初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）线段、射线、直线优质学案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）七年级上册（2024）线段、射线、直线优质学案设计，共3页。
内 容 导 航
考 点 演 练
题型1 直线、射线、线段
【典例1】下列图形中，能比较长短的是（ ）
A．直线与射线B．射线与线段
C．直线与线段D．两条线段
【答案】D
【解答】解：两条线段可以比较长短，
故选：D．
【变式1】下表是G1105次列车武汉站始发、终到广州白云站的高铁车次表，在不含返程的情况下，请你说明最终需要设计（ ）种车票．
A．45B．55C．66D．78
【答案】C
【解答】解：把这12个车站看作是一条线段上的12个点，
相邻两点之间构成一条线段共有11种情况，
隔一个点的两点构成一条线段有10种情况，
隔2个点的两点构成一条线段有9种情况，
…，
隔10个点的两点构成一条线段有1种情况，
∴一共可以构成11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1＝66条线段，
∴在不含返程的情况下，最终需要设计66种车票，
故选：C．
【变式2】如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点A在直线BD外
B．点A到点C的距离是线段AC的长度
C．射线AC与射线BC是同一条
D．直线AC和直线BD相交于点B
【答案】C
【解答】解：选项A．点A在直线BD外，正确，故不符合题意；
选项B．点A到点C的距离是线段AC的长度，正确，故不符合题意；
选项C．射线AC与射线BC不是同一条，不正确，故符合题意；
选项D．直线AC和直线BD相交于点B，正确，故不符合题意；
故选：C．
【变式3】如图，以点O为端点的射线有（ ）条．
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解答】解：射线有OA、OD、OB、OC，共4条，
故选：C．
题型2 直线的性质：两点确定一条直线
【典例1】在下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（ ）
①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上．
A．①③B．②④C．①④D．②③
【答案】C
【解答】解：①用两颗钉子就可以把木条固定在墙上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释；
②把笔尖看成一个点，当这个点运动时便得到一条线，可以用基本事实“无数个点组成线”来解释；
③把弯曲的公路改直，就能缩短路程，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释；
④植树时，只要栽下两棵树，就可以把同一行树栽在同一条直线上，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释．
故选：C．
【变式1】同一平面内的六个点最多可以确定的直线条数是（ ）
A．12条B．15条C．30条D．36条
【答案】B
【解答】解：两点确定1条直线；
不同三点最多可确定3条直线；
不同4点最多可确定（1+2+3）条直线；
不同5点最多可确定（1+2+3+4）条直线；
…
所以平面上不同的6个点最多可确定1+2+3+4+5＝15条直线．
故选：B．
【变式2】如图，小亮为将一个衣架固定在墙上，他在衣架两端各用一个钉子进行固定，用数学知识解释他这样操作的原因是（ ）
A．过一点有无数条直线B．点动成线，线动成面
C．两点确定一条直线D．两点之间，线段最短
【答案】C
【解答】解：因为“两点确定一条直线”，
所以他在衣架两端各用一个钉子进行固定．
故选：C．
【变式3】在日常生活和生产中常常看到下列现象：①把弯曲的公路改直，可以缩短路程；②植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上；③砌墙时，常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线；④用两个钉子就可以把直木条固定在墙上．其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有（ ）
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】C
【解答】解：①把弯曲的公路改直，可以缩短路程，是两点之间，线段最短；
②植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上，是两点确定一条直线；
