新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式

4.2　同角三角函数的基本关系及诱导公式

必备知识预案自诊　

知识梳理

1.同角三角函数的基本关系

(1)平方关系:sin2α+cos2α=　　　　. 

(2)商数关系:=　　　 .

2.三角函数的诱导公式

考点自诊

1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.

(1)对任意的角α,β有sin2α+cos2β=1. (　　)

(2)若α∈R,则tan α=恒成立. (　　)

(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. (　　)

(4)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),则cos θ=. (　　)

2.(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cosα-=-,α∈π,,则tan α=(　　)

A.2 B. 

C.1 D.

3.(2020河北唐山模拟,理4)已知角α的顶点在原点,始边与x轴的正半轴重合,终边上一点A(2sin α,3)(sin α≠0),则cos α=(　　)

A. B.- 

C. D.-

4.函数f(x)=sinx++cosx-的最大值为(　　)

A. B.1 C. D.

关键能力学案突破　

【例1】(1)若tan(α-π)=,则= (　　)

A.- B.-2 C. D.2

(2)已知tan θ=2,则sin2θ+sin θcos θ-2cos2θ等于 (　　)

A.- B. C.- D.

解题心得1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用tanα=可以实现角α的弦切互化.

2.“1”的灵活代换:1=cos2α+sin2α=(sinα+cosα)2-2sinαcosα=tan.

3.关于sinα,cosα的齐次式,往往化为关于tanα的式子.

对点训练1(1)已知α是第四象限角,sin α=-,则tan α等于(　　)

A.- B. C.- D.

(2)若3sin α+cos α=0,则的值为 (　　)

A. B. C. D.-2

【例2】(1)(2020山西太原三模,理3)已知sin θ-cos θ=,θ∈(0,π),则tan θ=(　　)

A.-1 B.- C. D.1

(2)已知θ为第二象限角,sin θ,cos θ是关于x的方程2x2+(-1)x+m=0(m∈R)的两根,则sin θ-cos θ=              (　　)

A. B. C. D.-

解题心得1.通过平方,对称式sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα之间可建立联系,若令sinα+cosα=t,则sinαcosα=,sinα-cosα=±(注意根据α的范围选取正、负号).

2.利用上述关系,对于sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα这三个式子,可以知一求二.

对点训练2(2020江西名校大联考,理3)已知α∈,sin(π-2α)=-,则sin α-cos α=(　　)

A. B.- C. D.-

【例3】(1)已知sin(π-α)=log8,且α∈-,0,则tan(2π-α)的值为(　　)

A.- B. C.± D.

(2)已知θ是第四象限角,且sinθ+=,则tanθ-=　　　　. 

解题心得1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.

2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.

3.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.

对点训练3(1)已知A=(k∈Z),则A的值构成的集合是(　　)

A.{1,-1,2,-2} B.{-1,1}

C.{2,-2} D.{1,-1,0,2,-2}

(2)sin 600°+tan 240°的值等于　　　　. 

(3)已知sin+α=,则cosα-=　　　. 

【例4】(1)(2020河北邯郸联考)已知3sin+α=-5cos+α,则tan+α=(　　)

A.- B.- C. D.

(2)已知α为锐角,且2tan(π-α)-3cos+β+5=0,tan(π+α)+6sin(π+β)-1=0,则sin α=(　　)

A. B. C. D.

解题心得1.利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.

2.注意角的范围对三角函数值符号的影响.

对点训练4(1)已知角tan θ=,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于(　　)

A.- B. C.- D.

(2)已知sin α=,则tan(π+α)+=　　　　. 

4.2　同角三角函数的基

本关系及诱导公式

必备知识·预案自诊

知识梳理

1.(1)1　(2)tan α

2.-sin α　-sin α　sin α　cos α　cos α　-cos α　cos α　-cos α　sin α　-sin α

tan α　-tan α　-tan α

考点自诊

1.(1)×　(2)×　(3)×　(4)×

2.A　∵cosα-=sinα=-,又α∈π,,∴cosα=-,∴tanα=2.故选A.

3.A　由三角函数定义得tanα=,即,得3cosα=2sin2α=2(1-cos2α),解得cosα=或cosα=-2(舍去).故选A.

4.A　因为cosx-=cos-x+=sinx+,所以f(x)=sinx++sinx+=sinx+,故函数f(x)的最大值为.故选A.

关键能力·学案突破

例1(1)D　(2)D　(1)tan(α-π)=-tan(π-α)=tanα=,

==2.

(2)sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ

=

=,

又tanθ=2,故原式=.

对点训练1(1)C　(2)A　(1)因为α是第四象限角,sinα=-,所以cosα=,故tanα==-.

(2)由题知,3sinα+cosα=0,且cosα≠0,故tanα=-,

.

例2(1)A　(2)B　(1)由sinθ-cosθ=,得1-2sinθcosθ=2,所以2sinθcosθ=-1,又α∈(0,π),所以cosθ<0,所以θ∈,π,则(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=0,解得sinθ+cosθ=0,所以tanθ=-1.

(2)由题意,sinθ+cosθ=,sinθcosθ=,则(sinθ+cosθ)2=1+2sinθ·cosθ=1+m=,

解得m=-.因为θ为第二象限角,所以sinθ>0,cosθ<0,即sinθ-cosθ>0,

因为(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1-m=1+,所以sinθ-cosθ=.故选B.

对点训练2D　因为sin(π-2α)=-,所以sin2α=-,即2sinαcosα=-.所以(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+.又因为α∈,所以sinα<cosα.所以sinα-cosα=-.故选D.

例3(1)B　(2)-　(1)sin(π-α)=sinα=log8=-,

又因为α∈-,0,则cosα=,

∴tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα=-.

(2)∵sinθ+=,

∴cosθ-=cosθ+-=sinθ+=.

又θ是第四象限角,

∴θ-是第三或第四象限角.

∴sinθ-=-.

∴tanθ-=-.

对点训练3(1)C　(2)　(3)-

(1)当k为偶数时,A==2;

当k为奇数时,A==-2.

(2)sin600°+tan240°=sin(720°-120°)+tan(180°+60°)=-sin120°+tan60°=-.

(3)cosα-=cos-α=cosπ-+α=-cos+α,而sin+α=sin++α=cos+α=,故cosα-=-.

例4(1)A　(2)C　(1)由3sin+α=-5cos+α,得sin+α=-cos+α,

所以tan+α==-.

(2)由已知得

消去sinβ,得tanα=3,

∴sinα=3cosα,代入sin2α+cos2α=1,

化简得sin2α=,则sinα=(α为锐角).

对点训练4(1)D　(2)或-　

(1)sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ

=sin2θ+sinθcosθ-cos2θ

=

=

=.

(2)∵sinα>0,∴α为第一或第二象限角,tan(α+π)+=tanα+.

①当α是第一象限角时,cosα=,原式=;

②当α是第二象限角时,cosα=-=-,原式==-.

综合①②知,原式=或-.