高中数学人教A版 (2019)必修 第一册同角三角函数的基本关系课后测评

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1三角函数定义
重难点一、三角函数符号判定
1．（24-25高一下·安徽·阶段练习）若，则的终边位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】B
【分析】利用三角函数的定义即可解答．
【详解】要使，必须，，即，，所以是第二象限角.
故选：B.
2．（24-25高一下·北京朝阳·期中）点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【答案】C
【分析】根据2弧度和4弧度角所在的象限，判断点的坐标的正负，即可判断选项.
【详解】2弧度的角在第二象限，所以，4弧度的角在第三象限，所以，
所以点在第三象限.
故选：C
3．（23-24高一下·上海奉贤·期中）若为第三象限角，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用为第三象限角，求所在象限，再由三角函数值逐个判断可得.
【详解】因为为第三象限角，所以，
可得，，
所以是第第一，二象限角，
所以，不确定，
故选：B
4．（24-25高一下·河南南阳·期中）若角满足，则角为（ ）
A．第一或第四象限角B．第二或第三象限角
C．第三或第四象限角D．第一或第三象限角
【答案】D
【分析】由和可得，求得的范围，继而分类讨论得到所在象限.
【详解】因，由可得,
则为第一象限角，即,
也即.
当时，,即为第一象限角；
当时，，即为第三象限角.
综上，角为第一或第三象限角.
故选：D
重难点二、单位圆与三角换元
5．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）在（0，2π）内，使sinx＞|csx|的x的取值范围是（ ）
A．（，）B．（，]∪（，]
C．（，）D．（，）
【答案】A
【分析】
由题意可得，讨论当时，当时，当时，运用同角三角函数的商数关系，结合正切函数的图象，即可得到所求范围．
【详解】
解：由，
可得，
再由，可得，
当时，显然成立；
当时，由，即，可得；
当时，，即有，
则，解得，
综上可得．
故选：A．
6．（22-23高一下·广西北海·期中）在上，使不等式成立的x的集合为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合余弦函数的图象，即可求解．
【详解】由，则，
又，所以所求集合为．
故选：A．
7．（2023高一·全国·专题练习）使成立的x的一个变化区间是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据三角函数线，即可得出相应的区间.
【详解】当x的终边落在如图所示的阴影部分时，满足．

故选：A
8．（16-17高一下·浙江金华·期末）已知实数x,y满足方程x2+y2+2x2y=0，则|x|+|y|的最大值为
A．2B．4C．D．
【答案】B
【详解】分析：将圆的一般方程化为标准方程，设出圆的参数方程，利用三角恒等变换得到计算出的最大值，则利用基本不等式进行求解．
详解：将化为，
令，
则
，
又，
所以，
即．
点睛：（1）本题巧妙地利用三角代换设出圆的参数方程，使解题思路变得明了、清晰；
（2）本题的关键是合理将绝对值符号去掉，为了避免讨论，合理利用基本不等式的变形进行放缩．
重难点三、弧度制应用
9．（24-25高一上·吉林长春·期末）把一张半径为2的圆形纸片按如图所示的方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则劣弧的长是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】过点作于，由已知可得，根据弧长公式计算即可.
【详解】过点作于，
由折叠性质可得，，
所以，所以，所以，
所以劣弧的长是.
故选：.
【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是根据折叠性质得到线段的关系，进而得到，根据弧长公式即可求解.
10．（2024高一上·全国·专题练习）圆O的半径为1，P为圆周上一点，现将如图所示放置的边长为1的正方形（正方形的顶点A和点P重合）沿着圆周逆时针滚动．经过若干次滚动，点A第一次回到点P的位置，则点A走过的路程为（ ）
A．2πB．
C．D．
【答案】D
【分析】设第i（）次滚动后A 点位置为，结合图形，可知11次或12次滚动后A回到点P的位置，后结合题目数据可得答案.
【详解】设第i（）次滚动后A 点位置为，结合图形，可知3次或4次滚动后，A点再次达到圆周处，
则第7次或第8次滚动后，A点达到圆周，第11次或第12次滚动后A第一次回到点P的位置，相当于正方形在圆内滚动了三圈.
因为圆O的半径r＝1，正方形的边长a＝1，所以以正方形的一边为弦时所对应的圆心角为，正方形在圆周上滚动时，点的位置如图所示，
设第i（）次滚动点A的路程为，
则，
又，
所以点A所走过的路程为．
故选：D
11．（24-25高二下·河北邯郸·期末）已知扇形的圆心角为2，弧长为，面积为，扇形所在圆的半径为，则取最小值时，半径的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】根据弧长和扇形的面积公式，将转化为关于的函数，利用基本不等式求解即可.