③砌墙时，常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，是两点确定一条直线；
④用两个钉子就可以把直木条固定在墙上，是两点确定一条直线．
其中能用“两点确定一条直线”来解释的现象有②③④．
故选：C．
题型3 线段的性质：两点之间线段最短
【典例1】在下列日常生活的操作中，能体现基本事实“两点之间，线段最短”的是（ ）
A．用两颗钉子固定一根木条
B．把弯路改直可以缩短路程
C．用两根木桩拉一直线把树栽成一排
D．沿桌子的一边看，可将桌子排整齐
【答案】B
【解答】解：A、用两颗钉子固定一根木条体现基本事实“两点确定一条直线”；
B、把弯路改直可以缩短路程体现基本事实“两点之间，线段最短”；
C、用两根木桩拉一直线把树栽成一排体现基本事实“两点确定一条直线”；
D、沿桌子的一边看，可将桌子排整齐体现基本事实“两点确定一条直线”；
故选：B．
【变式1】若将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是 两点之间线段最短 ．
【答案】两点之间线段最短
【解答】解：将弯曲的河道改直，可以缩短航程，根据是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
【变式2】如图，从A到B有多条道路，人们通常会走中间的直路，而不走其他的路，这其中的数学道理是 两点之间线段最短 ．
【答案】两点之间线段最短
【解答】解：道理是：两点之间线段最短．
故答案为：两点之间线段最短．
题型4 两点间的距离
【典例1】下列说法正确的个数是（ ）
①连接两点的线段叫这两点之间的距离；
②将一根木条固定在墙上需要两枚钉子，其原理是两点确定一条直线；
③连接两点的所有线中，直线最短
④若AP＝BP，则点P是线段AB的中点；
⑤0的绝对值、相反数、倒数都等于它本身．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：根据线段、直线的性质以及有理数的绝对值、相反数的性质逐项判断如下：
①两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离，说法错误；
②说法正确；
③两点之间线段最短，说法错误；
④当点A，B，P在同一条直线上时，若AP＝BP，则点P是线段AB的中点，说法错误；
⑤0没有倒数，说法错误．
故选：A．
【变式1】在直线l上有A、B、C、D四点，其中点B是线段AD的三等分点，点C是线段AD的中点，点E是线段AD延长线上一点，且AE+BE＝2AD，则BECE的值为 54或45 ．
【答案】54或45．
【解答】解：设AD＝x，
∵点C是线段AD的中点，
∴AC＝CD=12x，
当点B是靠近A的线段AD的三等分点时，
AB=13x，BD=23x，
∵AE+BE＝2AD，
∴x+DE+23x+DE＝2x，
∴DE=16x，
∴BECE=23x+16x12x+16x=54，
当点B是靠近D的线段AD的三等分点时，
BD=13x，AB=23x，
∵AE+BE＝2AD，
∴x+DE+13x+DE＝2x，
∴DE=13x，
∴BECE=13x+13x12x+13x=45，
答：BECE的值为54或45．
【变式2】如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段BC的长为 4或16 ．
【答案】4或16
【解答】解：①如图，
CD＝3，CE＝5，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴AD＝DC+CB
∵点E为线段AC的中点，
∴AE＝EC=12AC＝5
∴AC＝10
∴AD＝AC﹣DC＝7
∴DC+CB＝7
∴BC＝4；
②如图，
CD＝3，CE＝5，
∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，
∴BD＝DC+CA
∵点E为线段AC的中点，
∴AE＝EC=12AC＝5
∴AC＝10
∴AC+DC＝13
∴BD＝13
∴BC＝BD+DC＝16．
综上所述，BC的长为4或16．
故答案为4或16．
【变式3】已知线段AB＝10且C是直线AB上一点，AC：BC＝2：3，求AC的长为 4或20 ．
【答案】4或20．
【解答】解：已知线段AB＝10且C是直线AB上一点，AC：BC＝2：3，
设AC＝2k，BC＝3k（k＞0）．
当点C在线段AB上时，AB＝AC+BC＝5k＝10，
解得k＝2，
故AC＝2k＝4；
当点C在线段BA的延长线上时，BC＝AB+AC，
即3k＝10+2k，
解得k＝10，
故AC＝2k＝20．
故答案为：4或20．
题型5 比较线段的长短
【典例1】线段AB上有P、Q两点，AB＝26，AP＝14，PQ＝11，那么BQ＝ 23或1 ．
【答案】23或1
