵MN=MB+CN+BC=a，BC=b，
∴MB+CN=a﹣b，
∵M是AB的中点，N是CD中点
∴AB+CD=2（MB+CN）=2（a﹣b），
∴AD=2（a﹣b）+b=2a﹣b．
故选B．
【点评】本题考查了比较线段长短的知识，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
变式2．如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点、已知AB=8，则BD=（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据两中点进行解答．
【解答】解：∵点C为线段AB的中点，AB=8，则BC=AC=4．
点D为线段AC的中点，则AD=DC=2．
∴BD=CD+BC=6．
故选C．
【点评】利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．
变式3．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线BC，使它等于3cm，则线段AC等于（ ）
A．11cmB．5cmC．11cm或5cmD．8cm或11cm
【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．
【解答】解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
（1）当C点在B点右侧时，如图所示：
AC=AB+BC=8+3=11cm；
（2）当C点在B点左侧时，如图所示：
AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm；
所以线段AC等于5cm或11cm，故选C．
【点评】本题考查了比较线段的长短，注意点的位置的确定，利用图形结合更易直观地得到结论．
变式4．如图所示，点P，Q，C都在直线AB上，且P是AC的中点，Q是BC的中点，若AC=m，BC=n，则线段PQ的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，结合图形，可求得PC=AC、CQ=BC，故PQ=PC+CQ可求．
【解答】解：∵P是AC的中点
∴PC=AC
∵Q是BC的中点
∴CQ=BC
若AC=m，BC=n
则PQ=PC+CQ=AC+BC
=
故选C．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
知识点六： 线段性质
例题1．把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，射线最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短D．两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，
故选：D．
【点评】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
变式1．如图，从A到B有①，②，③三条路线，最短的路线是①，其理由是（ ）
A．因为它最直B．两点确定一条直线
C．两点间的距离的概念D．两点之间，线段最短
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短进行分析．
【解答】解：最短的路线是①，根据两点之间，线段最短，
故选：D．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
变式2．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离
【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．
【解答】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选A．
【点评】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．
变式3．如图所示，小明家在A处，体育馆在B处，星期六小明由家去体育馆打篮球，他想尽快到达体育馆，请你帮助他选择一条最近的路线，应是（ ）
A．A→C→E→BB．A→C→D→BC．A→C→G→BD．A→C→F→E→B
【分析】根据两点之间，线段最短进行解答即可．
【解答】解：最近的路线，应是A→C→E→B，
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
例题2．如图，是边长为1m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请利用平面图形，画出蜘蛛爬行的最短路线．
【分析】根据正方体展开图，蜘蛛爬行的最短路线为两个正方形侧面组成的长方形的对角线．
【解答】解：如图，线段AB就为所作的最短路线．
【点评】本题考查了两点之间线段最短的性质，正方体的展开图，熟练掌握平面展开图确定最短路线问题是解题的关键．
变式．如图，
（1）一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？
（2）如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由．
【分析】（1）根据线段的性质：两点之间线段最短可得沿线段AB爬行路线最短；
（2）根据线段的性质：两点之间线段最短，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线．
【解答】解：（1）沿线段AB爬行．
拓展点一： 直线、射线、线段的计数问题
例题1．如图，已知A、B、C、D四个点．
（1）画直线AB、CD相交于点P；
（2）连接AC和BD并延长AC和BD相交于点Q；
（3）连接AD、BC相交于点O；
（4）以点C为端点的射线有 3 条；
（5）以点C为一个端点的线段有 6 条．
【分析】（1）、（2）、（3）分别根据直线、线段、延长线的画法作出即可；
（4）根据射线的定义即可得出答案；
（5）根据线段的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）、（2）、（3），如图所示：
（4）以点C为端点的射线有3条，分别是：射线CP、射线CD、射线CQ，
故答案为：3；
（5）以点C为一个端点的线段有6条，分别是：线段CP、线段CD、线段CA、线段CQ、线段CO、线段CB，
故答案为：6．
【点评】此题考查了直线、线段的画法，及射线、线段的定义，解题的关键是：掌握直线的画法，正确理解射线及线段的定义．
例题2．阅读表：
解答下列问题：
（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？
（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有 10 种不同的票价？②要准备 20 种车票？（直接写答案）
【分析】（1）根据表格找出规律即可求解．（2）由题意可知：n=5，然后代入（1）的等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由表格可知：点数n时，N=（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=，
（2）由题意可知：n=5，
∴N=10，
由于客车是往返行使，故准备2×10=20种车票．
故答案为：10；20
【点评】本题考查数字规律，涉及代入求值问题，注重考查学生观察推理能力．
变式1．（1）观察思考
如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建
如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；
（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；
（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．
【解答】解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D为左端点的线段有线段DB，
∴共有3+2+1=6条线段；
（2），
理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，
∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），
∴2x==m（m﹣1），
∴x=；
（3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行=28场比赛．
【点评】此题是线段的计数问题，主要考查了数线段的方法和技巧，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
变式2．如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…．
（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示）
（3）当n=100时，线段总数共有多少条？
