数学七年级上册（2024）角学案设计

这是一份数学七年级上册（2024）角学案设计，共11页。学案主要包含了问题背景，问题再现，问题推广，拓展提升，拓展提问，线段计算，角度计算，思想提炼等内容，欢迎下载使用。

角平分线的最早系统研究可追溯至欧几里得（约公元前330—前275年）所著的《几何原本》，他首次将角平分线理论化，这也为后来数学工作者提炼双角平分线模型提供了理论支持。在双角平分线模型基础上，通过推广角平分线的等分性质，形成更通用的角n等分线模型‌。两者均需结合图形分析，灵活选择结论或推导过程‌。
‌
（江苏南京·中考真题）如图，点在同一条直线上，是的平分线，是的平分线．若，则 ．
（2026七年级上·陕西·校考期末）【问题背景】新定义：如果的内部有一条射线将分成的两个角，其中一个角是另一个角的n倍，那么我们称射线为的n倍分线，例如，如图1，，则为的四倍分线．，则也是的四倍分线．
【问题再现】（1）若，为的二倍分线，且，求的度数；
【问题推广】（2）如图2，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线．若，分别为和的三倍分线（，）．
①若，求的度数；②若，的度数是否发生变化？若不发生变化，请写出计算过程；若发生变化，请说明理由．
【拓展提升】（3）如图3，点A，O，B在同一条直线上，为直线上方的一条射线． 已知，且所在射线恰好分别为和的三倍分线（，），求的度数．

图1 图2 图3 图4
1）双角平分线模型（两个角无公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
2）双角平分线模型（两个角有公共部分）
条件：如图1，已知：OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC；
结论：。
证明：∵OD、OE分别平分∠AOB、∠BOC，∴，，
∴，∴。
3）拓展模型：双角平分线模型（三个角围成一个周角）
条件：如图3，已知∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC；
结论：。
证明：∵OP1平分∠AOC、OP2平分∠BOC，∴，，
∵∠AOB+∠BOC+∠AOC=360°，∴∠BOC+∠AOC=360°-∠AOB，
∴。
1）角n等分线模型
条件：如图，分别是和的平分线，分别是和的平分线，分别是和的平分线，…，分别是和的平分线；结论：．
证明：，、分别是和的平分线，
，，
、分别是和的平分线，，
，
、分别是和的平分线，，
，…，
由此规律得：。
模型1.双角平分线模型与角n等分线模型
例1（2026七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，，射线在外，若平分，平分，则 ．
例2（2026七年级上·四川成都·期末）如图，点在直线上，、分别是、的平分线．若，则的度数为 ．
例3（2026七年级上·山东烟台·期中）如图所示，是的平分线，是的平分线，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例4（2026七年级上·江西宜春·期末）如图，是的平分线，是的平分线，且，则等于（ ）
A．B．C．D．
例5（2026七年级上·山东泰安·阶段练习）如图，是平角，分别是的平分线．(1)当时， ；(2)当时，求的度数；
(3)若设度时，求的度数．