【解答】解：本题有两种情形：
（1）当点Q在线段AP上时，如图，BQ＝BP+PQ＝AB﹣AP+PQ＝26﹣14+11＝23；
（2）当点Q在线段BP上时，如图，BQ＝BP﹣PQ＝AB﹣AP+PQ＝26﹣14﹣11＝1．
故答案为：23或1．
题型6 线段的和差
【典例1】有两根木条，一根AB长为80cm，另一根CD长为130cm，在它们的中点处各有一个小圆孔M、N（圆孔直径忽略不计，M、N抽象成两个点），将它们的一端重合，放置在同一条直线上，此时两根木条的小圆孔之间的距离MN是（ ）
A．105cmB．20cm
C．105cm或25cmD．105cm或20cm
【答案】C
【解答】解：由题知，
①如图所示，
∵M，N分别为AB和CD的中点，
∴AM=12AB=40cm，AN=12CD=65cm，
∴MN＝AN﹣AM＝65﹣40＝25（cm）；
②如图所示，
∵M，N分别为AB和CD的中点，
∴BM=12AB=40cm，BN=12CD=65cm，
∴MN＝BM+BN＝40+65＝105（cm），
综上所述，MN的长为25cm或105cm．
故选：C．
【变式1】如图，点B在线段AC上，且BC＝2AB，D，E分别是AB，BC的中点．则下列结论：①AB=13AC；②B是AE的中点；③EC＝2BD；④DE=32AB；⑤若DE＝5，则图中所有线段之和为50．其中正确的结论有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】D
【解答】解：①由BC＝2AB，AC＝AB+BC，得：13AC=AB，说法正确，故符合题意；
②由E是BC的中点，BC＝2AB，得BE＝AB，则B是AE的中点，说法正确，故符合题意；
③由D，E分别是AB，BC的中点，得：EC＝BE＝AB＝2BD，说法正确，故符合题意；
④由上述结论，得：DE=DB+BE=12AB+AB=32AB，说法正确，故符合题意；
⑤由DE=32AB，DE＝5，得到AB=103，又13AC=AB，则AC＝10，AD=BD=12AB=53，BE=CE=12BC=2BD=103，
∴AD+AB+AE+AC=53+103+203+10=653，
DB+DE+DC=53+153+253=15，
BE+BC=103+203=10，EC=103，
∴图中所有线段之和为653+15+10+103=50，说法正确，故符合题意，
故选：D．
【变式2】已知线段AC＝10，点B是线段AC的中点，点D是线段AC上一点，且BD＝2，则线段CD的长为（ ）
A．3B．3或7C．8或3D．8
【答案】B
【解答】解：①如图1，当点D在点B左侧时，
∵AC＝10，点B是线段AC的中点，BD＝2，
∴BC=12AC=12×10=5，
∴CD＝BC+BD＝5+2＝7；
②如图2，当点D在点B右侧时，
∵AC＝10，点B是线段AC的中点，BD＝2，
∴BC=12AC=12×10=5，
∴CD＝BC﹣BD＝5﹣2＝3，
故选：B．
【变式3】以下四个等式：①AB＝BC；②AB=12AC；③AC＝2BC；④AC＝2AB＝2BC．其中能表示点B是线段AC中点的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】A
【解答】解：点B在线段AC上，当AB＝BC时，点B是AC的中点，因此①错误；
点B在线段AC上，当AB=12AC时，点B是AC的中点，因此②错误；
点B在线段AC上，当AC＝2BC时，点B是AC的中点，因此③错误；
当AC＝2AB＝2BC，点B一定是AC的中点，因此④正确；
故选：A．
题型7 作图—基本作图
【典例1】如图，用尺规作图作出∠OBF＝∠AOB，则作图痕迹弧MN是（ ）
A．以点B为圆心，以OD长为半径的弧
B．以点B为圆心，以DC长为半径的弧
C．以点E为圆心，以OD长为半径的弧
D．以点E为圆心，以DC长为半径的弧
【答案】D
【解答】解：作∠OBF＝∠AOB的作法：
①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，分别交射线OA，OB于点C，D；
②以点B为圆心，以OC为半径画EF，交射线BO于点E；
③以点E为圆心，以CD为半径画MN，交EF于点N，连接BN即可得出∠OBF，
则∠OBF＝∠AOB．
故选：D．
【变式1】用尺规作一个角等于已知角：如图，已知∠AOB，求作∠DEF，使∠DEF＝∠AOB．可以通过以下步骤作图：
①作射线EG；
②以点E为圆心，以OP为半径画弧交EG于点D；
③以O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点P，交OB于点Q；
④过点F作射线EF，∠DEF即为所求作的角；
⑤以点D为圆心，以PQ为半径画弧交前面的弧于点F．
则下列排序正确的是（ ）
A．①②③④⑤B．①③②⑤④C．①②③⑤④D．①⑤②③④
【答案】B
