北师大版（2024）七年级上册（2024）角导学案及答案

这是一份北师大版（2024）七年级上册（2024）角导学案及答案，共11页。学案主要包含了问题背景，问题再现，问题推广，拓展提升，拓展提问，线段计算，角度计算，思想提炼等内容，欢迎下载使用。

角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。
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（江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
∵是的平分线，∴，
∴，∴，
∵是的平分线，，
∴；故答案为：
（2026七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线．
【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数；
【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．
①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数．
【答案】（1）；（2）①；②不变，见解析；（3）
【详解】解：（1）因为，为的二倍分线，且，
所以，，所以．所以．
（2）①因为，分别为和的三倍分线（，），
所以，，
因为，所以，所以，，
所以，，所以．
②不变．理由如下：因为，分别为和的三倍分线，，，
所以，，
所以；
（3）设，因为，所以，
因为所在射线恰好分别为和的三倍分线，，，
所以，，
因为，所以，
所以，所以，，所以．

图1 图2 图3 图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：。
证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴。
1）角n等分线模型
条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：．
证明：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：。
模型1.双角平分线模型与角n等分线模型
例1（2026七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，射线在外，若平分，平分，则 ．
【答案】111
【详解】解：∵，∴，
∵平分，平分，∴，，
∴，
∴，故答案为：111．
例2（2026七年级上·四川成都·期末）如图，点在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为 ．
【答案】/29度
【详解】解：是的平分线，，
，，
是的平分线，．故答案为：．
例3（2026七年级上·山东烟台·期中）如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：∵，，
∵是的平分线，，
∵是的平分线，，
，故选：B．
例4（2026七年级上·江西宜春·期末）如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵是的平分线，，∴，
∵是的平分线，∴，故选：A．
例5（2026七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线．(1)当时， ；(2)当时，求的度数；
(3)若设度时，求的度数．

【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，，
分别是的平分线，，
；故答案为：
（2）解：，分别是的平分线，
，，；
（3）解：，，
分别是的平分线，，
，．
例6（2026七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】C
【详解】解：分为两种情况：如图1，当在内部时，

，，，
平分，平分，，，
；
如图2，当在外部时，，，，
平分，平分，，，
；综上，的度数是或．故选:C．
例7（七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
【答案】C
【详解】解：如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，则，，；

如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，
；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，；
如图：射线是的三等分线，射线是的三等分线，
则，，；
综上，为或或，故选：C．
例8（2026七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求；
（2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________．
【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论）
【答案】（1）；（2）；（3）；【拓展提问】图2：；图3：
【详解】解：（1）∵，平分，平分，
∴，∴；
（2）∵，，平分，平分，
∴，
∴；故答案为：；
（3）平分，平分，∴，
∴，
∵，∴；故答案为：；
【拓展提问】如图2，∵平分，平分，∴，

∴，
∵，∴；
如图3，∵平分，平分，∴，
∴，
∵，∴．
例9（2026七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ．
【答案】
【详解】解：∵，射线是的角平分线，∴，
∵射线是的角平分线，∴，
∵射线是的角平分线，∴，
∴，则．故答案为：．
例10．（2026七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线．
(1)已知，，，那么________．
(2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分．
①如果，，求的度数．
②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案）
【答案】(1)(2)①；②，
【详解】（1）解：∵，，
∴，
又∵，∴，故答案为：；
（2）解：①∵，，∴，
∵平分，平分．∴，
∴，∴；
②∵的度数是，的度数是，∴，
∵平分，平分．∴，
∴，
又∵平分，平分，
∴，∴，
同理，，
∴，
∴．
1．（2026·山东滨州·七年级期中）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
【答案】D
【详解】∵OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，∠AOB=40°，∠COE=60°，
∴∠BOC=∠AOB=40°，∠COD=∠COE=×60°=30°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=40°+30°=70°．故选D．
2.（2026七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（ ）
A．或B．或C．或D．
【答案】A
【详解】解：如图1，当位于内部时，
∵，是的平分线，∴．
∵，∴，．
∵平分，∴，∴；
如图2，当位于外部时，
∵，是的平分线，∴．
∵，∴，．
∵平分，∴，∴；
综上可知或．故选：A．
3．（2026七年级上·山东烟台·期末）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：∵平分，平分，∴，，
∴
，
又，，∴，故选：C．
4．（2026七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：，，，，
是的平分线，．故选：C．
5．（2026七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线．
（1）若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为
【答案】 或
【详解】解：（1）∵，，
∴，∴，故答案为：；
（2）∵是的一条三分线，，且，
∴，，∴，
∵将顺时针旋转（）得到，∴，
分两种情况：如图，当是的三分线，且时，
∴，∴，
∴，∴，即的值为；

如图2，当是的三分线，且时，
∴，∴，∴，即的值为；
综上所述，的值为或．
6．（2026七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，画射线，使，平分，平分，则 ．
【答案】或
【详解】解：当射线在内时，如图1，