【详解】因为扇形的圆心角为2，扇形所在圆的半径为，
所以弧长，面积，
所以，
当且仅当时取等号，
故选：B.
12．（24-25高一上·四川广安·开学考试）如图，已知点是以为直径的半圆的三等分点，弧的长为，则图中阴影部分的面积为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【分析】连接，根据条件求出半径，再分别求出、扇形和的面积即可.
【详解】连接，设和的交点为，
因点是以为直径的半圆的三等分点，则，
因，则，即为等边三角形，
因，则，
因，则四边形为平行四边形，
因，则四边形为菱形，则，
设圆的半径为，则，，
则，
扇形的面积为，，
则图中阴影部分的面积为，
因弧的长为，，则，则图中阴影部分的面积为.
故选：A

2 诱导公式体系
重难点一、互补型诱导
1．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知为第二象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用诱导公式可得，根据同角三角关系运算求解即可.
【详解】因为，则，即
且，即，可得，
且为第二象限角，则，
可得，.
故选：A.
2．（25-26高二上·浙江·期中）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据正弦的诱导公式结合充分不必要条件定义判断求解.
【详解】“”可以推出“”，
当，满足，不能推出,
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3．（2025·四川绵阳·一模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，应用诱导公式及已知即可求解.
【详解】由，
所以.
故选：B
4．（25-26高三上·山东·月考）已知角的终边关于轴对称，则一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据角的终边关于轴对称，得出，应用诱导公式计算判断A，B，C，应用特殊值判断D.
【详解】因为角的终边关于轴对称，则，
所以，A选项正确；
，B选项错误；
，C选项错误；
当时，，D选项错误；
故选：A.
重难点二、互余型诱导
5．（24-25高一下·江苏南通·期中）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用诱导公式对目标式合理变形，得到，再结合得到，进而利用同角三角函数的基本关系求出，最后得到即可.
【详解】由题意结合诱导公式得，
因为，所以，则，
因为，所以，
解得（负根舍去），可得，故B正确.
故选：B
6．（25-26高一上·全国·单元测试）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由得，根据同角三角函数的基本关系求得的值，再根据诱导公式，即可求得答案．
【详解】因为，所以，则由，
可得，
故．
故选：D
7．（24-25高一下·北京石景山·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用诱导公式即可求得结果.
【详解】由诱导公式得
故选：D
8．（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知，且，求的值为（ ）
A．B．C．0D．
【答案】B
【分析】应用诱导公式及同角三角函数关系计算求解.
【详解】因为，
所以，且，所以，
则.
故选：B.
重难点三、诱导求连加和型
1．（25-26高一上·全国·单元测试）若点的坐标为，始边为轴非负半轴，终边为射线的角为（为坐标原点），则（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】B
【分析】法一:由得，从而，所以，由即可计算求解.
法二:由所在终边刚好将单位圆均分成24份，利用对称性，计算即可.
【详解】法一:，由
得，
由三角函数定义知，
所以，
因为，所以，
所以，
，
所以．
法二:由题意，可以得到所在终边刚好将单位圆均分成24份，
的终边关于原点对称，即，
所以，又，
故．
故选：B.
2．（23-24高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（ ）.
A．1012B．1013C．2024D．2025
【答案】A
【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为.
【详解】根据题意可知，当时，，此时；
又因为为奇数，为偶数，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大，
所以当时，集合中有1011个元素；
当时，易知
又易知，所以可得
，
即时的取值与时的取值相同，
根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数，
当时，易知
，
可得当时，集合中的元素个数只增加了一个0，
所以可得集合的元素个数为个.
故选：A
【点睛】关键点点睛：本题的关键在于通过观察集合中元素的特征，利用的三角函数值的范围以及图象的对称性，由集合中元素的互异性得出当时，集合中的元素个数的增加情况即可求得结果.
3．（2025高三·全国·专题练习）若，则在，，，中，正数的个数是（ ）
A．16个B．72个C．86个D．100个
【答案】C
【分析】依据正弦函数的周期性可解题
【详解】由题知的最小正周期是14，
且有
因此，，；
结合周期性可知，，，，中为零的个数是，
所以正数的个数是86．
故选：C．
4．（24-25高一下·上海·期中）设集合，则集合的元素个数为（ ）
A．1011B．1012C．1013D．1014
【答案】C
【分析】依题意由表达式中角的特征可知当时，的取值各不相同，当时，利用诱导公式以及集合元素的互异性即可求得元素个数为.
【详解】因为
，
当时，，此时；
又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大，
当时，此时；
又因为为奇数，，且中的任意两组角都不关于对称，
所以的取值各不相同，因此当时集合中的取值会随着的增大而增大，
综上可得当时集合中的取值会随着的增大而增大，
所以此时集合中有个元素；
当时，易知
即时的取值与时的取值相同，
根据集合元素的互异性可知，时并没有增加集合中的元素个数，
当时，则，，
即，
所以
，
所以当时集合中的取值会随着的增大而减少，且均为正数，
当时，易知
，
可得当时，集合中的元素个数只增加了一个，
所以可得集合的元素个数为个.