【解答】解：根据作一个角等于已知角的方法可知，正确的排序为①③②⑤④．
故选：B．
【变式2】如图，用尺规作出了∠NCB＝∠AOD，作图痕迹中弧FG是（ ）
A．以点C为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DM为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DM为半径的弧
【答案】D
【解答】解：根据作一个角等于已知角可得弧FG是以点E为圆心，DM为半径的弧．
故选：D．
【变式3】如图，已知点C在∠AOB的边OB上，利用尺规作图法在∠AOB内作∠OCD，使得点D在射线OA上，且∠OCD＝∠AOB．（不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见试题解答内容
【解答】解：如图，点D即为所求．
过 关 验 收
1．在平面上任意画4个点，那么这4个点确定的直线共有（ ）
A．1条或4条B．1条或6条
C．4条或6条D．1条或4条或6条
【答案】D
【解答】解：如图1，4点共线时，可以确定1条直线；
如图2，3点共线时可以确定4条直线；
如图3，任意3点都不共线时，可以确定6条直线；
综上所述，这4个点确定的直线共有1条或4条或6条．
故选D．
2．如图，对于直线AB，线段CD，射线EF，其中能相交的图是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解答】解：∵直线没有端点，可以向两方无限延长，
射线只有一个端点，可以向一方无限延长，
线段有两个端点，不能向两方无限延长，
∴A，B，D不符合题意，C符合题意，
故选：C．
3．两条相交直线与另一条直线在同一平面内，它们的交点个数是（ ）
A．1B．2C．3或2D．1或2或3
【答案】D
【解答】解：当另一条直线与两条相交直线交于同一点时，交点个数为1；
当另一条直线与两条相交直线中的一条平行时，交点个数为2；
当另一条直线分别与两条相交直线相交时，交点个数为3；
故选：D．
4．如图，在平面内有A、B、C三点，根据下列语句画图：
（1）画直线AC，线段BC，射线AB；
（2）在线段BC上任取一点D（不同于点B、C），连接线段AD；
（3）数数看，此时图中线段共有 6 条．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）如图所示：
（2）如图所示：
（3）图中有线段AB，AC，AD，BC，BD，CD，一共6条．
故答案为：6．
5．射击是一项用枪支对准目标打靶的竞技项目，在正常情况下，射击时要保证瞄准点在准星和缺口确定的直线上（如图所示），才能射中目标，这样做的数学依据是 两点确定一条直线 ．
【答案】两点确定一条直线．
【解答】解：这样做的数学依据是两点确定一条直线．
故答案为：两点确定一条直线．
6．用两个钉子就可以把木条固定在墙上，其中蕴含的数学知识是： 两点之间确定一条直线 ．
【答案】两点之间确定一条直线
【解答】解：用两个钉子就可以把木条固定在墙上，其中蕴含的数学知识是：两点之间确定一条直线．
故答案为：两点之间确定一条直线．
7．如图，已知线段AB＝8cm，M是AB的中点，P是线段MB上一点，N为PB的中点，NB＝1.5cm，试求线段MP的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵M是AB的中点，AB＝8cm，
∴AM＝BM＝4cm，
∵N为PB的中点，NB＝1.5cm，
∴PB＝2NB＝3cm，
∴MP＝BM﹣PB＝4﹣3＝1（cm）．
8．如图，点C在线段AB上，点D是线段BC的中点，且AB＝12，AC＝2CD．
（1）图中共有 6 条线段；
（2）求BC的长；
（3）若点E在线段AB上，且AE＝2，则CE的长为 4 ．
【答案】（1）6；
（2）BC＝6；
（3）4．
【解答】解：（1）图中线段有：AC、CD、DB、AD、CB、AB，共6条，
故答案为：6；
（2）∵点D是线段BC的中点，
∴BC＝2CD，
∵AC＝2CD，
∴AC＝BC，
∵AB＝12，
∴BC＝AC＝6；
（3）∵AE＝2，AC＝6，
∴CE＝4，
故答案为：4．
9．如图，下列关系式中与图不一定符合的式子是（ ）
A．AD﹣CD＝AB+BCB．AC﹣BC＝AD﹣BD
C．AC﹣BC＝BD﹣BCD．AC﹣AB＝BD﹣CD
【答案】C
【解答】解：A、AD﹣CD＝AB+BC，正确，不符合题意；
B、AC﹣BC＝AD﹣BD，正确，不符合题意；
C、AC﹣BC＝AB，而BD﹣BC≠AB，故本选项错误，符合题意；
D、AC﹣AB＝BD﹣CD，正确，不符合题意．
故选：C．
10．如图，点B是线段AC上一点，且AB＝28cm，BC=14AB．点O是线段AC的中点，求线段OB的长．
∵AB＝28cm，BC=14AB，
∵BC=14AB=14×28=7(cm)，
