人教A版 (2019)必修 第一册同角三角函数的基本关系导学案及答案

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册同角三角函数的基本关系导学案及答案，共6页。学案主要包含了单选题，多选题，填空题等内容，欢迎下载使用。

1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α＋cs2α＝1.
(2)商数关系:sinαcsα＝tan αα≠π2＋kπ，k∈Z.
2.三角函数的诱导公式
1.同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cs α)2＝1±2sin αcs α;
sin α＝tan α·cs α.
2.诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π2的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化.
3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)若α，β为锐角，则sin2α＋cs2β＝1.( )
(2)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.( )
(3)若α∈R，则tan α＝sinαcsα恒成立.( )
(4)若sin(kπ－α)＝13(k∈Z)，则sin α＝13.( )
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
解析 (1)对任意的角α，sin2α＋cs2α＝1.
(2)中对于任意α∈R，恒有sin(π＋α)＝－sin α.
(3)中当α的终边落在y轴上时，商数关系不成立.
(4)当k为奇数时，sin α＝13，
当k为偶数时，sin α＝－13.
2.(湘教必修一P168例5改编)已知α是第三象限角，sin α＝－35，则tan α＝( )
A.－34B.34
C.－43D.43
答案 B
解析 由题意得cs α＝－45，
故tan α＝sinαcsα＝34.
3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin7π2＋α＝35，那么cs α＝( )
A.－45B.－35
C.35D.45
答案 B
解析 因为sin7π2＋α＝－cs α＝35，
所以cs α＝－35.
4.(北师大必修二P24例8(3)改编)求值:
sin5π6cs−π4＋sin11π6cs5π4＝ .
答案 22
解析 sin 5π6cs−π4＋sin 11π6cs5π4
＝sin−π6＋πcs π4＋sin−π6＋2πcsπ4＋π
＝sinπ6csπ4＋−sinπ6−csπ4
＝2×12×22＝22.
考点一 同角三角函数基本关系式
角度1 切弦互化
例1 (1)(2026·南宁质检)若tan θ＝－2，则sinθ(1＋2sinθcsθ)sinθ＋csθ＝( )
A.－65B.－25
C.25D.65
(2)(2023·全国乙卷)若θ∈0,π2，tan θ＝12，则sin θ－cs θ＝ .
答案 (1)C (2)－55
解析 (1)因为tan θ＝－2，
所以sinθ(1＋2sinθcsθ)sinθ＋csθ
＝sinθ(sin2θ＋cs2θ＋2sinθcsθ)sinθ＋csθ
＝sinθ(sinθ＋csθ)2sinθ＋csθ＝sin2θ＋sin θcs θ
＝sin2θ＋sinθcsθsin2θ＋cs2θ＝tan2θ＋tanθtan2θ＋1＝(−2)2−2(−2)2＋1
＝25.
(2)由tanθ＝sinθcsθ＝12，sin2θ＋cs2θ＝1，且θ∈0,π2，
解得sinθ＝55，csθ＝255， 故sin θ－cs θ＝－55.
感悟提升 同角三角函数关系式的应用方法
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现角α的正弦、余弦的互化，利用sinαcsα＝tan α可实现角α的弦切互化.
(2)当分式中分子与分母是关于sin α，cs α的齐次式时，往往转化为关于tan α的式子求解.
角度2 “和”“积”转换
例2 (多选)已知sin θ＋cs θ＝15，θ∈(0，π)，则下列等式正确的是( )
A.sin θcs θ＝－1225
B.sin θ－cs θ＝75
C.tan θ＝－34
D.sin3θ＋cs3θ＝37125
答案 ABD
解析 将sin θ＋cs θ＝15两边同时平方可得
1＋2sin θcs θ＝125，
∴sin θcs θ＝－1225，故A正确;
∵θ∈(0，π)，∴sin θ>0，cs θ