【分析】（1）根据AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，可总结出规律，从而得出当线段AB上有6个点时，线段总数；
（2）根据（1）可得出当线段AB上有n个点时，线段总数；
（3）将n=100，代入（2）的关系式即可得出答案．
【解答】解：（1）AB上有3个点时，线段总数共有3=条；
AB上有4个点时，线段总数共有6=条；
AB上有5个点时，线段总数共有10=条；
…
AB上有n个点时，线段总数共有：，
故当线段AB上有6个点时，线段总数共有=15条；
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有：；
（3）当n=100时，线段总数共有=4950条．
【点评】本题考查了直线上点与线段之间的数量关系，要求同学们具有一定由特殊到一般的总结能力，有一定难度．
拓展点二： 作图问题
例题1．读句画图：如图，A，B，C，D在同一平面内，
（1）过点A和点D作直线；
（2）画射线CD；
（3）连结AB；
（4）连结BC，并反向延长BC．
【分析】根据直线：向两方无限延长；射线向一方无限延长；线段：本身不能向两方无限延长，画出图形即可．
【解答】解：作图如图所示．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，关键是掌握三种线的特点．
例题2．作图题：已知平面上点A，B，C，D．按下列要求画出图形：
（1）作直线AB，射线CB；
（2）取线段AB的中点E，连接DE并延长与射线CB交于点O；
（3）连接AD并延长至点F，使得AD=DF．
【分析】（1）根据直线是向两方无限延伸的，射线是向一方无限延伸的画图即可；
（2）找出线段AB的中点E，画射线DE与射线CB交于点O；
（3）画线段AD，然后从A向D延长使DF=AD．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了直线、射线和线段，关键是掌握直线是向两方无限延伸的，射线是向一方无限延伸的，线段不能向任何一方无限延伸．
变式1．如图，平面内有四个点A，B，C，D．
（1）画直线AC，BC；
（2）画射线BA，BD，射线BD交直线AC于点O；
（3）连接AD，CD；
（4）图中共有多少条线段？
【分析】（1）、（2）、（3）根据画图要求分别画出直线、射线和线段；
（4）根据线段的定义写出图中所有线段即可．
【解答】解：（1）如图；
（2）如图；
（3）如图；
（4）图中的线段有：AB、AD、AO、AC、BO、BD、BC、CO、CD、DO，共10条线段．
【点评】本题考查了直线、射线、线段：直线用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB；射线是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边；线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
变式2．如图，在平面内有四个点A，B，C，D，请你用直尺按下列要求作图．
（1）作射线CD；
（2）作直线AD；
（3）连接AB；
（4）作直线BD与直线AC相交于点O．
【分析】（1）直接利用射线的定义得出答案；
（2）直接利用直线的定义得出答案；
（3）直接利用线段的定义得出答案；
（4）根据直线的定义得出交点．
【解答】解：（1）如图所示：CD即为所求；
（2）如图所示：AD即为所求；
（3）如图所示：AB即为所求；
（4）如图所示：点O即为所求．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．
变式3．作图：（温馨提醒：确认后，在答题纸上用黑色水笔描黑）
如图，已知平面上有四个点A，B，C，D．
（1）作射线AD；
（2）作直线BC与射线AD交于点E；
（3）连接AC，再在AC的延长线上作线段CP=AC．
（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作图步骤）
【分析】（1）作射线AD，点A为端点；
（2）画直线BC，可以向两方无限延伸，画射线AD，以A为端点，两线交点为E；
（3）画线段AC，再沿AC方向画延长线，以C为圆心，AC长为半径画弧交AC延长线于点P．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了直线、射线和线段，关键是掌握三线的性质：直线没有端点，可以向两方无限延伸；射线有1个端点，可以向一方无限延伸；线段有2个端点，本身不能向两方无限延伸．
拓展点三： 与线段有关的推理与计算
例题1．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长．
【分析】先根据题意得出BC及AB的长，再根据中点的定义得出AE和AD的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵AC=15cm，CB=AC，
∴CB=×15=9cm，
∴AB=15+9=24cm．
∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴AE=BE=AB=12cm，DC=AD=AC=7.5cm，
∴DE=AE﹣AD=12﹣7.5=4.5cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
例题2．已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．
【分析】由已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，所以设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm，根据已知分别用x表示出AD，MD，从而得出BM，继而求出x，则求出CM和AD的长．
【解答】解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm
所以AD=AB+BC+CD=10xcm
因为M是AD的中点
所以AM=MD=AD=5xcm
所以BM=AM﹣AB=5x﹣2x=3xcm
因为BM=6 cm，
所以3x=6，x=2
故CM=MD﹣CD=5x﹣3x=2x=2×2=4cm，
AD=10x=10×2=20 cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
变式1．如图，点C、D在线段AB上，D是线段AB的中点，AC=AD，CD=4，求线段AB的长．
【分析】根据AC=AD，CD=4，求出CD与AD，再根据D是线段AB的中点，即可得出答案．
【解答】解：∵AC=AD，CD=4，
∴CD=AD﹣AC=AD﹣AD=AD，
∴AD=CD=6，
∵D是线段AB的中点，
∴AB=2AD=12；
【点评】此题考查了两点间的距离公式，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．
变式2．如图，线段AB=8cm，C是线段AB上一点，AC=3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）求线段CM的长；
（2）求线段MN的长．
【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM=AM﹣AC求得线段CM的长；
（1）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN=CM+NC即可求出MN的长度．
【解答】解：（1）由AB=8，M是AB的中点，所以AM=4，
又AC=3.2，所以CM=AM﹣AC=4﹣3.2=0.8（cm）．
所以线段CM的长为0.8cm；
（2）因为N是AC的中点，所以NC=1.6，
所以MN=NC+CM，1.6+0.8=2.4（cm），
所以线段MN的长为2.4cm．
【点评】本题主要考查线段中点的运用，线段的中点把线段分成两条相等的线段．
变式3．已知，如图，线段AD=10cm，点B，C都是线段AD上的点，且AC=7cm，BD=4cm，若E，F分别是线段AB，CD的中点，求BC与EF的长度．
【分析】根据线段的和差，可得BC的长，根据线段的和差，可得（AB+CD）的长，根据线段中点的性质，可得（AE+DF）的长，再根据线段的和差，可得EF的长．
【解答】解：由线段的和差，得
AC+BD=AC+BC+CD=AD+BC=7+4=11cm，
由AD=10cm，得10+BC=11，
解得BC=1cm；
由线段的和差，得
AB+CD=AD﹣BC=10﹣1=9cm，
由E，F分别是线段AB，CD的中点，得
AE=AB，DF=CD，
由线段得和差，得
EF=AD﹣（AE+DF）=AD﹣（AB+CD）=10﹣（AB+CD）=10﹣=cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出（AB+CD）的长，再利用线段中点的性质得出（AB+CD）的长．
变式4.如图，已知C、D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，若AB的中点为M，BD的中点为N，且MN=5cm，求AB的长．
【分析】设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，再根据AB的中点为M，BD的中点为N用x表示出BM与BN的长，根据MN=5cm求出x的值即可．
