第四章 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式-2022届(新高考)数学一轮复习考点讲解+习题练习学案
展开第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式
知识回顾
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan α.
2.三角函数的诱导公式
公式 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
角 | 2kπ+α(k∈Z) | π+α | -α | π-α | -α | +α |
正弦 | sin α | -sin α | -sin α | sin α | cos α | cos α |
余弦 | cos α | -cos α | cos α | -cos α | sin α | -sin α |
正切 | tan α | tan α | -tan α | -tan α |
|
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口诀 | 函数名改变,符号看象限 | 函数名不变,符号看象限 |
课前检测
1. 是第四象限角,,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】此题考查同角三角函数的基本关系,解答此题利用公式 和 联立,结合角 的象限判断正弦符号即可.
解法一:
由 可得 ,
代入 可得,
,
即 ,
化简可得:,
又 是第四象限角,故 ,
故而 .
解法二:
因为 ,且 是第四象限角,所以可设 ,,所以 ,
所以 .
故选 D
2.若锐角满足,则( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】【解答】锐角满足,则,
故选D.
【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系,求得的值.
3.已知 ,则 的值等于( )
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】本题考查诱导公式的应用,函数值的求法,考查计算能力.
直接利用 与 互余,即可求出所求结果.
因为 与 互余.
所以 .
故选 B
4.已知 是第三象限的角,若 ,则 ________,则 ________.
【答案】;
【解析】 为第三象限角,则 ,,
由同角三角函数的基本关系得 ,解得
,
.
故答案为:;.
5.求值 ________ .
【答案】
【解析】.
课中讲解
考点一.同角三角函数基本关系式的应用
例1.已知 为锐角,若 是方程 的一根,则 ________ .
【答案】
【解析】.
或 .
因为 是次方程的根,且 为锐角.
所以 .
故 .
变式1.已知 ,则 的值为( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】已知 ,解得 ,所以 在第一象限或第三象限,
即 与 同号,又因为 ,且 ,
解得当 时,,当 时,,
所以 .
故选 B
例2.已知且,则的值等于________
【答案】
【解析】,且,,..
变式2.直线的倾斜角为,则 的值( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】原式
例3.求下列三角函数值:.
【答案】
【解析】
【备注】题目的替代方案:① 任意复杂的特殊角三角值;② 关于三角函数性质的启发性思考.
变式3.若角α的终边落在第三象限,则+的值为 .
答案 -3
解析 由角α的终边落在第三象限,
得sin α<0,cos α<0,
故原式=+=+=-1-2=-3.
例4.已知sin θ+cos θ=,θ∈(0,π),则tan θ= .
答案 -
解析 方法一 由sin θ+cos θ=,得sin θcos θ=-,
因为θ∈(0,π),所以sin θ>0,cos θ<0,
所以sin θ-cos θ==,
联立解得
所以tan θ=-.
方法二 因为sin θ+cos θ=,
所以sin θcos θ=-,
由根与系数的关系,知sin θ,cos θ是方程x2-x-=0的两根,所以x1=,x2=-.
又sin θcos θ=-<0,θ∈(0,π),
所以sin θ>0,cos θ<0.
所以sin θ=,cos θ=-.
所以tan θ==-.
方法三 由sin θ+cos θ=,得sin θcos θ=-,
所以=-.
齐次化切,得=-,
即60tan2θ+169tan θ+60=0,
解得tan θ=-或tan θ=-.
又θ∈(0,π),sin θ+cos θ=>0,sin θcos θ=-<0,
所以θ∈,所以tan θ=-.
考点二.诱导公式的应用
例1.已知 ,,则 ________.
【答案】
【解析】,,
,
.
故答案为:.
【备注】【点评】:本题考查三角函数的诱导公式的合理运用,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答,易错点是三角函数的符号容易出错.
变式1.已知角 终边上一点 ,求 的值.
【答案】
【解析】 已知角 终边上一点 .
.
【备注】本题主要考查任意角的三角函数的定义,同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用,属于基础题.
例2.已知 ,则 ( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】.
故选 B
变式2.【2020年浙江杭州杭州第二中学滨江校区高一上学期期末考试数学试卷】当 时,,则 ________;________.
【答案】;
【解析】,
,
,
,
,
,
,
.
故答案为:;.
例3.化简
【答案】
【解析】
变式3.________ .
【答案】
【解析】本题考查了同角三角函数基本关系及诱导公式,利用三角函数的平方关系式,,结合角的互余关系,把 转化为 ,求和即可求出原式的值.
设 .
.
解得 .
故答案为 .
例4.已知 .
(1) 化简 ;
【答案】
【解析】
(2) 若 是第三象限角,且 ,求 的值.
【答案】
【解析】,所以 ,
又由 是第三象限角,所以 ,故 .
考点三.诱导公式与同角关系的综合应用
例1 (1)已知角θ的终边在第三象限,tan 2θ=-2,则sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ等于( )
A.- B. C.- D.
答案 D
解析 由tan 2θ=-2可得tan 2θ==-2,
即tan2θ-tan θ-=0,
解得tan θ=或tan θ=-.
又角θ的终边在第三象限,故tan θ=,
故sin2θ+sin(3π-θ)cos(2π+θ)-cos2θ
=sin2θ+sin θcos θ-cos2θ
==
==.
(2)已知-π<x<0,sin(π+x)-cos x=-.求的值.