例6（2026七年级上·辽宁盘锦·期末）已知，，平分，平分，则的度数是（ ）
A．或B．或C．或D．或
例7（七年级上·浙江湖州·期末）定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，射线是的三等分线，设，则用含x的代数式表示为（ ）
A．或或B．或或C．或或D．或或
例8（2026七年级上·吉林长春·阶段练习）如图1，已知内部有三条射线．平分，平分．（1）若，求；
（2）若，，则________；（3）若，猜想出与的关系________．
【拓展提问】若射线在的外部如下图2，图3，，平分，平分，分别写出与的关系的结论．（直接写出结论）
例9（2026七年级上·山东东营·期中）如图，，射线是的角平分线，射线是的角平分线，射线是的角平分线……以此类推，请借助所给图形思考的度数为 ．
例10．（2026七年级上·上海普陀·期末）如图1，已知、是内的两条射线．
(1)已知，，，那么________．
(2)如图2，设的度数是，的度数是，作射线平分，射线平分．
①如果，，求的度数．
②如图3，作平分，平分；作平分，平分，按此规律以此类推……作平分，平分，用含、、的代数式表示和的度数．（直接写出答案）
1．（2026·山东滨州·七年级期中）如图，OB是∠AOC的角平分线，OD是∠COE的角平分线，如果∠AOB=40°，∠COE=60°，则∠BOD的度数为（ ）
A．50°B．60°C．65°D．70°
2.（2026七年级上·浙江台州·期末）已知是的平分线，，平分，设，则（ ）
A．或B．或C．或D．
3．（2026七年级上·山东烟台·期末）将一副含和的直角三角尺按如图所示的方式放置，若平分，平分，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．（2026七年级上·四川广元·期末）如图，是的平分线，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．（2026七年级上·安徽淮北·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个部分的射线，叫作这个角的三分线，一个角的三分线有两条．如图1，，则是的一条三分线．
（1）若，则 ；
（2）如图2，若，，是的两条三分线，且．若以点为中心，将顺时针旋转（）得到，当恰好是的三分线时，的值为
6．（2026七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知，画射线，使，平分，平分，则 ．
7．（2026七年级上·湖北武汉·阶段练习）有下列说法：①已知，则M点是线段的中点：②把一个周角7等分，计算每份的结果（精确到秒）为：；③如图甲，射线分别平分，若，则；其中正确的是 （填序号）
8．（2026七年级上·四川达州·阶段练习）如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数．
解：∵平分，，，
∴______=______，∴_______=_____，
∵平分，∴_______=______，
∴_______=________．
9．（2026七年级上·山东烟台·期末）如图，平分，平分，，，求的度数．
10．（2026七年级上·湖南·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，平分．
(1)若，求的度数．(2)若比多，求的度数．
11．（2026七年级上·湖南长沙·期末）如图，是的平分线，是的平分线，．
(1)求的度数是多少？(2)如果，求的度数．
12．（2026七年级上·上海·阶段练习）如图，已知在内部转动，射线和射线分别平分和 (1)若，，求的度数
(2)请你猜想，和三个角有怎样的数量关系？（直接写答案）
(3)如图，在内部转动，若，，，，求的度数．（用含有的式子表示计算结果）
13．（2026七年级上·河南郑州·阶段练习）线段和角在概念和结构上存在某种对应，它们的相关计算问题也存在着某种意义上的联系，其解题方法可以相互借鉴．
【线段计算】（1）如图1，已知线段，C，D分别是，的中点，则_______；一般地，若线段，C，D分别是，的中点，则_______．
【角度计算】（2）如图2，已知在的内部，射线和射线分别平分和．
①若，则的度数为_______．
②一般地，请你猜想和之间有怎样的数量关系？并说明理由．
【思想提炼】（3）在以上问题的解决过程中，你使用的数学思想方法有_______．
A．转化思想 B．数形结合 C．分类讨论 D．类比思想
14．（2026七年级上·甘肃·期末）【问题背景】如图，在内部，是的平分线，是的平分线．
【问题探究】（1）如图1，当是直角，时，求的度数是多少？
（2）如图2，当时，尝试发现与的数量关系．
【拓展延伸】（3）如图3，当时，猜想：与、有数量关系吗？并说明理由．
15．（2026七年级上·全国·随堂练习）如图所示，若内部有顺次的四条射线，，，，且平分，平分．(1)若，求的度数．(2)若，求的度数．(3)从（1）（2）的结果，你能看出什么规律吗？
16．（2026七年级上·陕西咸阳·阶段练习）某数学兴趣小组利用直尺和三角板研究角的平分线，如图所示．
(1)如图①，，点O在直线上，则的度数为__________；
(2)如图②，点O在直线上，当（在的左侧）时，平分，平分，求的度数．
17．（2026七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图1，已知线段，线段在线段上运动（点C在A 点右侧，点D在B点左侧，且点C不与点A重合，点D不与点B重合，），点E、F分别是的中点．
(1)若，则 ；(2)当线段在线段上运动时，试判断线段的长度是否会发生变化，如果不变，请求出线段的长度；如果变化，请说明理由；
(3)我们发现角的很多规律和线段一样，如图2，已知在内部转动，、分别平分和．类比以上发现的线段的规律，若，求的度数．
18．（2026七年级上·四川成都·期末）若，我们则称是的“绝配角”．例如：若，，则是的“绝配角”，请注意：此时不是的“绝配角”．
(1)如图1，已知，在内存在一条射线，使得是的“绝配角”，此时__________；（直接填写答案）
(2)如图2，已知，若平面内存在射线、（在直线的上方），使得是的“绝配角”，，求大小；
(3)如图3，若，射线从出发绕点以每秒的速度逆时针旋转，射线绕点从出发以每秒的速度顺时针旋转，平分，平分，运动时间为秒（）．若是的“绝配角”，求出此时的值．