∴AC＝AB+BC ＝ 35 （cm），
∵O为AC中点，
∴OA＝ 12AC ＝ 17.5 （cm），
∴OB＝AB﹣OA ＝ 10.5 （cm）．
【答案】BC，35，12AC，17.5，OA，10.5．
【解答】解：∵AB＝28cm，BC=14AB，
∵BC=14AB=14×28=7(cm)，
∴AC＝AB+BC＝28+7＝35cm，
∵O为AC中点，
∴OA=12AC=17.5cm，
∴OB＝AB﹣OA＝28﹣17.5＝10.5cm．
答案为：BC，35，12AC，17.5，OA，10.5．
11．如图，已知线段AB，延长线段AB到点C，使BC=13AB，反向延长AB到点D，使AD=12AC．
（1）画出图形，并直接写出ADBC= 2 ；
（2）若点E为线段DB中点，当CE＝7时，画出图形，并求AB的长．
【答案】（1）2；
（2）6．
【解答】解：（1）根据题意画出图形如下：
设BC＝x，
∵BC=13AB，
∴AB＝3x，
∴AC＝AB+BC＝3x+x＝4x，
∵AD=12AC，
∴AD＝2x，
∴ADBC=2xx=2，
故答案为：2；
（2）根据题意画出图形如下：
同（1）AD＝2x，BC＝x，AB＝3x，
∴BE＝CE﹣BC＝7﹣x，BD＝AD+AB＝5x，
∵点E为线段DB中点，
∴BE=12BD，
即7−x=12×5x，
解得：x＝2，
∴AB＝6．
12．（1）如图所示，已知线段a，b．
①作射线AM；
②在射线AM上依次截取AC＝CD＝a；
③在线段DA上截取DB＝b．
由作图可知AB＝ 2a﹣b ．（用含a，b的式子表示）
（2）在（1）的作图基础上，若a＝10，b＝8，E为线段AC的中点，F为线段BD的中点，求线段EF的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）由作图可知，AD＝2a，DB＝b，
∴AB＝AD﹣DB＝2a﹣b．
故答案为：2a﹣b；
（2）∵E为线段AC的中点，F为线段BD的中点，a＝10，b＝8，
∴AE=12AC=12a＝5，FD=12BD=12b＝4，
由（1）可知，AD＝2a＝20，
∴EF＝AD﹣AE﹣DF＝20﹣5﹣4＝11．题型1 直线、射线、线段
题型2 直线的性质：两点确定一条直线
题型3 线段的性质：两点之间线段最短
题型4 两点间的距离
题型5 比较线段的长短
题型6 线段的和差
题型7 作图—基本作图
解｜题｜知｜识
（1）直线、射线、线段的表示方法
①直线：用一个小写字母表示，如：直线l，或用两个大写字母（直线上的）表示，如直线AB．
②射线：是直线的一部分，用一个小写字母表示，如：射线l；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA．注意：用两个字母表示时，端点的字母放在前边．
③线段：线段是直线的一部分，用一个小写字母表示，如线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）．
（2）点与直线的位置关系：①点经过直线，说明点在直线上；②点不经过直线，说明点在直线外．
解｜题｜知｜识
（1）直线公理：经过两点有且只有一条直线．
简称：两点确定一条直线．
（2）经过一点的直线有无数条，过两点就唯一确定，过三点就不一定了．
解｜题｜知｜识
线段公理
两点的所有连线中，可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短．
简单说成：两点之间，线段最短．
解｜题｜知｜识
（1）两点间的距离
连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
（2）平面上任意两点间都有一定距离，它指的是连接这两点的线段的长度，学习此概念时，注意强调最后的两个字“长度”，也就是说，它是一个量，有大小，区别于线段，线段是图形．线段的长度才是两点的距离．可以说画线段，但不能说画距离．
解｜题｜知｜识
（1）比较两条线段长短的方法有两种：度量比较法、重合比较法．
就结果而言有三种结果：AB＞CD、AB＝CD、AB＜CD．
（2）线段的中点：把一条线段分成两条相等的线段的点．
（3）线段的和、差、倍、分及计算
做一条线段等于已知线段，可以通过度量的方法，先量出已知线段的长度，再利用刻度尺画条等于这个长度的线段，也可以利用圆规在射线上截取一条线段等于已知线段．
如图，AC＝BC，C为AB中点，AC=12AB，AB＝2AC，D 为CB中点，则CD＝DB=12CB=14AB，AB＝4CD，这就是线段的和、差、倍、分．
解｜题｜知｜识
线段的和差问题，通常可以考虑用“截长法”或“补短法”来完成，
解｜题｜知｜识
基本作图有：
（1）作一条线段等于已知线段．
（2）作一个角等于已知角．
（3）作已知线段的垂直平分线．
（4）作已知角的角平分线．
（5）过一点作已知直线的垂线．