北师大版（2024）七年级上册（2024）线段、射线、直线学案及答案

这是一份北师大版（2024）七年级上册（2024）线段、射线、直线学案及答案，共26页。学案主要包含了概念学习，理解与应用，背景知识，知识运用，拓展迁移，定义理解，深入研究，拓展提升等内容，欢迎下载使用。

动态模型的思想可追溯至古希腊几何学，欧几里得《几何原本》中已隐含线段分割与比例关系的动态分析‌。17世纪笛卡尔坐标系建立后，线段动态问题开始与代数结合；19世纪柯西、魏尔斯特拉斯等完善极限理论，为动态模型的严格化提供工具。现代初中数学教育工作者将线段动态问题被归纳为五类核心模型，即：‌中点与和差倍分模型、‌定值模型、存在性模型‌、分类讨论模型、新定义模型。
（2026七年级上·湖南怀化·期末）已知：如图1，M是定长线段上一定点，C、D两点分别从M、B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示（C在线段上，D在线段上）．

(1)若，当点C、D运动了，求的值；
(2)若点C、D运动时，总有，直接填空：_______；
(3)在（2）的条件下，N是直线上一点，且，求的值．
（2026七年级上·江苏南京·期中）【概念学习】点在线段上，若，则称是点在线段上的“分点值”，记作．例如，如图1，若，则点在线段上的“分点值”是，记作；若，则，故点在线段上的“分点值”是，记作．
【理解与应用】(1)已知点线段上．若，，则______；若，，则_____．
(2)如图2，线段，是线段上一点，、两点分别从点、出发以，的速度同时向点运动，运动的时间为，当其中一点到达点时，两点都停止运动．
①若点在上运动时，总有，求出的值；②若，则当t为何值时，；③若时，，则_____．
1、在与线段长度有关的问题中，常会涉及线段较多且关系较复杂的问题，而且题中的数据无法直接利用，常设未知数列方程。
2、线段的动态模型解题步骤：
1）设入未知量t表示动点运动的距离； 2）利用和差（倍分）关系表示所需的线段；
3）根据题设条件建立方程求解； 4）观察运动位置可能的情况去计算其他结果。
模型1.动态线段中的和差倍分模型（求值模型）
例1（2026七年级上·陕西安康·期末）如图，是线段上一点，，点，分别从点，同时出发，分别以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），设运动时间为．(1)当时，若，的长为______；(2)当时，若，试说明点为的中点；(3)若点，运动到任一时刻，总有，请求出的长．
例2（2026七年级上·江苏·期末）如图，在射线上有A，B，C三点，满足．点P从点出发，沿方向以的速度运动；点Q从点C出发在线段上向点匀速运动（点Q运动到点时停止运动），两点同时出发．
(1)当（P在线段上）时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，则点Q的运动速度为 ．（直接写出答案即可）(2)若点Q的运动速度为，经过多长时间P、Q两点相距？
(3)当点P运动到线段上时，分别取和的中点E、F，则 ．（直接写出答案即可）
例3（2026七年级上·陕西商洛·期末）如图，点在线段上，，，动点从点出友，沿线段以每秒3个单位长度的速度向终点匀速运动；同时，动点从点出发，沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点匀速运动，当点到达终点时，点也随之停止运动．设点的运动时间为秒．
(1)当点与点相遇时，求的值．(2)当点与点之间的距离为9个单位长度时，求的值．
(3)当时，求的值．
模型2.动态线段中的‌定值模型
例1（2026七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为．
(1)当时，则线段________，线段________；(2)当为何值时，？
(3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值．
例2（2026七年级上·湖北孝感·期末）如图线段，动点从出发，以2个单位长度／秒的速度沿射线运动，为中点．
(1)当点在线段上运动时，①出发多少秒后，？②试说明为定值；
(2)当点在线段延长线上运动时，设为的中点，有下列两个结论：
①长度不变；②的值不变．选出一个正确的结论，并求其值；
例3(2025七年级上·重庆·专题练习）如图①，已知线段，，线段在射线上运动（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），且
(1)若，求的长．(2)当在线段的延长线上时，如图②所示，若点分别是线段的中点，求的长．(3)当运动到某一时刻，使得点D与点B重合时，若点P是线段延长线上任意一点，请判断是否为定值，并说明理由．
模型3.动态线段中的存在性模型（探究型）