【解答】解：∵C、D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，
∴设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，
∴AB=AC+CD+BD=2x+3x+4x=9x．
∵AB的中点为M，BD的中点，
∴BM=AB=x，BN=BD=2x，
∴MN=BM﹣BN=x﹣2x=5，
∴x=2（cm），
∴AB=9x=9×2=18（cm）．
答：AB的长为18cm．
【点评】本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
变式5.如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=10，CD=4，求线段MN的长．
【分析】根据线段的和差，可得AC+BD，根据线段中点的性质，可得MC，ND，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由AB=10，CD=4，
∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6．
∵M、N分别为AC与BD的中点
∴MC=AC，ND=BD
∴MC+ND=（AC+BD）=×6=3，
∴MN=MC+ND+CD=3+4=7．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出AC+BD的长是解题关键．
变式6.如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．
（1）求线段BC，MN的长；
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．
【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用BC=MB﹣MC，MN=CM+CN即可求出线段BC，MN的长度即可．
（2）先画图，再根据线段中点的定义得MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC﹣NC得到MN=acm．
【解答】解：（1）∵M是AC的中点，
∴MC=AC=3cm，
∴BC=MB﹣MC=7cm，
又N为BC的中点，
∴CN=BC=3.5cm，
∴MN=MC+NC=6.5cm；
（2）如图：
∵M是AC的中点，
∴CM=AC，
∵N是BC的中点，
∴CN=BC，
∴MN=CM﹣CN=AC﹣BC=（AC﹣BC）=acm．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，线段的中点把线段分成两条相等的线段．
拓展点四： 分类讨论求最短距离
例题1．同在世纪星学校上学的小明、小伟、小红三位同学分别住在A、B、C三个住宅区，如图所示，A、B、C三点在同一条直线上，且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆接送车去上学，为节约时间，准备在此之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在那里？此时三位同学的步行的路程之和上多少？
【分析】利用当P点在A、B间时以及当P点在B、C间时、当P点与B点重合时，进行分类讨论得出答案．
【解答】解：设停靠点应该建在P点处，设PB=x米，三位同学步行到停靠点的路程之和为S，则
如图1，当P点在A、B间时，S=AP+BP+CP=（60﹣x）+x+（100+x）=（160+x）；
如图2，当P点在B、C间时，S=AP+BP+CP=（60+x）+x+（100﹣x）=（160+x）；
如图3，当P点与B点重合时，S=AP+BP+CP=60+0+100=160．
综合上述，停靠点设在B点时，S最小，并且是固定值160米．
【点评】此题主要考查了线段之间距离求法，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．
变式1．阅读表：
解答下列问题：
（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？
（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有 10 种不同的票价？②要准备 20 种车票？（直接写答案）
【分析】（1）根据表格找出规律即可求解．（2）由题意可知：n=5，然后代入（1）的等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由表格可知：点数n时，N=（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=，
（2）由题意可知：n=5，
∴N=10，
由于客车是往返行使，故准备2×10=20种车票．
故答案为：10；20
【点评】本题考查数字规律，涉及代入求值问题，注重考查学生观察推理能力．
变式2．阅读：在直线上有n个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如下表格：
问题：
（1）把表格补充完整；
（2）根据上述得到的信息解决下列问题：
①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？
②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？
【分析】（1）根据已知表格中数据变化规律进而得出答案；
（2）①把每一个班级看作一个点，利用图表公式列式进行计算即可得解；
②把12个车站看作12个点，求出线段的条数，再考虑车票有起点与终点站之分乘以2，即可得解．
【解答】解：（1）
；
（2）①把每一个班级看作一个点，则=190（场）；
②由题意可得：一共12个车站看作12个点，线段条数为=66（条），
因为车票有起点和终点站之分，
所以车票要2×66=132（种）．
【点评】本题主要考查了线段的定义以及图形变化规律，理解并应用图表数据中线段上点的个数与线段的条数的公式是解题的关键．
拓展点五： 规律探究问题
例题1．如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…．
（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示）
（3）当n=100时，线段总数共有多少条？
【分析】（1）根据AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，可总结出规律，从而得出当线段AB上有6个点时，线段总数；
（2）根据（1）可得出当线段AB上有n个点时，线段总数；
（3）将n=100，代入（2）的关系式即可得出答案．
【解答】解：（1）AB上有3个点时，线段总数共有3=条；
AB上有4个点时，线段总数共有6=条；
AB上有5个点时，线段总数共有10=条；
…
AB上有n个点时，线段总数共有：，
故当线段AB上有6个点时，线段总数共有=15条；
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有：；
（3）当n=100时，线段总数共有=4950条．
【点评】本题考查了直线上点与线段之间的数量关系，要求同学们具有一定由特殊到一般的总结能力，有一定难度．
变式1．观察图①，由点A和点B可确定 1 条直线；
观察图②，由不在同一直线上的三点A、B和C最多能确定 3 条直线；
（1）动手画一画图③中经过A、B、C、D四点的所有直线，最多共可作 6 条直线；
（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 10 条直线、n个点（n≥2）最多能确定 n（n﹣1） 条直线．
【分析】根据两点确定一条直线可得出①的答案；动手画出图形可得出②的答案，注意根据特殊总结出一般规律．
【解答】解：①由点A和点B可确定1条直线；
②由不在同一直线上的三点A、B和C最多能确定3条直线；
经过A、B、C、D四点最多能确定6条直线；
直在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定10条线、
根据1个点、两个点、三个点、四个点、五个点的情况可总结出n个点（n≥2）时最多能确定：条直线．
故答案为：1；3，6，10，．
【点评】本题考查了点确定直线的知识，有一定难度，注意动手操作及总结规律能力的培养．
变式2．已知如图
（1）如图（1），两条直线相交，最多有 1 个交点．
如图（2），三条直线相交，最多有 3 个交点．
如图（3），四条直线相交，最多有 6 个交点．
如图（4），五条直线相交，最多有 10 个交点；
（2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有 435 个交点．
【分析】（1）根据图形即可求得直线相交点的个数；
（2）根据已知条件，求得n条直线相交，最多有个交点的个数，再将n=30代入上式即可求得相交点的个数．
【解答】解：（1）如图（1），两条直线相交，最多有1个交点．
易错点一： 考虑问题不全面
易错点二： 不考虑实际情况
例题．已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（ ）
