初中湘教版（2024）1.1 线段的比教学设计

这是一份初中湘教版（2024）1.1 线段的比教学设计，共8页。教案主要包含了教学目标，教学过程，板书设计等内容，欢迎下载使用。
【教学目标】
1.理解比例的定义并能熟练运用.
2.掌握比例的基本性质.（重点，难点）
【教学过程】
一、情境导入
数学来源于生活，数学中很多定理都可以用生活中的常识来解释.例如配制糖水的问题，通过确定糖和水的比例来确保配制糖水的浓度.
试着举出更多利用比例的生活实例.
二、合作探究
探究点一：比例的基本性质
已知eq \f(3,x)＝eq \f(2,y)，那么下列式子成立的是（ ）
A.3x＝2y B.xy＝6 C.eq \f(x,y)＝eq \f(2,3) D.eq \f(y,x)＝eq \f(2,3)
解析：根据比例的基本性质可知3y＝2x，所以可得eq \f(x,y)＝eq \f(3,2)，eq \f(y,x)＝eq \f(2,3)即得A、C项错误，B项“xy＝6”无法由“eq \f(3,x)＝eq \f(2,y)”变化得到，故选D.
方法总结：本题考查的知识点为比例的基本性质，解题时从基本性质出发进行变化.
探究点二：比例基本性质的拓展
【类型一】根据给定条件，求简单比值
若eq \f(3m－n,n)＝eq \f(1,3)，求eq \f(m,n)的值.
解析：根据比例的基本性质，将比例式变为等积式，然后化简，变形得出答案.
解：∵eq \f(3m－n,n)＝eq \f(1,3)，∴3（3m－n）＝n，∴9m－3n＝n，9m＝4n，∴eq \f(m,n)＝eq \f(4,9).
方法总结：解题时首先运用比例的基本性质对已知条件进行转化，化简，最后再利用比例的基本性质求比值.
【类型二】根据给定条件，求复杂比值
已知eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝eq \f(e,f)…＝eq \f(m,n)＝3，且b＋a＋f…＋n≠0，求eq \f(a＋c＋e＋…＋m,b＋d＋f＋k…＋n)的值.
解析：把比例式化为等积式，可得a＝3b，c＝3d，…，m＝3n代入即可求解.
解：∵eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝eq \f(e,f)＝…＝eq \f(m,n)＝3，∴a＝3b，c＝3d，e＝3f，…，m＝3n，又∵b＋d＋f＋…＋n≠0，∴eq \f(a＋c＋e＋…＋m,b＋d＋f＋…＋n)＝eq \f(3b＋3d＋3f＋…＋3n,b＋d＋…＋n)＝eq \f(3（b＋d＋f＋…＋n）,b＋d＋f＋…＋n)＝3.
方法总结：本题考查比例的等比性质，需要用到等值替换的解题思想，在解答此类题目时，要充分运用题设条件，将复杂问题简单化求解.
【板书设计】
比例eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(概念,性质：如果\f(a,b)＝\f(c,d)，那么ad＝bc.))
1.1.2 成比例线段
【教学目标】
1.理解线段的比与成比例的线段的关系.（重点，难点）
2.了解并掌握黄金分割问题.（重点，难点）
【教学过程】
一、情境导入
古希腊时期的巴台农神庙的正面轮廓为矩形（如图所示），以矩形ABCD的宽为边在其内部作正方形AEFD，那么我们可以惊奇地发现eq \f(BC,BE)＝eq \f(AB,BC).
你能求出eq \f(AE,AB)的值吗？
二、合作探究
探究点一：线段的比与成比例线段
【类型一】线段的比
在等腰直角三角形中，直角边与斜边的比是 ，斜边与直角边的比是 ，斜边上的高与斜边的比是 Ｗ.
解析：作一等腰三角形如图所示，设边长为x，由勾股定理可得，斜边长为eq \r(,2)x，斜边上的高为eq \f(\r(,2),2)x，即直角边与斜边的比为1∶eq \r(,2)，斜边与直角边的比是eq \r(,2)∶1，斜边上的高与斜边的比为1∶2.故填1∶eq \r(,2)，eq \r(,2)∶1，1∶2.
方法总结：在解答此题时要明确等腰直角三角形各边的比例关系，并且注意题目要求，避免错解.
【类型二】与比例尺相关的线段的比
在比例尺为1∶200的地图上，测得A、B两地之间的图上距离为4.5cm，则A、B两地间的实际距离是多少？
解析：根据比例尺＝图上距离∶实际距离，列出比例式，求解即可.
解：设A、B两地间的实际距离为xcm，则1∶200＝4.5∶x，∴x＝900（cm）＝9（m），故A、B两地间的实际距离为9m.
方法总结：熟练利用成比例线段的概念是解决本题的关键，要注意长度单位的换算.
【类型三】成比例线段
下列线段的长度成比例的是（ ）
A.2cm，3cm，4cm，5cm
，2.5cm，4cm，5cm
，2.2cm，3.3cm，4.4cm
D.1cm，2cm，3cm，6cm
解析：A项中eq \f(2cm,3cm)≠eq \f(4cm,5cm)，B项中eq \f(1.5cm,2.5cm)≠eq \f(4cm,5cm)，C项中eq \f(1.1cm,2.2cm)≠eq \f(3.3cm,4.4cm)，D项中eq \f(1cm,2cm)＝eq \f(3cm,6cm)＝2，故选D.
方法总结：判断四条线段是不是成比例的步骤是：（1）化成相同的单位；（2）按照大小排列；（3）分组求比值；（4）看是否相等，相等即成比例，不等则不成比例.
探究点二：黄金分割
【类型一】黄金分割的基本概念
如果点C把线段AB分成两条线段AC和BC，且eq \f(AC,BC)＝eq \f(BC,AC)，那么下列说法中错误的是（ ）
A.线段AB被点C黄金分割
B.点C叫做线段AB的黄金分割点
C.AB与AC的比叫黄金分割比
D.AC与AB的比叫黄金分割比
解析：黄金分割比是分得的两条线段中的较长的一条与整条线段的比，即AC与AB的比，不是AB与AC的比，故选C.
方法总结：准确掌握黄金分割的概念是解决问题的关键.
【类型二】黄金分割的相关计算
如果线段上一点P把线段分割为两条线段PA，PB，当PA2＝PB·AB，即PA≈0.618AB时，则称点P是线段AB的黄金分割点，现在已知线段AB＝10，点P是线段AB的黄金分割点（PA>PB），那么线段PB的长约为（ ）

解析：PA≈0.618AB＝0.618×10＝6.18，PB≈10－6.18＝3.82，故选D.
易错提醒：本题易错选A，产生错解的原因是误认为PB就是黄金分割所得较长线段，事实上，较长线段是PA，所以PA≈10×0.618＝6.18，PB≈10－6.18＝3.82.
【类型三】黄金分割的实际应用
在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比.已知这本书的长为20cm，则它的宽约为（ ）


解析：书的宽与长之比为黄金分割比，即约为0.618.∴书的宽度约为20×0.618＝12.36（cm）.故选A.
方法总结：解决此类问题要先将实际问题转化为数学模型，然后利用黄金分割的定义求解.
【板书设计】
eq \a\vs4\al\c1(成比例线段)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(线段的比,成比例线段：一般地，在四条线段中，如果两条,线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条,线段叫作成比例线段,黄金分割：一点C将一条线段AB分成两部分，,使较短的CB与较长的AC之比等于AC与原,线段AB的比，那\f(CB,AC)＝\f(AC,AB)，那么线段AB被点,C黄金分割))