例1（2026七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，直线上有A、B两点，，上有两个动点P、Q．点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动，同时点Q从点B出发，以每秒个单位长度的速度沿直线向右运动．设运动时间为（秒）．
(1)请用含t的代数式表示线段的长．(2)当点B是线段的中点时，求t的值．
(3)运动过程中，点P和点Q能否重合？若能重合，几秒后重合？
(4)运动过程中，线段与线段的长度能否相等？若能相等请求出t值，若不能请说明理由．
例2（2026七年级上·江苏泰州·期末）【背景知识】数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．已知结论：数轴上点表示的数分别为，则两点之间的距离；线段的中点表示的数为．
【知识运用】（）点表示的数分别为，若与互为倒数，与互为相反数．则两点之间的距离为______；线段的中点表示的数为______．
【拓展迁移】（）在（）的条件下，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，动点从点出发以每秒个单位的速度沿数轴向左运动，点是线段的中点．
①点表示的数是______（用含的代数式表示）；
②在运动过程中，点中恰有一点是另外两点连接所得线段的中点，求运动时间；
③线段的长度随时间的变化而变化，当点在点左侧时，是否存在常数，使为定值？若存在，求常数及该定值；若不存在，请说明理由．
例3（2026七年级上·湖南邵阳·期末）如图，在直线上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线上运动，M为的中点，N为的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段上运动，当时，______；(2)若点P在射线上运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段的反向延长线上运动时，线段有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
模型4.动态线段中的分类讨论模型
例1（2026七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，P是线段上任一点，两点分别从同时向A点运动，且C点的运动速度为点的运动速度为，运动的时间为．
(1)若，①运动后，求的长．②当D在线段运动上时，探究与的数量关系．
， ，， ，
，与的数量关系为 ．
(2)如果时，，直接写出的值．
例2（2026七年级上·湖北武汉·期末）如图，线段，点A在点B的左边．
(1)点C在直线上，，则 ．(2)点D在线段上，．动点P从点D出发，以每秒2个单位长度的速度沿直线向右运动，点Q为的中点，设运动时间为t秒，①当t为何值时，？②动点R从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿直线向左运动，若P、R两点同时出发，相遇后分别保持原来运动方向不变，速度都增加2个单位长度每秒．在整个运动过程中，当时， ．
例3（2026七年级上·重庆·专题练习）如图，线段，C为的中点，点P从点A出发，以的速度沿线段向右运动，到点B停止；点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿线段向左运动，到点A停止．若两点同时出发，当其中一点停止运动时，另一点也随之停止．设点P的运动时间为x（x＞0）s．(1) ．(2)是否存在某一时刻，使得这三点中，有一点恰为另外两点所连线段的中点？若存在，求出所有满足条件的x的值；若不存在，请说明理由．
模型5.动态线段中的新定义模型
例1（2026七年级上·辽宁盘锦·期末）点C是直线上一动点，当时，我们称点C是点A与点B的衍生点，记作，
【定义理解】 问题（1）若点C在线段上时，A表示，B表示6时，则表示的数是 ．
【深入研究】当点C是点A与点B的衍生点时，分别取线段，的中点M，N，发现线段之间存在着一种特殊的数量关系，小明同学觉得若想探寻此问题，需要分两种情况讨论：①点C在线段上时；②点C在线段的延长线上时．
问题（2）请任意选择①，②中的一种情况，画出图形，猜想线段之间满足的数量关系，并说明理由；
【拓展提升】问题（3）若点C在线段上，线段，动点P、Q分别从A、B两端同时出发，点P以的速度沿向右运动，终点为B，点Q以的速度沿向左运动，到达A点后立即返回，终点是B．当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，请求出运动多少秒时，点C是点P与点Q的衍生点．
例2（2026七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）【新知理解】如图①，点在线段上，图中共有三条线段、和，若其中有一条线段的长度是另外一条线段长度的倍，则称点是线段的“巧点”．