A．21cm或4cmB．20.5cm
C．4.5cmD．20.5cm或4.5cm
【分析】分类讨论：C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得BE、BF的长，根据线段的和差，可得EF的长．
【解答】解：当C在线段AB上时，由点E，F分别是线段AB、BC的中点，得
BE=AB=×25=12.5cm，BF=BC=×16=8cm，
由线段的和差，得EF=BE+BF═20.5cm，
当C在线段AB的延长线上时，由点E，F分别是线段AB、BC的中点，得
BE=AB=×25=12.5cm，BF=BC=×16=8cm，
由线段的和差，得EF=BE﹣BF═4.5cm，
故选D．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出BM，BN的长，利用线段的和差得出MN的长，分类讨论是解题关键．
变式1．如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB=3cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的距离为（ ）
A．1cmB．5cmC．1cm或5cmD．无法确定
【分析】由题意可知，点C分两种情况，画出线段图，结合已知数据即可求出结论．
【解答】解：由题意可知，C点分两种情况，
①C点在线段AB延长线上，如图1，
AC=AB+BC=3+2=5cm；
②C点在线段AB上，如图2，
AC=AB﹣BC=3﹣2=1cm．
综合①②A、C两点之间的距离为1cm或5cm．
故选C．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据题意画出线段图，找准线段间的关系．
变式2．已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为
（ ）
A．5cmB．5cm或3cmC．7cm或3cmD．7cm
【分析】根据线段中点的性质，可得BM，BN，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：如图1，
由M是AB的中点，N是BC的中点，得
MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，
由线段的和差，得
MN=MB+BN=4+1=5cm；
如图2，
由M是AB的中点，N是BC的中点，得
MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，
由线段的和差，得
MN=MB﹣BN=4﹣1=3cm；
线段AB上的点数n（包括A，B两点）
图例
线段总条数N
3
3=2+1
4
6=3+2+1
5
10=4+3+2+1
6
15=5+4+3+2+1
线段AB上的点数n（包括A，B两点）
图例
线段总条数N
3
3=2+1
4
6=3+2+1
5
10=4+3+2+1
6
15=5+4+3+2+1
图形
直线上点的个数
共有线段的条数
两者关系
2
1
0+1==1
3
3
0+1+2==3
4
6
0+1+2+3==6
…
…
…
…
n
图形
直线上点的个数
共有线段的条数
两者关系
2
1
0+1==1
3
3
0+1+2==3
4
6
0+1+2+3==6
…
…
…
…
n
0+1+2+3+…+（n﹣1）==
1、理解两点确定一条直线的事实，并体会它们在解决实际问题中的作用；掌握直线、射线、线段的表示方法，建立初步的符号感；理解直线、射线、线段的联系和区别，进一步发展抽象概括的能力．
2、理解线段的性质，线段的中点和两点间的距离，能对线段进行度量和比较．
知识点一： 直线
知识点二： 射线
知识点三： 线段
例题1．下列说法正确的是（ ）
A．射线PA和射线AP是同一条射线
B．射线OA的长度是12cm
C．直线ab、cd相交于点M
D．两点确定一条直线
【分析】根据射线的表示方法判断A；根据射线的定义判断B；根据直线的表示方法判断C；根据直线的性质公理判断D．
【解答】解：A、射线PA和射线AP是同一条射线，说法错误；
B、射线OA的长度是12cm，说法错误；
C、直线ab、cd相交于点M，说法错误；
D、两点确定一条直线，说法正确．
故选D．
【点评】本题考查了直线、射线的定义及表示方法：直线可用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大些字母（直线上的）表示，如直线AB（或直线BA）．射线是直线的一部分，可用一个小写字母表示，如：射线l；或用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．直线与射线都是无限长，不能度量．也考查了直线的性质公理．
变式．下列说法中正确的是（ ）
A．画一条长3cm的射线B．直线、线段、射线中直线最长
C．延长线段BA到C，使AC=BAD．延长射线OA到点C
【分析】分别利用直线、射线、线段的性质分析得出答案．
【解答】解：A、画一条长3cm的射线，射线没有长度，故此选项错误；
B、直线、线段、射线中直线最长，错误，射线、直线都没有长度，故此选项错误；
C、延长线段BA到C，使AC=BA，正确；
D、延长射线OA到点C，错误，可以反向延长射线．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，正确把握相关性质是解题关键．
例题2．已知如图，则下列叙述不正确的是（ ）
A．点O不在直线AC上
B．图中共有5条线段
C．射线AB与射线BC是指同一条射线
D．直线AB与直线CA是指同一条直线
【分析】根据点与直线的关系可知点O不在直线AC上，故A说法正确，不符合题意；
图中有线段AB、AC、BC、OB、OC，共5条，故B说法正确，不符合题意；
射线表示方法是端点字母在前，故C错误，符合题意；
直线表示方法是用直线上两个点表示，没有先后顺序，故D正确，不符合题意．
【解答】解：A、点O不在直线AC上，故A说法正确，不符合题意；
B、图中有线段AB、AC、BC、OB、OC，共5条，故B说法正确，不符合题意；
C、射线AB与射线BC不是指同一条射线，故C错误，符合题意；
D、直线AB与直线CA是指同一条直线，故D正确，不符合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，以及点与直线的位置关系，关键是掌握三线的表示方法．
变式．如图，下列说法，正确说法的个数是（ ）
①直线AB和直线BA是同一条直线；
②射线AB与射线BA是同一条射线；
③线段AB和线段BA是同一条线段；
④图中有两条射线．
A．0B．1C．2D．3
【分析】根据直线、射线及线段的定义及特点结合图形即可解答．
【解答】解：①直线AB和直线BA是同一条直线，正确；
②射线AB与射线BA是同一条射线的顶点不同，故错误；
③线段AB和线段BA是同一条线段，正确；
④每一个点对应两个射线，图中有4条射线，故错误．
综上可得①③正确．
故选C．
【点评】本题考查直线、射线及线段的知识，属于基础题，注意基本概念的掌握．
例题3．作图，在平面内有四个点A，B，C，D，请你用直尺按下列要求作图．
（1）作射线CD；
（2）作直线AD；
（3）连结AB；
（4）作直线BD与直线AC相交于点O．
【分析】（1）直接利用射线的定义得出答案；
（2）直接利用直线的定义得出答案；
（3）直接利用线段的定义得出答案；
（4）根据直线的定义得出交点．
【解答】解：（1）如图所示：CD即为所求；
（2）如图所示：AD即为所求；
（3）如图所示：AB即为所求；
（4）如图所示：点O即为所求．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．
变式1．读句画图：如图，A，B，C，D在同一平面内，
（1）过点A和点D作直线；
（2）画射线CD；
（3）连结AB；
（4）连结BC，并反向延长BC．
【分析】根据直线：向两方无限延长；射线向一方无限延长；线段：本身不能向两方无限延长，画出图形即可．
【解答】解：作图如图所示．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，关键是掌握三种线的特点．
变式2．如图，已知点A、B、C，根据下列语句画图：（尺规作图，要保留作图痕迹．）
（1）画出直线AB；
（2）画出射线AC；
（3）在线段AB的延长线上截取线段BD，使得AD=AB+BC；
（4）画出线段CD．
【分析】直接利用直线、射线、线段的定义分别得出答案．
【解答】解：如图所示：（1）直线AB即为所求；
（2）射线AC即为所求；
（3）D点即为所求；
（4）线段CD即为所求．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．
变式3．如图，在平面内有A、B、C三点．
（1）画直线AC，线段BC，射线AB；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于B、C），连接AD；
（3）数数看，此时图中线段共有 6 条．
【分析】（1）（2）根据直线，射线，线段的概念，利用直尺即可作出图形；
（3）根据线段的定义即可求解．
【解答】解：（1）（2）如图所示：
（3）图中有线段6条，即线段AB，AD，AC，BD，BC，DC．
故答案为6．
【点评】本题考查了线段、射线以及线段的作图，是一个基础题，在作图的过程中要注意延伸性．