故选：C
3 sinx与csx体系
重难点一、和、积换元互化型
1．（2025·湖北黄冈·二模）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据已知条件求出与的和、差、积，再利用立方差公式来计算的值．
【详解】已知，将等式两边同时平方可得．
根据完全平方公式展开得．
因为，所以，移项可得，则．
因为，且，所以与异号，又因为在上，所以．
，由于，，则．
因为，，所以，那么．
根据立方差公式．
因为，，，所以．
的值为．
故选：C．
2．（2024·河北沧州·模拟预测）函数的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先换元，即令，即可把原函数转化成二次函数，即可求出函数最小值.
【详解】，
令，即，
所以，
由，得，
从而原函数化为，
当时，．
故选:B．
3．（23-24高一上·河南开封·期末）若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用与的关系，结合换元法求得，从而得解.
【详解】因为，
设，则，且，
又，
所以，即，即，所以，
所以，即异号，
所以.
故选：B.
4．（21-22高一下·四川成都·期中）已知，，且，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得到是方程的两个根，再利用韦达定理求得a求解.
【详解】解：因为，，
所以是方程的两个根，
则，，
∵，
化简得：或，
∵，即，
∴．
则，
，
故选：A．
重难点二、平方关系求参
5．（24-25高一上·江苏淮安·期末）已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，csα，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由根与系数的关系可得，，由同角三角函数的性质可得m的值．
【详解】关于x的一元二次方程的两根为
，可得m，
又由韦达定理可得
所以
解得即m．
故选：C．
6．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数，且在上严格单调递增，若对任意，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先利用的奇偶性与单调性，结合换元法将问题转化为恒成立，再利用二次函数的性质即可得解.
【详解】因为是在上的奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，即在上单调递增，
由，
得，
所以，
令，则，
所以，即，
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为恒成立，所以.
故选：C.
7．（22-23高一上·浙江杭州·期末）已知，则的值为（ ）
A．B．C．D．不存在
【答案】B
【分析】由，代入已知条件解方程即可.
【详解】，
由， 则，解得，
由三角函数的值域可知，不成立，故.
故选：B
8．（21-22高一下·四川成都·期中）已知，，且，设，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由题意得到是方程的两个根，再利用韦达定理求得a求解.
【详解】解：因为，，
所以是方程的两个根，
则，，
∵，
化简得：或，
∵，即，
∴．
则，
，
故选：A．
重难点三、平方关系化简求值
9．（24-25高一下·江西·月考）方程的实数解的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】A
【分析】根据将已知化为，解方程得到的值.
【详解】原方程化为，
则由，得，
代入，得，无整数解.
故选：A.
10．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，，则的最小值为（ ）
A．0B．C．D．1
【答案】A
【分析】由题意构造满足的一元二次方程，由根与系数的关系得出，
由同角三角函数的基本关系化简即可得解.
【详解】,
令，
则，
故是方程的两个根，
所以，
由，可得解得，
而，
所以当时，有最小值0.
故选：A
11．（2025·广东汕头·模拟预测）设，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】依题意可得，根据平方关系求出，即可求出，再代入计算可得.
【详解】因为，显然，则，
又，所以，
即，解得或；
当时，不符合题意；
所以，则，
所以.
故选：C
12．（24-25高一上·湖北·期末）当时，若存在实数，使得成立，则实数的最小值为（ ）
A．5B．8C．12D．16
【答案】B
【分析】先化为，再利用基本不等式求得最小值即得．
【详解】，则，
因为，
所以
，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是8.
故选：B．
重难点四、平方关系求范围
13．（22-23高一上·湖北武汉·期末）已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（ ）
A．1B．4C．8D．9
【答案】D
【分析】，后利用同角三角函数关系及基本不等式可得答案.
【详解】由对任意的实数均成立，
可得.
，当且仅当，即时取等号.则.
故选：D
14．（18-19高一下·上海普陀·期中）若对任意实数不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【分析】原不等式可化为，令，转化为二次不等式
当时恒成立，利用二次函数求最小值即可解决.
【详解】由原不等式可化简为对任意恒成立，
令得：
当时恒成立，
令，，
函数对称轴方程为，
当，即时，，解得，
当，即时，，解得，
所以，
当，即时，，
解得，
所以，
综上实数的取值范围是，
故答案为
【点睛】本题主要考查了二次函数的最值，分类讨论的思想，换元法，属于难题.
15．（22-23高一下·辽宁·月考）若，则的取值范围是 .