解 由已知,得sin x+cos x=,
两边平方得sin2x+2sin xcos x+cos2x=,
整理得2sin xcos x=-.
∵(sin x-cos x)2=1-2sin xcos x=,
由-π<x<0知,sin x<0,
又sin xcos x=-<0,
∴cos x>0,∴sin x-cos x<0,
故sin x-cos x=-.
=
=
==-.
变式1.已知,且满足,则( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为
所以
所以
所以
所以
答案选C
例2.已知
(1) 求的值;
【答案】
【解析】因为
所以
因为
(2) 求的值;
【答案】
【解析】
奇变偶不变,符号看象限
课后习题
一.单选题
1.设为锐角,,则=( )
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】本题考查同角三角函数间的基本关系,再根据角为锐角可知其余弦值为正,,即选项D正确.
故选D.
2.已知 ,则 的值为( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
.
.
.
故选 C
【备注】本题考查了诱导公式,角的关系为 ,所以由诱导公式 ,从而得出结果.
3.已知 ,则 ( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】本题考查三角函数诱导公式的应用,属于基础题目.
故选 C
4.已知cos 31°=a,则sin 239°·tan 149°的值为( )
A. B.
C. D.-
答案 B
解析 sin 239°·tan 149°=sin(270°-31°)·tan(180°-31°)=-cos 31°·(-tan 31°)=sin 31°=.
5.已知tan(α-π)=,且α∈,则sin等于( )
A. B.- C. D.-
答案 B
解析 由tan(α-π)=⇒tan α=.
又因为α∈,所以α为第三象限角,
sin=cos α=-.
6.(2019·沧州七校联考)已知=5,则sin2α-sin αcos α的值是( )
A. B.- C.-2 D.2
答案 A
解析 由=5,得=5,
即tan α=2.
所以sin2α-sin αcos α
===.
二.多选题
7.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是( )
A.sin(-x)=sin x B.sin=cos x
C.cos=-sin x D.cos(x-π)=-cos x
答案 CD
解析 sin(-x)=-sin x,故A不成立;
sin=-cos x,故B不成立;
cos=-sin x,故C成立;
cos(x-π)=-cos x,故D成立.
8.(多选)若sin α=,且α为锐角,则下列选项中正确的有( )
A.tan α= B.cos α=
C.sin α+cos α= D.sin α-cos α=-
答案 AB
解析 ∵sin α=,且α为锐角,
∴cos α===,故B正确,
∴tan α===,故A正确,
∴sin α+cos α=+=≠,故C错误,
∴sin α-cos α=-=≠-,故D错误
三.填空题
9.已知 ,则 的值是________.
【答案】
【解析】已知等式移项变形求出 的值,原式利用同角三角函数间的基本关系化简,将 的值代入计算即可求出值.
,即 ,
,
故答案为:.
10.【2018年浙江衢州高一下学期期中考试数学试卷四校】已知,则________ .
【答案】
【解析】【解答】,
.
故答案为.
【分析】直接化弦为切求解.
【备注】【点评】本题考查三角函数的化简求值,考查同角三角函数基本关系式的应用,是基础题.
11.化简:________ .
【答案】
【解析】
12.已知A,B为△ABC的两个内角,若sin(2π+A)=-·sin(2π-B),cos A=-cos(π-B),则B= .
答案
解析 由已知得
化简得2cos2A=1,即cos A=±.
当cos A=时,cos B=,
又A,B是三角形内角,∴B=;
当cos A=-时,cos B=-,
又A,B是三角形内角,
∴A=,B=,不合题意,舍去,
综上可知B=.
四.解答题
13.已知关于x的方程2x2-(+1)x+m=0的两根分别是sin θ和cos θ,θ∈(0,2π),求:
(1)+的值;
(2)m的值;
(3)方程的两根及此时θ的值.
解:(1)原式=+
=+
==sin θ+cos θ.
由条件知sin θ+cos θ=,
故+=.
(2)由已知,得sin θ+cos θ=,sin θcos θ=,
又1+2sin θcos θ=(sin θ+cos θ)2,可得m=.
(3)由
得或
又θ∈(0,2π),故θ=或θ=.
14.已知sin α=1-sin,求sin2α+sin+1的取值范围.
解 因为sin α=1-sin=1-cos β,
所以cos β=1-sin α.
因为-1≤cos β≤1,
所以-1≤1-sin α≤1,0≤sin α≤2,
又-1≤sin α≤1,所以sin α∈[0,1].
所以sin2α+sin+1=sin2α+cos β+1=sin2α-sin α+2=2+.(*)
又sin α∈[0,1],所以当sin α=时,(*)式取得最小值;当sin α=1或sin α=0时,(*)式取得最大值2,故所求范围为.
15.在△ABC中,
(1)求证:cos2+cos2=1;
(2)若cossintan(C-π)<0,求证:△ABC为钝角三角形.
证明:(1)在△ABC中,A+B=π-C,所以=-,
所以cos=cos=sin,
所以cos2+cos2=1.
(2)因为cossintan(C-π)<0,
所以(-sin A)(-cos B)tan C<0,
即sin Acos Btan C<0.
因为在△ABC中,0<A<π,0<B<π,0<C<π且sin A>0,
所以或
所以B为钝角或C为钝角,所以△ABC为钝角三角形.
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