知识点四： 线段的画法、长短比较与和差关系
例题1.观察下列两组图形，比较线段的长短．再用直尺量一下，看看你的观察结果是否正确？
【考点】比较线段的长短．
【分析】先观察图形得出答案，再通过度量看看是否正确即可．
【解答】解：第一个图形：a＞b，第二个图形和第三个图形：a=b．
【点评】本题考查了比较两线段的长短的应用，主要考查学生观察图形的能力．
变式1.如图所示，比较这两组线段的长短．
【考点】比较线段的长短．
【分析】利用重合的方法即可比较．
【解答】解：（1）把图中的线段AB、线段CD放在一条直线上，使A、C重合，使点D与点B在A的同侧，点D在线段AB外，所以AB＜CD；
（2）把图中的线段AB、线段CD放在一条直线上，使A、C重合，点B和点D重合，所以AB=CD．
【点评】本题考查了线段长短的比较，理解比较的方法是关键．
变式1.比较图中各条线段的长短，并用刻度尺或圆规验证你的结论．
【考点】比较线段的长短．
【分析】根据线段的长短的比较方法：叠合法，测量法，可得答案．
【解答】解：把AB平移到CD上，得A′B′，，
AB=A′B′＜CD，
∴BC＜AB＜CD．
【点评】本题考查了比较线段的长短，把线段AB平移到线段CD上是解题关键．
变式2.比较下列各组线段的长短
（1）线段OA与OB．
（2）线段AB与AD．
（3）线段AB、BC与AC．
【考点】比较线段的长短．
【分析】（1）根据两条线段的一端重合，然后比较另一端即可；
（2）在线段AD上截取线段AB即可得出答案；
（3）在线段BC上截取一线段BA'和CA''使其分别与线段BA和CA相等，再在线段AC上截取AB'使其与线段AB相等，即可得出答案．
【解答】解：（1）OB＞OA；
（2）有下图可知：
AD＞AB；
（3）有下图可知：
BC＞AC＞AB．
故答案为：OB＞OA；AD＞AB；BC＞AC＞AB．
【点评】本题考查了比较线段长短的知识，属于基础题，注意基础知识的熟练掌握．
题考查了比较线段的长短，把线段AB平移到线段CD上是解题关键．
变式3.如图所示，线段AB、CD的长短关系，并用刻度尺或圆规验证．
【考点】比较线段的长短．
【分析】根据线段的长短的比较的方法：测量法，叠合法，可得答案．
【解答】解；如图：把线段AB平移到CD上，得
，
AB=A′B′＞CD．
【点评】本题考查了比较线段的长短，利用了叠合法，把线段AB平移到直线CD上是解题关键．
例题2.如图，FG可用端点标有字母的线段的差把它表示出来，这种表示方法共有 3 种．
【考点】直线、射线、线段．
【分析】结合体图形将FG表示几条线段的差的形式即可．
【解答】解：FG=EH﹣EF﹣GH、FG=EG﹣EF、FG=FH﹣GH．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查的是直线、射线、线段，掌握图形中线段之间的和差关系是解题的关键．
变式.画图题
（1）画线段MN，使得MN=2a﹣b；
（2）在直线MN外任取一点A，画射线AM和直线AN；
（3）延长MN至点P，使AP=MA，画线段PN，试估计所画图形中PM与PN的差和线段MN的大小关系．
【考点】作图—复杂作图；比较线段的长短．
【分析】（1）①画一条直线l；②在l上任取一点M，截取MQ=2a；③在线段MQ上截取QN=b；
（2）在直线MN外任取一点A，画射线AM和直线AN即可；
（3）延长MN至点P，使AP=MA，画线段PN，再比较PM与PN的差和线段MN的大小关系．
【解答】解：（1）作图如下：MN即为所求；
（2）作图如下：
（3）作图如下：由图形可知PM﹣PN=MN．
【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图和比较线段的长短，会作一条线段等于已知线段，正确理解作图要求是关键．
知识点五： 线段的中点
例题1、如图，若点C为线段AB的中点，则AC= CB = AB ．
【考点】比较线段的长短．
【专题】计算题．
【分析】由于点C为中点，所以分线段AB为相等的两部分，即AC=BC．
【解答】解：∵点C为线段AB的中点，∴AC=CB=AB．
【点评】掌握线段中点的性质．
变式1．（2016秋•沧州期末）点C在线段AB上，下列条件中不能确定点C是线段AB中点的是（ ）
A．AC=BCB．AC+BC=ABC．AB=2ACD．BC=AB
【分析】根据线段中点的定义，结合选项一一分析，排除答案．显然A、C、D都可以确定点C是线段AB中点．
【解答】解：A、AC=BC，则点C是线段AB中点；
B、AC+BC=AB，则C可以是线段AB上任意一点；
C、AB=2AC，则点C是线段AB中点；
D、BC=AB，则点C是线段AB中点．
故选：B．
【点评】根据线段的中点能够写出正确的表达式．反过来，也要会根据线段的表达式来判断是否为线段的中点．
变式2．点P在线段EF上，现有四个等式①PE=PF；②PE=EF；③EF=2PE；④2PE=EF；其中能表示点P是EF中点的有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【分析】根据中点的定义判断各项即可得出答案．
【解答】解：①PE=PF，点P在线段EF上，可判断P是EF中点，故正确；
②PE=EF，则PE=PF，点P在线段EF上，可判断P是EF中点，故正确；
③EF=2PE，则EF=4PE，点P在线段EF上，可判断P不是EF中点，故错误；
④2PE=EF，则PE=PF，点P在线段EF上，可判断P是EF中点，故正确；
综上可得①②④正确．
故选B．
【点评】本题考查线段及重点的知识，有一定难度，注意考虑线段的延长线可能满足条件．
例题2．已知线段AB=10cm，点C是直线AB上一点，BC=4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（ ）
A．7cmB．3cmC．7cm或3cmD．5cm
【分析】本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上时和当点C在线段AB的延长线上时．
【解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN=AC+BC=AB=5；
（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN=AC﹣BC=7﹣2=5．
综合上述情况，线段MN的长度是5cm．
故选D．
【点评】首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线段的计算．
例题3．如图，已知线段AB=10cm，点N在AB上，NB=2cm，M是AB中点，那么线段MN的长为（ ）
A．5cmB．4cmC．3cmD．2cm
【分析】根据M是AB中点，先求出BM的长度，则MN=BM﹣BN．
【解答】解：∵AB=10cm，M是AB中点，
∴BM=AB=5cm，
又∵NB=2cm，
∴MN=BM﹣BN=5﹣2=3cm．
故选：C．
【点评】本题考查了线段的长短比较，根据点M是AB中点先求出BM的长度是解本题的关键．
变式1．如图所示，B、C是线段AD上任意两点，M是AB的中点，N是CD中点，若MN=a，BC=b，则线段AD的长是（ ）
A．2（a﹣b）B．2a﹣bC．a+bD．a﹣b
【分析】由已知条件可知，MN=MB+CN+BC，又因为M是AB的中点，N是CD中点，则AB+CD=2（MB+CN），故AD=AB+CD+BC可求．
【解答】解：∵MN=MB+CN+BC=a，BC=b，
∴MB+CN=a﹣b，
∵M是AB的中点，N是CD中点
∴AB+CD=2（MB+CN）=2（a﹣b），
∴AD=2（a﹣b）+b=2a﹣b．
故选B．
【点评】本题考查了比较线段长短的知识，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
变式2．如图，点C为线段AB的中点，点D为线段AC的中点、已知AB=8，则BD=（ ）
A．2B．4C．6D．8
【分析】根据两中点进行解答．
【解答】解：∵点C为线段AB的中点，AB=8，则BC=AC=4．
点D为线段AC的中点，则AD=DC=2．
∴BD=CD+BC=6．
故选C．
【点评】利用中点性质转化线段之间的长短关系是解题的关键．
变式3．已知线段AB=8cm，在直线AB上画线BC，使它等于3cm，则线段AC等于（ ）
A．11cmB．5cmC．11cm或5cmD．8cm或11cm
【分析】由于C点的位置不能确定，故要分两种情况考虑AC的长，注意不要漏解．
【解答】解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：
（1）当C点在B点右侧时，如图所示：
AC=AB+BC=8+3=11cm；
（2）当C点在B点左侧时，如图所示：
AC=AB﹣BC=8﹣3=5cm；
所以线段AC等于5cm或11cm，故选C．
【点评】本题考查了比较线段的长短，注意点的位置的确定，利用图形结合更易直观地得到结论．
变式4．如图所示，点P，Q，C都在直线AB上，且P是AC的中点，Q是BC的中点，若AC=m，BC=n，则线段PQ的长为（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据题意，结合图形，可求得PC=AC、CQ=BC，故PQ=PC+CQ可求．
【解答】解：∵P是AC的中点
∴PC=AC
∵Q是BC的中点
∴CQ=BC
若AC=m，BC=n
则PQ=PC+CQ=AC+BC
=
故选C．