（1）线段的中点______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
（2）若，点是线段的巧点，则最长为______；
【解决问题】（3）如图②，已知，动点从点出发，以的速度沿向点匀速移动；点从点出发，以的速度沿向点匀速移动，点、同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设移动的时间为．当为何值时，为、的巧点？说明理由．
例3（2026七年级上·江苏南京·阶段练习）直线l上有三个点A、B，C，，，点M从点A已发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后立即原速返回到点A；点N从点B出发，沿直线l以每秒的速度向点C运动，到达点C后停止，若运动过程中某一时刻满足（且为正整数），则称此时是点M、N的一次“n时刻”．点M，N同时出发，直到点M返回点A运动结束，设运动时间为ts．(1)当时，点M，N到达“______分时刻；(2)当t为何值时，点M，N到达”3分时刻”？
(3)当______时，点 M、N到达“8分时刻”？(4)进一步探究发现点M、N到达“n分时刻”的次数随着n的变化而变化，请直接写出对于n的每一个值点M、N到达“n分时刻”的次数．
1．（2026七年级上·重庆·期末）已知点C在线段上，，点D，E在线段上，点D在点E的左侧．若，线段在线段上移动，且满足关系式，则的值为（ ）

A．5B．C．或D．
2．（2026七年级上·安徽六安·期末）如图，点、、、在同一条直线上，，，，现在点，点同时分别按图示方向运动，点以每秒速度向左移动，点以每秒速度向右移动．问（ ）秒时，点是线段的中点．
A．B．C．1D．
3．（2026七年级下·河南南阳·期中）已知线段，动点P从点A出发，以的速度沿运动，同时动点Q从点B出发，以的速度沿运动，其中一点到达终点时，另一点也停止运动．当点P出发 s时，P，Q两点重合．
4．（2026七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，P是线段上任意一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为，D点的运动速度为．若运动时间为3s时，，则 ．
5.（2026七年级上·陕西西安·阶段练习）如图，M是定长线段上一定点，点C在线段上，点D在线段上，点C、点D分别从点M、点B出发以、的速度沿直线向左运动，运动方向如箭头所示．若点C、D运动时，总有，N是直线上一点，且，则 ．
6.（2026七年级下·广东湛江·开学考试）如图，是线段上任意一点，，，两点分别从点，同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为．（其中一点到达点时，两点停止运动）
(1)若．①运动后，求的长．②若点在线段上运动，问经过多长时间，？
(2)如果时，，试探索的长．
7．（2026七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，．
8．（2026七年级上·陕西安康·期末）如图，P是线段上任一点，，C，D两点分别从P，B同时向A点运动，且C点的运动速度为：，D点的运动速度为，运动的时间为．
(1)若，①运动后，求的长．②当D在线段上运动时，探究与的数量关系．
______，，
______；
∴与的数量关系为______．
(2)如果时，，求的值．
9．（2026七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知线段，点、点都是线段上的点．
(1)如图1，若点为的中点，点为的中点，则线段长为 ；
(2)若，点是线段的中点，点是线段的中点，请自己作图并求的长；
(3)如图2，若，，点，分别从、出发向点运动，运动速度分别为每秒移动个单位和每秒移动个单位，设运动时间为秒，点为的中点，点为的中点，若，求的值．
10．（2026七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”．
(1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
(2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______；
(3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由．
11．（2026七年级下·湖北恩施·开学考试）如图所示，线段点从点出发以的速度沿向左运动，点从点出发以的速度沿向左运动（在线段上，在线段上）
(1)若运动到任意时刻都有，求出在上的位置；
(2)在（1）的条件下，是直线上一点，若，求的值；