【答案】
【分析】将化简得到求解.
【详解】解：由，
得，
得，
因为，
所以的取值范围是.
故答案为：
16．（2025高三·全国·专题练习）已知，则 ．
【答案】
【分析】通过方程组求出关于和的表达式，再利用同角三角函数的平方关系构建方程，最后求解方程得到的值，并舍去不符合条件的值.
【详解】由条件可得，，
代入得，
整理得，即，
解得或（舍去），所以．
故答案为：.
4正切体系
重难点一、分式一次二次型弦切互化
1．（2025高三·全国·专题练习）已知，则（ ）
A．B．C．D．或
【答案】A
【分析】根据同角三角函数之间的关系化简求解即可.
【详解】，
化简整理得，
解得或，
又，则.
故选：A
2．（24-25高一上·天津·期末）已知，则（ ）
A．B．C．D．3
【答案】C
【分析】整体代入所求式子计算即可.
【详解】整体代入所求式子，得到.
故选：C.
3．（2022·陕西安康·三模）已知，则（ ）
A．6B．C．D．2
【答案】C
【分析】先应用把已知分式转化为齐次式，再应用弦化切计算得值.
【详解】
故选：C.
4．（23-24高一下·辽宁沈阳·期末）已知为角终边上一点，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先应用任意角三角函数的定义求出正切，再应用同角三角函数把弦化切得出等式的值.
【详解】因为为角终边上一点，所以，
所以.
故选：B.
重难点二、二次构造型
5．（25-26高一上·全国·单元测试）如果角的终边在直线上，则（ ）
A．B．
C．D．或
【答案】B
【分析】方法一：先求出，再由弦化切公式转化为进行求解；方法二：直线过第一象限和第三象限．分别求若的终边在第一象限，可取终边上一点，与若的终边在第三象限，可取终边上一点，再由三角函数的定义进行求解．
【详解】方法一：
因为角的终边在直线上，所以设直线上一点，
可得．
所以
．
方法二：
直线过第一象限和第三象限．
若的终边在第一象限，可取终边上一点，
则，，
则．
若的终边在第三象限，可取终边上一点，
则，，
则
故选：B
6．（2021·青海西宁·二模）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，可得，将切化弦，再利用齐次式法计算即可.
【详解】因为，
则，所以，
则，
所以．
故选：D.
7．（2024·山西·模拟预测）已知均是锐角，设的最大值为，则=（ ）
A．B．C．1D．
【答案】B
【分析】根据三角恒等变换结合基本不等式求最值可得，然后由求解即可
【详解】由基本不等式可得，，，
三式相加，可得，
当且仅当均为时等号成立，
所以，
则．
故选：B
8．（2023·陕西咸阳·三模）已知方程，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由，变形为，得到，再由，利用商数关系求解.
【详解】解：因为方程，
所以，
即，则或（舍去），
所以，
所以，
，
故选：B
重难点三、常数代换
9．（24-25高一上·江苏镇江·期末）设，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】A
【分析】将分子上的1用，然后分子分母同除以，化为只含的式子，再代值计算即可.
【详解】因为，
所以
.
故选：A
10．（21-22高一上·江苏扬州·月考）已知，则为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用平方关系及齐次式法求值即可.
【详解】由.
故选：D
11．（24-25高二上·河南·月考）已知，则（ ）
A．3B．-3C．2D．-2
【答案】B
【分析】由已知可得，即可求值.
【详解】
.
故选：B.
12．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，且，其中，则 ．
【答案】/
【分析】先求出的正弦与余弦，再结合平方关系可求.
【详解】因为①，②，
联立①②解得，故，
整理得到：，
解得或，又，故．
故答案为：.
重难点四、正余弦平方互化
13．（25-26高一上·全国·课前预习）已知，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平方关系和商数关系可求的值.
【详解】
因为，所以，
故，故 ，
而，故，
等号左边分子分母同时除以得，
解得．
故选：B.
14．（2025·山西·模拟预测）若是第三象限角，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平方关系求出，即可得解.
【详解】由已知可得：，
代入可得，
解得或
是第三象限角，，，
，
故选：B
15．（23-24高一上·山西运城·期末）若，且，则当取最大值时，的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由条件等式、平方关系结合基本不等式即可得解.
【详解】若，且，则，
则，
注意到，其中，
所以，等号成立当且仅当，
所以，
等号成立当且仅当，即，
所以当取最大值时，的值为.
故选：B.
6．（20-21高一·全国·课后作业）已知tan α=2，则的值为 .
【答案】
【分析】根据齐次式问题运算求解.
【详解】原式.
故答案为：.
结束
三角函数值的符号
规律口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
单位圆与三角函数关系：
（1）
（2）
弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0