【点评】利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
知识点六： 线段性质
例题1．把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，射线最短B．两点确定一条直线
C．两点之间，直线最短D．两点之间，线段最短
【分析】根据两点之间线段最短即可得出答案．
【解答】解：由两点之间线段最短可知，把弯曲的河道改直，能够缩短航程，这样做根据的道理是两点之间线段最短，
故选：D．
【点评】本题考查了线段的性质，关键是掌握两点之间线段最短．
变式1．如图，从A到B有①，②，③三条路线，最短的路线是①，其理由是（ ）
A．因为它最直B．两点确定一条直线
C．两点间的距离的概念D．两点之间，线段最短
【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短进行分析．
【解答】解：最短的路线是①，根据两点之间，线段最短，
故选：D．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
变式2．如图，小红同学用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，能正确解释这一现象的数学知识是（ ）
A．两点之间，线段最短
B．两点确定一条直线
C．过一点，有无数条直线
D．连接两点之间的线段叫做两点间的距离
【分析】根据“用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小”得到线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，从而确定答案．
【解答】解：∵用剪刀沿直线将一片平整的树叶剪掉一部分，发现剩下树叶的周长比原树叶的周长要小，
∴线段AB的长小于点A绕点C到B的长度，
∴能正确解释这一现象的数学知识是两点之间，线段最短，
故选A．
【点评】本题考查了线段的性质，能够正确的理解题意是解答本题的关键，属于基础知识，比较简单．
变式3．如图所示，小明家在A处，体育馆在B处，星期六小明由家去体育馆打篮球，他想尽快到达体育馆，请你帮助他选择一条最近的路线，应是（ ）
A．A→C→E→BB．A→C→D→BC．A→C→G→BD．A→C→F→E→B
【分析】根据两点之间，线段最短进行解答即可．
【解答】解：最近的路线，应是A→C→E→B，
故选：A．
【点评】此题主要考查了线段的性质，关键是掌握两点之间，线段最短．
例题2．如图，是边长为1m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请利用平面图形，画出蜘蛛爬行的最短路线．
【分析】根据正方体展开图，蜘蛛爬行的最短路线为两个正方形侧面组成的长方形的对角线．
【解答】解：如图，线段AB就为所作的最短路线．
【点评】本题考查了两点之间线段最短的性质，正方体的展开图，熟练掌握平面展开图确定最短路线问题是解题的关键．
变式．如图，
（1）一只蚂蚁要从正方体的一个顶点A沿表面爬行到顶点B，怎样爬行路线最短？
（2）如果要爬行到顶点C呢？说出你的理由．
【分析】（1）根据线段的性质：两点之间线段最短可得沿线段AB爬行路线最短；
（2）根据线段的性质：两点之间线段最短，把正方体展开，直接连接A、C两点可得最短路线．
【解答】解：（1）沿线段AB爬行．
拓展点一： 直线、射线、线段的计数问题
例题1．如图，已知A、B、C、D四个点．
（1）画直线AB、CD相交于点P；
（2）连接AC和BD并延长AC和BD相交于点Q；
（3）连接AD、BC相交于点O；
（4）以点C为端点的射线有 3 条；
（5）以点C为一个端点的线段有 6 条．
【分析】（1）、（2）、（3）分别根据直线、线段、延长线的画法作出即可；
（4）根据射线的定义即可得出答案；
（5）根据线段的定义即可得出答案．
【解答】解：（1）、（2）、（3），如图所示：
（4）以点C为端点的射线有3条，分别是：射线CP、射线CD、射线CQ，
故答案为：3；
（5）以点C为一个端点的线段有6条，分别是：线段CP、线段CD、线段CA、线段CQ、线段CO、线段CB，
故答案为：6．
【点评】此题考查了直线、线段的画法，及射线、线段的定义，解题的关键是：掌握直线的画法，正确理解射线及线段的定义．
例题2．阅读表：
解答下列问题：
（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？
（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有 10 种不同的票价？②要准备 20 种车票？（直接写答案）
【分析】（1）根据表格找出规律即可求解．（2）由题意可知：n=5，然后代入（1）的等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由表格可知：点数n时，N=（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=，
（2）由题意可知：n=5，
∴N=10，
由于客车是往返行使，故准备2×10=20种车票．
故答案为：10；20
【点评】本题考查数字规律，涉及代入求值问题，注重考查学生观察推理能力．
变式1．（1）观察思考
如图，线段AB上有两个点C、D，请分别写出以点A、B、C、D为端点的线段，并计算图中共有多少条线段；
（2）模型构建
如果线段上有m个点（包括线段的两个端点），则该线段上共有多少条线段？请说明你结论的正确性；
（3）拓展应用
8位同学参加班上组织的象棋比赛，比赛采用单循环制（即每两位同学之间都要进行一场比赛），那么一共要进行多少场比赛？
请将这个问题转化为上述模型，并直接应用上述模型的结论解决问题．
【分析】（1）从左向右依次固定一个端点A，C，D找出线段，最后求和即可；
（2）根据数线段的特点列出式子化简即可；
（3）将实际问题转化成（2）的模型，借助（2）的结论即可得出结论．
【解答】解：（1）∵以点A为左端点向右的线段有：线段AB、AC、AD，
以点C为左端点向右的线段有线段CD、CB，
以点D为左端点的线段有线段DB，
∴共有3+2+1=6条线段；
（2），
理由：设线段上有m个点，该线段上共有线段x条，
则x=（m﹣1）+（m﹣2）+（m﹣3）+…+3+2+1，
∴倒序排列有x=1+2+3+…+（m﹣3）+（m﹣2）+（m﹣1），
∴2x==m（m﹣1），
∴x=；
（3）把8位同学看作直线上的8个点，每两位同学之间的一场比赛看作为一条线段，
直线上8个点所构成的线段条数就等于比赛的场数，
因此一共要进行=28场比赛．
【点评】此题是线段的计数问题，主要考查了数线段的方法和技巧，解本题的关键是找出规律，此类题目容易数重或遗漏，要特别注意．
变式2．如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…．
（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示）
（3）当n=100时，线段总数共有多少条？
【分析】（1）根据AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，可总结出规律，从而得出当线段AB上有6个点时，线段总数；
（2）根据（1）可得出当线段AB上有n个点时，线段总数；
（3）将n=100，代入（2）的关系式即可得出答案．
【解答】解：（1）AB上有3个点时，线段总数共有3=条；
AB上有4个点时，线段总数共有6=条；
AB上有5个点时，线段总数共有10=条；
…
AB上有n个点时，线段总数共有：，
故当线段AB上有6个点时，线段总数共有=15条；
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有：；
（3）当n=100时，线段总数共有=4950条．
【点评】本题考查了直线上点与线段之间的数量关系，要求同学们具有一定由特殊到一般的总结能力，有一定难度．
拓展点二： 作图问题
例题1．读句画图：如图，A，B，C，D在同一平面内，
（1）过点A和点D作直线；
（2）画射线CD；
（3）连结AB；
（4）连结BC，并反向延长BC．
【分析】根据直线：向两方无限延长；射线向一方无限延长；线段：本身不能向两方无限延长，画出图形即可．
【解答】解：作图如图所示．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段，关键是掌握三种线的特点．
例题2．作图题：已知平面上点A，B，C，D．按下列要求画出图形：
（1）作直线AB，射线CB；
（2）取线段AB的中点E，连接DE并延长与射线CB交于点O；
（3）连接AD并延长至点F，使得AD=DF．
【分析】（1）根据直线是向两方无限延伸的，射线是向一方无限延伸的画图即可；
（2）找出线段AB的中点E，画射线DE与射线CB交于点O；
（3）画线段AD，然后从A向D延长使DF=AD．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了直线、射线和线段，关键是掌握直线是向两方无限延伸的，射线是向一方无限延伸的，线段不能向任何一方无限延伸．
变式1．如图，平面内有四个点A，B，C，D．
（1）画直线AC，BC；
（2）画射线BA，BD，射线BD交直线AC于点O；
（3）连接AD，CD；
（4）图中共有多少条线段？
【分析】（1）、（2）、（3）根据画图要求分别画出直线、射线和线段；