(3)在（1）的条件下，若运动了一段时间后恰有，这时点停止运动，点继续在线段上运动，分别是的中点，求出的值．
12．（2026七年级上·浙江杭州·阶段练习）已知点C在线段上，，点D、E在直线上，点D在点E的左侧，
(1)若，，线段在线段上移动，
①如图1，当E为中点时，求的长；②当点C是线段的三等分点时，求的长；
(2)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求．
13．（2026七年级上·山东临沂·期末）（1）如图，已知点在线段上，线段，，点，分别是，的中点，求线段的长度；
（2）在（1）的条件下，动点、分别从，同时出发，点以的速度沿向右运动，终点为，点以的速度沿向左运动，终点为，当一个点到达终点，另一个点也随之停止运动，当运动多少秒时，、、三点有一点恰好是以另两点为端点的线段的中点？（直接写出答案即可）
14．（2026·江苏·七年级校考期中）如图所示．点A，B，C是数轴上的三个点，且A，B两点表示的数互为相反数，，．
(1)点A表示的数是______；(2)若点P从点B出发沿着数轴以每秒2个单位的速度向左运动，则经过______秒时，点C恰好是BP的中点；(3)若点Q从点A出发沿着数轴以每秒1个单位的速度向右运动，线段QB的中点为M，当时，则点Q运动了多少秒？请说明理由．
15．（2026七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，直线上有两点，，点是线段上的一点，．(1)____________；(2)若点是直线上一点，且满足，求的长；(3)若动点分别从同时出发，向右运动，点的速度为，点的速度为．设运动时间为，当点与点重合时，两点停止运动．问当为何值时，．
16．（2026七年级上·福建福州·阶段练习）如图1，已知直线l上从左往右依次有A，B，C，D四点，其中，，且m，n满足．
(1)填空：__________，__________；
(2)如图2，M，N分别为线段的中点，线段以每秒4个单位长度向右运动．
①若线段以每秒l个单位长度也向右运动，当运动6秒后，，求运动前线段的长；
②若线段固定不动，且运动前．已知在线段向右运动的某一个时间段内，始终有为定值，请求出这个定值，并直接写出为定值时所持续的时间长度．
17．（2026七年级上·江西抚州·期中）如图，在数轴上A点表示数a，B点示数b，C点表示数c，b是最小的正整数，且a，c满足．

(1)______，______，______．
(2)点P从点A出发，以秒的速度沿数轴向右匀速运动，点Q从点C出发，沿数轴向左匀速运动，两点同时出发，当点Q运动到点A时，点P，Q停止运动．当时，点Q运动到的位置恰好是线段的中点，求点Q的运动速度；（注：点O为数轴原点）
(3)在（2）的条件下，当点P运动到线段上时，分别取和的中点E，F．请问：的值是否随着时间t的变化而变化？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．
18．（2026·广西桂林·七年级期末）如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
19．（2026七年级上·山东烟台·期中）如图1，点C在线段AB上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段AB的“巧点”．
(1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）；
(2)若线段，点C为线段AB的“巧点”，则_______；
(3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿AB向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由．
20．（2026七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图1，数轴上A，B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A，B分别到达M，N两点（我们用表示以点A、点B为端点的线段的长，、表示的含义以此类推），且满足（k为正整数），我们称两点完成了一次“准相向运动”．如图2若它们按照原来的速度和方向继续运动，分别到达，两点，且满足（k为正整数）我们称两点完成了二次“准相向运动”…．
(1)若A，B两点完成了一次“准相向运动”．①当时，M，N两点表示的数分别为 、 ；
②当k为任意正整数时，求M，N两点表示的数；(2)如图2所示，若A，B两点完成了两次“准相向运动”，并分别到达，两点，若k不变，求，两点所表示的数（用含k的式子表示）；
(3)若A，B两点完成了n次“准相向运动”，并分别到达两点，当时是否存在点，使其表示的数为65？如果存在，求完成的次数n和此时点所表示的数；如果不存在，说明理由．