∵，，∴，，
∵平分，平分，∴，，
∴.
当射线在外时，如图2，∵，，
∴，，
∵平分，平分，∴，，
∴.综上所述：或故答案为：或．
7．（2026七年级上·湖北武汉·阶段练习）有下列说法：①已知，则M点是线段的中点：②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：；③如图甲，射线分别平分，若，则；其中正确的是 （填序号）
【答案】①②
【详解】解：∵，∴M点是线段的中点，故①正确；
∵把一个周角7等分，∴计算每份的结果为，
，，
∴计算每份的结果（精确到秒）为：，故②正确；
∵射线平分，∴设，
∵平分，平分∴，，
∵平分，∴，
∵，∴，解得：，
∴，故③错误，故答案为：①②．
8．（2026七年级上·四川达州·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数．
解：∵平分，，，
∴______=______，∴_______=_____，
∵平分，∴_______=______，
∴_______=________．
【答案】，40，，90，，45，，85
【详解】解：∵平分，，，
∴，∴，
∵平分，∴，∴，
故答案为：，40，，90，，45，，85．
9．（2026七年级上·山东烟台·期末）如图，平分，平分，，，求的度数．
【答案】
【详解】解：因为平分，平分，所以，．
因为，所以，所以．
10．（2026七年级上·湖南·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分．
(1)若，求的度数．
(2)若比多，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：如图，因为平分，所以，
又因为平分．所以．
所以，
因为，所以．
（2）解：由（1）可知，．
因为比多，所以，①
因为，②由① +②得：，所以．
11．（2026七年级上·湖南长沙·期末）如图，是的平分线，是的平分线，．
(1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵是的平分线，是的平分线，
∴，，
∴，
∵，∴，∴的度数为：；
（2）∵是的平分线，，∴，
∵，∴，
∵是的平分线，∴，∴的度数为：．
12．（2026七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和
(1)若，，求的度数
(2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案）
(3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果）
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：∵射线和射线分别平分和．
，
．
（2）解：，∵射线和射线分别平分和．
，
，即；
（3）解：，，
又 ∵，，
．
13．（2026七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴．
【线段计算】（1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______．
【角度计算】（2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和．
①若，则的度数为_______．
②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【思想提炼】（3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______．
A．转化思想 B．数形结合 C．分类讨论 D．类比思想
【答案】（1）22；；（2）①；②，理由见解析；（3）D
【详解】解：（1）C，D分别是，的中点，
，
，又，
，，
；
C，D分别是，的中点，，
，又，
，，
，故答案为：22；；
（2）①由条件可知，
，
，，
，．
②，理由如下：，
；
（3）在以上问题的解决过程中，我们会发现角的规律和线段的是一样的，所以运用了类比思想，故选：D．
14．（2026七年级上·甘肃·期末）【问题背景】如图，在内部，是的平分线，是的平分线．
【问题探究】（1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？
（2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系．
【拓展延伸】（3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）与α有关，与β无关，，理由见解析
【详解】解：（1）是直角，，，
是的平分线，是的平分线，
，，；
（2）同理（1），，
，，；
（3）与α有关，与β无关，，理由如下：同理（1），，
，，．
15．（2026七年级上·全国·随堂练习）如图所示，若内部有顺次的四条射线，，，，且平分，平分．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．(3)从（1）（2）的结果，你能看出什么规律吗？
【答案】(1)(2)(3)见解析
【详解】（1）因为平分，平分，所以
．因为，所以．
（2）由（1）得．
因为，所以．
（3）若内部有顺次的四条射线，，，，且平分，平分，
则．
16．（2026七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某数学兴趣小组利用直尺和三角板研究角的平分线，如图所示．
(1)如图①，，点O在直线上，则的度数为__________；
(2)如图②，点O在直线上，当（在的左侧）时，平分，平分，求的度数．
【答案】(1)90(2)
【详解】（1）解：，，，故答案为：90；
（2）解：，，
，平分，平分，，，
．
17．（2026七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，已知线段，线段在线段上运动（点C在A 点右侧，点D在B点左侧，且点C不与点A重合，点D不与点B重合，），点E、F分别是的中点．
(1)若，则 ；
(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数．
【答案】(1)16(2)当线段在线段上运动时，线段长度不变为，理由见解析(3)
【详解】（1）解：，，
，点为的中点，，
点为的中点，，，
，故答案为：16．
（2）解：当线段在线段上运动时，线段长度不变，始终为，理由如下：
，，
点、分别是、的中点，，
，．
当线段在线段上运动时，线段长度不变，；
（3）解：设，，、分别平分和，
，，，
，，，
，．
18．（2026七年级上·四川成都·期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”．
(1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时__________；（直接填写答案）
(2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，，求大小；
(3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（）．若是的“绝配角”，求出此时的值．
【答案】(1)(2)的度数为或(3)的值为或或
【详解】（1）解：已知，∴，则，
∵是的“绝配角”，∴，∴，
解得，，故答案为：；
（2）解：如图所示，当在内部时，

由（1）可得，，∴，
∵，∴，∴；
如图所示，当在外部时，
∴，∴，
∵是的“绝配角”，∴，
∴，解得，，∴，
∵，∴，∴；
综上所述，的度数为或；
（3）解：∵，是的“绝配角”，
∴，∴，
由题意可得，，，
∵平分，平分，∴，，
①当未转够，即时，如图所示，
∴，，整理得，，解得，；
②当转够，即时，
由题意可得，转了，，∴，
∵平分，平分，
∴，，如图所示，

∴，∴，∴，
整理得，，解得，；
③当时，若时，，射线旋转超过，，超过，
转了，转了，如图所示，
∴，，∵平分，平分，
∴，，
∵，∴，整理得，，
解得，；综上所述，的值为或或．