（4）根据线段的定义写出图中所有线段即可．
【解答】解：（1）如图；
（2）如图；
（3）如图；
（4）图中的线段有：AB、AD、AO、AC、BO、BD、BC、CO、CD、DO，共10条线段．
【点评】本题考查了直线、射线、线段：直线用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB；射线是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边；线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
变式2．如图，在平面内有四个点A，B，C，D，请你用直尺按下列要求作图．
（1）作射线CD；
（2）作直线AD；
（3）连接AB；
（4）作直线BD与直线AC相交于点O．
【分析】（1）直接利用射线的定义得出答案；
（2）直接利用直线的定义得出答案；
（3）直接利用线段的定义得出答案；
（4）根据直线的定义得出交点．
【解答】解：（1）如图所示：CD即为所求；
（2）如图所示：AD即为所求；
（3）如图所示：AB即为所求；
（4）如图所示：点O即为所求．
【点评】此题主要考查了直线、射线、线段的定义，正确把握相关定义是解题关键．
变式3．作图：（温馨提醒：确认后，在答题纸上用黑色水笔描黑）
如图，已知平面上有四个点A，B，C，D．
（1）作射线AD；
（2）作直线BC与射线AD交于点E；
（3）连接AC，再在AC的延长线上作线段CP=AC．
（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作图步骤）
【分析】（1）作射线AD，点A为端点；
（2）画直线BC，可以向两方无限延伸，画射线AD，以A为端点，两线交点为E；
（3）画线段AC，再沿AC方向画延长线，以C为圆心，AC长为半径画弧交AC延长线于点P．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了直线、射线和线段，关键是掌握三线的性质：直线没有端点，可以向两方无限延伸；射线有1个端点，可以向一方无限延伸；线段有2个端点，本身不能向两方无限延伸．
拓展点三： 与线段有关的推理与计算
例题1．如图，已知点C为AB上一点，AC=15cm，CB=AC，D，E分别为AC，AB的中点，求DE的长．
【分析】先根据题意得出BC及AB的长，再根据中点的定义得出AE和AD的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵AC=15cm，CB=AC，
∴CB=×15=9cm，
∴AB=15+9=24cm．
∵D，E分别为AC，AB的中点，
∴AE=BE=AB=12cm，DC=AD=AC=7.5cm，
∴DE=AE﹣AD=12﹣7.5=4.5cm．
【点评】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
例题2．已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长．
【分析】由已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，所以设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm，根据已知分别用x表示出AD，MD，从而得出BM，继而求出x，则求出CM和AD的长．
【解答】解：设AB=2xcm，BC=5xcm，CD=3xcm
所以AD=AB+BC+CD=10xcm
因为M是AD的中点
所以AM=MD=AD=5xcm
所以BM=AM﹣AB=5x﹣2x=3xcm
因为BM=6 cm，
所以3x=6，x=2
故CM=MD﹣CD=5x﹣3x=2x=2×2=4cm，
AD=10x=10×2=20 cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用中点性质转化线段之间的倍分关系是解题的关键，在不同的情况下灵活选用它的不同表示方法，有利于解题的简洁性．同时，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系也是十分关键的一点．
变式1．如图，点C、D在线段AB上，D是线段AB的中点，AC=AD，CD=4，求线段AB的长．
【分析】根据AC=AD，CD=4，求出CD与AD，再根据D是线段AB的中点，即可得出答案．
【解答】解：∵AC=AD，CD=4，
∴CD=AD﹣AC=AD﹣AD=AD，
∴AD=CD=6，
∵D是线段AB的中点，
∴AB=2AD=12；
【点评】此题考查了两点间的距离公式，主要利用了线段中点的定义，比较简单，准确识图是解题的关键．
变式2．如图，线段AB=8cm，C是线段AB上一点，AC=3.2cm，M是AB的中点，N是AC的中点．
（1）求线段CM的长；
（2）求线段MN的长．
【分析】（1）根据M是AB的中点，求出AM，再利用CM=AM﹣AC求得线段CM的长；
（1）根据N是AC的中点求出NC的长度，再利用MN=CM+NC即可求出MN的长度．
【解答】解：（1）由AB=8，M是AB的中点，所以AM=4，
又AC=3.2，所以CM=AM﹣AC=4﹣3.2=0.8（cm）．
所以线段CM的长为0.8cm；
（2）因为N是AC的中点，所以NC=1.6，
所以MN=NC+CM，1.6+0.8=2.4（cm），
所以线段MN的长为2.4cm．
【点评】本题主要考查线段中点的运用，线段的中点把线段分成两条相等的线段．
变式3．已知，如图，线段AD=10cm，点B，C都是线段AD上的点，且AC=7cm，BD=4cm，若E，F分别是线段AB，CD的中点，求BC与EF的长度．
【分析】根据线段的和差，可得BC的长，根据线段的和差，可得（AB+CD）的长，根据线段中点的性质，可得（AE+DF）的长，再根据线段的和差，可得EF的长．
【解答】解：由线段的和差，得
AC+BD=AC+BC+CD=AD+BC=7+4=11cm，
由AD=10cm，得10+BC=11，
解得BC=1cm；
由线段的和差，得
AB+CD=AD﹣BC=10﹣1=9cm，
由E，F分别是线段AB，CD的中点，得
AE=AB，DF=CD，
由线段得和差，得
EF=AD﹣（AE+DF）=AD﹣（AB+CD）=10﹣（AB+CD）=10﹣=cm．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出（AB+CD）的长，再利用线段中点的性质得出（AB+CD）的长．
变式4.如图，已知C、D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，若AB的中点为M，BD的中点为N，且MN=5cm，求AB的长．
【分析】设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，再根据AB的中点为M，BD的中点为N用x表示出BM与BN的长，根据MN=5cm求出x的值即可．
【解答】解：∵C、D两点将线段AB分为三部分，且AC：CD：DB=2：3：4，
∴设AC=2x，则CD=3x，DB=4x，
∴AB=AC+CD+BD=2x+3x+4x=9x．
∵AB的中点为M，BD的中点，
∴BM=AB=x，BN=BD=2x，
∴MN=BM﹣BN=x﹣2x=5，
∴x=2（cm），
∴AB=9x=9×2=18（cm）．
答：AB的长为18cm．
【点评】本题考查的是两点之间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
变式5.如图，已知C，D为线段AB上顺次两点，点M、N分别为AC与BD的中点，若AB=10，CD=4，求线段MN的长．
【分析】根据线段的和差，可得AC+BD，根据线段中点的性质，可得MC，ND，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：由AB=10，CD=4，
∴AC+BD=AB﹣CD=10﹣4=6．
∵M、N分别为AC与BD的中点
∴MC=AC，ND=BD
∴MC+ND=（AC+BD）=×6=3，
∴MN=MC+ND+CD=3+4=7．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段的和差得出AC+BD的长是解题关键．
变式6.如图，点C在线段AB上，AC=6cm，MB=10cm，点M，N分别为AC，BC的中点．
（1）求线段BC，MN的长；
（2）若C在线段AB的延长线上，且满足AC﹣BC=acm，M，N分别是线段AC，BC的中点，请画出图形，并用a的式子表示MN的长度．
【分析】（1）根据“点M、N分别是AC、BC的中点”，先求出MC、CN的长度，再利用BC=MB﹣MC，MN=CM+CN即可求出线段BC，MN的长度即可．
（2）先画图，再根据线段中点的定义得MC=AC，NC=BC，然后利用MN=MC﹣NC得到MN=acm．
【解答】解：（1）∵M是AC的中点，
∴MC=AC=3cm，
∴BC=MB﹣MC=7cm，
又N为BC的中点，
∴CN=BC=3.5cm，
∴MN=MC+NC=6.5cm；
（2）如图：
∵M是AC的中点，
∴CM=AC，
∵N是BC的中点，
∴CN=BC，
∴MN=CM﹣CN=AC﹣BC=（AC﹣BC）=acm．
【点评】本题主要考查了两点间的距离，线段的中点定义，线段的中点把线段分成两条相等的线段．
