初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）27.1 反比例函数的概念学案设计

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题型归纳
TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc16984" 【题型1 反比例函数的识别】 PAGEREF _Tc16984 \h 1
\l "_Tc4262" 【题型2 根据反比例函数的定义求参数】 PAGEREF _Tc4262 \h 3
\l "_Tc27647" 【题型3 求反比例函数中自变量的取值范围】 PAGEREF _Tc27647 \h 4
\l "_Tc6558" 【题型4 反比例函数的解析式】 PAGEREF _Tc6558 \h 5
\l "_Tc23154" 【题型5 列反比例函数关系式-几何图形类】 PAGEREF _Tc23154 \h 7
\l "_Tc24787" 【题型6 列反比例函数关系式-物理公式类】 PAGEREF _Tc24787 \h 9
\l "_Tc16710" 【题型7 列反比例函数关系式-生活经济类】 PAGEREF _Tc16710 \h 11
\l "_Tc6810" 【题型8 列反比例函数关系式-图表信息类】 PAGEREF _Tc6810 \h 12
考点1
反比例函数的概念
知识点1 反比例函数的概念
定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=kx（k为常数，k≠0）的形式，那么称y是x的反比例函数．
自变量取值范围：x≠0，因变量取值范围：y≠0．
反比例函数的形式：①xy=k；②y=kx；③y=x−1．
k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且k≠0．
【题型1 反比例函数的识别】
【例1】（25-26八年级下·山东济南·期中）下列式子中，y是x的反比例函数的是（ ）
A．y=x3B．y=x2C．xy=−2D．y=1x+3
【答案】C
【分析】本题根据反比例函数的定义进行判断，反比例函数的一般形式为y=kx k≠0，也可变形为 xy=k (k≠0) ，据此逐一判断各选项即可．
【详解】解：A．y=x3是正比例函数，该选项不符合题意；
B．y=x2是二次函数，该选项不符合题意；
C． xy=−2变形可得y=−2x，是反比例函数，该选项符合题意；
D．y=1x+3 不符合反比例函数定义，该选项不符合题意．
【变式1-1】（25-26九年级上·陕西西安·月考）反比例函数y=12x的k值是__________ ．
【答案】12
【分析】本题考查反比例函数的定义，掌握反比例函数的三种形式是解题的关键．
根据反比例函数的定义作出判断即可．
【详解】解：反比例函数y=12x的k值是12；
故答案为：12．
【变式1-2】（24-25九年级上·山东烟台·期中）将反比例函数y=−34x写成y=kx的形式，则k的值为_____．
【答案】−34/−0.75
【分析】本题考查了反比例函数的定义，由y=−34x=−34x即可求得k的值．
【详解】解：∵反比例函数y=−34x=−34x，
∴k=−34；
故答案为：−34．
【变式1-3】（25-26九年级上·宁夏银川·月考）下列函数：①y=3x−1；②y=2x−1；③y=−8x2；④y=12x；⑤y=x2−1；⑥xy=−1；⑦y=2x，y是x的反比例函数的有 ________ ．（填序号）
【答案】②④⑥
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如y=kx（k为常数，k≠0），或可转化为y=kx−1（k≠0）、xy=k（k≠0）形式的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可．
【详解】解：①y=3x−1是一次函数，不是反比例函数，
②y=2x−1可变形为y=2x，符合反比例函数的定义，是反比例函数，
③y=−8x2中自变量x的次数为−2，不符合反比例函数定义，不是反比例函数，
④y=12x可变形为y=12x，符合反比例函数的定义，是反比例函数，
⑤y=x2−1是二次函数，不是反比例函数，
⑥xy=−1可变形为y=−1x，符合反比例函数的定义，是反比例函数，
⑦y=2x是正比例函数，不是反比例函数，
综上所述，反比例函数有②④⑥．
故答案为：②④⑥．
【题型2 根据反比例函数的定义求参数】
【例2】（25-26九年级下·广东潮州·月考）若y=3xm−2是反比例函数，则m的值为_______．
【答案】3
【分析】反比例函数的一般形式为y=kx (k≠0, k为常数)，可得分母中x的次数为1，据此列方程计算即可得到m的值．
【详解】解：根据反比例函数的定义，可得m−2=1，
解得m=3．
【变式2-1】（2026·河南南阳·一模）写出一个使函数y=1x−6存在的x的值：_____．
【答案】3（答案不唯一）
【详解】解：∵函数y=1x−6存在，
∴x−6≠0，
解得x≠6，
故x的值可为3．
【变式2-2】（25-26八年级下·河南周口·月考）若函数y=(m+3)x(m2−8)是反比例函数，则m的值为_____．
【答案】7或−7
【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义得到x的指数和系数需要满足的条件，列方程求解即可.
【详解】解：∵ 函数 y=m+3xm2−8 是反比例函数，
根据反比例函数的定义，形如y=kx（k为常数，k≠0）的函数叫做反比例函数，可变形为y=kx−1，
因此可得m2−8=−1m+3≠0，
解一元二次方程m2−8=−1，移项得m2=7，开方得m=7或m=−7，
验证m+3，7+3≠0，−7+3≠0，均满足系数不为0的条件，
故m的值为7或−7．
【变式2-3】（25-26九年级上·山东威海·月考）若函数y=m+3m−2xm2−3是反比例函数，则m的值为（）
A．2B．−2C．±3D．3
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的形式为y=kx−1，其中k≠0是解题的关键．
根据反比例函数的定义列式方程计算即可．
【详解】解：∵函数y=m+3m−2xm2−3是反比例函数，
∴m2−3=−1且m+3m−2≠0，
解得：m=−2．
故选B．
【题型3 求反比例函数中自变量的取值范围】
【例3】（24-25九年级上·云南·月考）在反比例函数y=xx+2中，自变量x的取值范围为（ ）
A．x>−2B．x