拓展点四： 分类讨论求最短距离
例题1．同在世纪星学校上学的小明、小伟、小红三位同学分别住在A、B、C三个住宅区，如图所示，A、B、C三点在同一条直线上，且AB=60米，BC=100米，他们打算合租一辆接送车去上学，为节约时间，准备在此之间只设一个停靠点，为使三位同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在那里？此时三位同学的步行的路程之和上多少？
【分析】利用当P点在A、B间时以及当P点在B、C间时、当P点与B点重合时，进行分类讨论得出答案．
【解答】解：设停靠点应该建在P点处，设PB=x米，三位同学步行到停靠点的路程之和为S，则
如图1，当P点在A、B间时，S=AP+BP+CP=（60﹣x）+x+（100+x）=（160+x）；
如图2，当P点在B、C间时，S=AP+BP+CP=（60+x）+x+（100﹣x）=（160+x）；
如图3，当P点与B点重合时，S=AP+BP+CP=60+0+100=160．
综合上述，停靠点设在B点时，S最小，并且是固定值160米．
【点评】此题主要考查了线段之间距离求法，利用数形结合以及分类讨论得出是解题关键．
变式1．阅读表：
解答下列问题：
（1）根据表中规律猜测线段总数N与线段上的点数n（包括线段两个端点）有什么关系？
（2）根据上述关系解决如下实际问题：有一辆客车往返于A，B两地，中途停靠三个站点，如果任意两站间的票价都不同，问：①有 10 种不同的票价？②要准备 20 种车票？（直接写答案）
【分析】（1）根据表格找出规律即可求解．（2）由题意可知：n=5，然后代入（1）的等式即可求出答案．
【解答】解：（1）由表格可知：点数n时，N=（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1=，
（2）由题意可知：n=5，
∴N=10，
由于客车是往返行使，故准备2×10=20种车票．
故答案为：10；20
【点评】本题考查数字规律，涉及代入求值问题，注重考查学生观察推理能力．
变式2．阅读：在直线上有n个不同的点，则此图中共有多少条线段？通过分析、画图尝试得如下表格：
问题：
（1）把表格补充完整；
（2）根据上述得到的信息解决下列问题：
①某学校七年级共有20个班进行辩论赛，规定进行单循环赛（每两班赛一场），那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？
②乘火车从A站出发，沿途经过10个车站方可到达B站，那么在A，B两站之间需要安排多少种不同的车票？
【分析】（1）根据已知表格中数据变化规律进而得出答案；
（2）①把每一个班级看作一个点，利用图表公式列式进行计算即可得解；
②把12个车站看作12个点，求出线段的条数，再考虑车票有起点与终点站之分乘以2，即可得解．
【解答】解：（1）
；
（2）①把每一个班级看作一个点，则=190（场）；
②由题意可得：一共12个车站看作12个点，线段条数为=66（条），
因为车票有起点和终点站之分，
所以车票要2×66=132（种）．
【点评】本题主要考查了线段的定义以及图形变化规律，理解并应用图表数据中线段上点的个数与线段的条数的公式是解题的关键．
拓展点五： 规律探究问题
例题1．如图所示，线段AB上的点数与线段的总数有如下关系：如果线段AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，…．
（1）当线段AB上有6个点时，线段总数共有多少条？
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有多少条？（用含n的式子表示）
（3）当n=100时，线段总数共有多少条？
【分析】（1）根据AB上有3个点时，线段总数共有3条，如果AB上有4个点时，线段总数共有6条，如果线段AB上有5个点时，线段总数共有10条，可总结出规律，从而得出当线段AB上有6个点时，线段总数；
（2）根据（1）可得出当线段AB上有n个点时，线段总数；
（3）将n=100，代入（2）的关系式即可得出答案．
【解答】解：（1）AB上有3个点时，线段总数共有3=条；
AB上有4个点时，线段总数共有6=条；
AB上有5个点时，线段总数共有10=条；
…
AB上有n个点时，线段总数共有：，
故当线段AB上有6个点时，线段总数共有=15条；
（2）当线段AB上有n个点时，线段总数共有：；
（3）当n=100时，线段总数共有=4950条．
【点评】本题考查了直线上点与线段之间的数量关系，要求同学们具有一定由特殊到一般的总结能力，有一定难度．
变式1．观察图①，由点A和点B可确定 1 条直线；
观察图②，由不在同一直线上的三点A、B和C最多能确定 3 条直线；
（1）动手画一画图③中经过A、B、C、D四点的所有直线，最多共可作 6 条直线；
（2）在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定 10 条直线、n个点（n≥2）最多能确定 n（n﹣1） 条直线．
【分析】根据两点确定一条直线可得出①的答案；动手画出图形可得出②的答案，注意根据特殊总结出一般规律．
【解答】解：①由点A和点B可确定1条直线；
②由不在同一直线上的三点A、B和C最多能确定3条直线；
经过A、B、C、D四点最多能确定6条直线；
直在同一平面内任三点不在同一直线的五个点最多能确定10条线、
根据1个点、两个点、三个点、四个点、五个点的情况可总结出n个点（n≥2）时最多能确定：条直线．
故答案为：1；3，6，10，．
【点评】本题考查了点确定直线的知识，有一定难度，注意动手操作及总结规律能力的培养．
变式2．已知如图
（1）如图（1），两条直线相交，最多有 1 个交点．
如图（2），三条直线相交，最多有 3 个交点．
如图（3），四条直线相交，最多有 6 个交点．
如图（4），五条直线相交，最多有 10 个交点；
（2）归纳，猜想，30条直线相交，最多有 435 个交点．
【分析】（1）根据图形即可求得直线相交点的个数；
（2）根据已知条件，求得n条直线相交，最多有个交点的个数，再将n=30代入上式即可求得相交点的个数．
【解答】解：（1）如图（1），两条直线相交，最多有1个交点．
易错点一： 考虑问题不全面
易错点二： 不考虑实际情况
例题．已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（ ）
A．21cm或4cmB．20.5cm
C．4.5cmD．20.5cm或4.5cm
【分析】分类讨论：C在线段AB上，C在线段AB的延长线上，根据线段中点的性质，可得BE、BF的长，根据线段的和差，可得EF的长．
【解答】解：当C在线段AB上时，由点E，F分别是线段AB、BC的中点，得
BE=AB=×25=12.5cm，BF=BC=×16=8cm，
由线段的和差，得EF=BE+BF═20.5cm，
当C在线段AB的延长线上时，由点E，F分别是线段AB、BC的中点，得
BE=AB=×25=12.5cm，BF=BC=×16=8cm，
由线段的和差，得EF=BE﹣BF═4.5cm，
故选D．
【点评】本题考查了两点间的距离，利用线段中点的性质得出BM，BN的长，利用线段的和差得出MN的长，分类讨论是解题关键．
变式1．如果A、B、C三点在同一直线上，线段AB=3cm，BC=2cm，那么A、C两点之间的距离为（ ）
A．1cmB．5cmC．1cm或5cmD．无法确定
【分析】由题意可知，点C分两种情况，画出线段图，结合已知数据即可求出结论．
【解答】解：由题意可知，C点分两种情况，
①C点在线段AB延长线上，如图1，
AC=AB+BC=3+2=5cm；
②C点在线段AB上，如图2，
AC=AB﹣BC=3﹣2=1cm．
综合①②A、C两点之间的距离为1cm或5cm．
故选C．
【点评】本题考查了两点间的距离，解题的关键是根据题意画出线段图，找准线段间的关系．
变式2．已知线段AB=8cm，点C是直线AB上一点，BC=2cm，若M是AB的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度为
（ ）
A．5cmB．5cm或3cmC．7cm或3cmD．7cm
【分析】根据线段中点的性质，可得BM，BN，根据线段的和差，可得答案．
【解答】解：如图1，
由M是AB的中点，N是BC的中点，得
MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，
由线段的和差，得
MN=MB+BN=4+1=5cm；
如图2，
由M是AB的中点，N是BC的中点，得
MB=AB=4cm，BN=BC=1cm，
由线段的和差，得
MN=MB﹣BN=4﹣1=3cm；
线段AB上的点数n（包括A，B两点）
图例
线段总条数N
3
3=2+1
4
6=3+2+1
5
10=4+3+2+1
6
15=5+4+3+2+1
线段AB上的点数n（包括A，B两点）
图例
线段总条数N
3
3=2+1
4
6=3+2+1
5
10=4+3+2+1
6
15=5+4+3+2+1
图形
直线上点的个数
共有线段的条数
两者关系
2
1
0+1==1
3
3
0+1+2==3
4
6
0+1+2+3==6
…
…
…
…
n
图形
直线上点的个数
共有线段的条数
两者关系
2
1
0+1==1
3
3
0+1+2==3
4
6
0+1+2+3==6
…
…
…
…
n
0+1+2+3+…+（n﹣1）==
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