小学苏教版（2024）三 数与运算的再认识精品达标测试

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1. 能说出整数、分数和小数的计数单位，会用计数单位解释数的组成，理解整数、分数和小数在计数方法上的共同点。
2. 能从计数单位的角度理解加、减、乘、除四种运算的意义与计算方法，体会运算本质上的一致性。
3. 能运用加法交换律、结合律及乘法交换律、结合律、分配律进行简便计算，并解释运算律在算理中的作用。
二、知识梳理
（一）数的认识
1. 计数单位
整数、分数和小数都是用计数单位计数，由若干个计数单位组成。
• 整数的计数单位：一（个）、十、百、千、万……相邻两个单位间的进率是10。
• 小数的计数单位：十分之一(0.1)、百分之一(0.01)、千分之一(0.001)……相邻两个单位间的进率也是10。
• 分数的计数单位：把单位"1"平均分成若干份，每份就是分数单位。例如35的分数单位是，它有3个这样的计数单位。
整数、小数不同数位上的数的计数单位不同，但相邻单位间的进率都是10。这是十进制计数法的核心特征。
2. 数的组成
一个数可以看成计数单位和计数单位个数的乘积。
例如：231 = 2×100 + 3×10 + 1×1
4.05 = 4×1 + 0×0.1 + 5×0.01 = 4 + 0.05
320 = 3 ×
3. 分数的基本性质和小数的性质
分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。
小数的性质：小数的末尾添上0或去掉0，小数的大小不变。
例如：310 = =
3001000
0.3 = 0.30 = 0.300
分数的基本性质和小数的性质本质上是相通的——计数单位变了，但计数单位的个数也相应改变，所以数的大小不变。
（二）数的大小比较
比较数的大小，就是比较相同计数单位的个数。
• 整数比较：先比位数，位数多的数大；位数相同从最高位比起，最高位上的数大的那个数就大。
• 分数比较：同分母分数，分子大的分数大；异分母分数可以先通分再比较。
• 小数比较：先比整数部分，整数部分大的数大；整数部分相同，从十分位起依次比较。
分数和小数的大小比较都可以转化为整数的大小比较。
（三）加法与减法
1. 加法的意义
把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。整数、分数、小数加法的意义相同。
2. 减法的意义
已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。整数、分数、小数减法的意义相同。
3. 计算方法
整数、分数、小数加法都要把相同计数单位的个数相加。
• 整数加法：相同数位对齐（即相同计数单位对齐），从个位加起。
• 小数加法：小数点对齐（即相同数位对齐），从末位加起。
• 分数加法：同分母分数直接加分子；异分母分数先通分（统一分数单位），再加。
4. 加法运算律
加法交换律：a + b = b + a
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
运算律适用于整数、分数和小数的加法。利用运算律可以简便计算。
例如：0.12 + 1.4 + 0.88 + 8.6 = (0.12 + 0.88) + (1.4 + 8.6) = 1 + 10 = 11，这里同时运用了加法交换律和结合律。
（四）乘法
1. 乘法的意义
• 一个数乘整数：表示求几个相同加数的和是多少，也表示求一个数的几倍是多少。
• 一个数乘分数：表示求一个数的几分之几是多少。
• 小数乘法的意义与整数乘法、分数乘法一致。
2. 乘法与计数单位
积的计数单位与两个乘数的计数单位有关，积的计数单位的个数是两个乘数计数单位个数的积。
3. 乘法运算律
乘法交换律：a × b = b × a
乘法结合律：(a × b) × c = a × (b × c)
乘法分配律：(a + b) × c = a × c + b × c
（五）除法
1. 除法的意义
整数、分数、小数除法都表示已知两个乘数的积和其中一个乘数，求另一个乘数的运算。
除法是乘法的逆运算。
2. 除法与计数单位
• 商的计数单位有时和被除数的计数单位相同（如1200÷3=400，计数单位都是100）。
• 如果被除数和除数的计数单位相同，可以直接用计数单位的个数相除。
3. 除法转化为乘法
除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。
整数、分数、小数除法都可以转化成乘法来计算。
这个转化的关键在于理解除法与乘法之间的逆运算关系。除法中的"除以几"等价于"乘几的倒数"。
推理过程：设 a ÷ b = c（b ≠ 0），则 a = c × b，
两边同乘 1/b，得 a × 1/b = c，所以 a ÷ b = a × 1/b。
三、典型例题
【例题1】数的认识
一个数由3个百、5个十分之一和2个百分之一组成。
（1）这个数写作多少？
（2）它里面有多少个百分之一？
【解题过程】
（1）3个百 = 3×100 = 300，5个十分之一 = 5×0.1 = 0.5，2个百分之一 = 2×0.01 = 0.02
所以这个数 = 300 + 0.5 + 0.02 = 300.52
（2）300.52 ÷ 0.01 = 30052，所以它有30052个百分之一。
【思路分析】这道题考查数的组成。每个数位上的数字代表几个对应的计数单位，把这些计数单位的乘积相加就得到这个数。求"有多少个某计数单位"，用这个数除以该计数单位即可。
【例题2】加减法简便计算
计算下面各题，注意使计算简便：
（1）124 + 202
（2）0.12 + 1.4 + 0.88 + 8.6
【解题过程】
（1）124 + 202
= 124 + 200 + 2
= 324 + 2 = 326
思路：把202拆成200+2，先加整百数更简便。
（2）0.12 + 1.4 + 0.88 + 8.6
= (0.12 + 0.88) + (1.4 + 8.6)
= 1 + 10
= 11
思路：利用加法交换律和结合律，把能凑成整数的数先结合。
【例题3】分数乘法
1瓶花生油 25 升，1瓶大豆油的净含量是这瓶花生油的 34。这瓶大豆油有多少升？
【解题过程】
25 × 34
= 2×35×4 = 620
= 310（分子分母同时除以2）
14 × 3)
= 120 × 6
= 620 =
310
答：这瓶大豆油有 310 升。
【思路分析】"求一个数的几分之几是多少"用乘法。25的计数单位是，的计数单位是，积的计数单位是×=，计数单位的个数是2×3=6，所以积 = × 6 = = 。
【例题4】除法与乘法的关系
观察下面的等式，说明除法可以转化成乘法来计算：
（1）4 ÷ 2 = ________ （2）4 ÷ 5 = ________
（3）47 ÷ 2 = ________ （4） ÷ 0.2 = ________
【解题过程】
（1）4 ÷ 2 = 4 × 12 = 2
(2) 4 ÷ 5 = 4 × 15 = 45
(3) 12 ÷ 2 = 12 × 12 = 14
(4) 0.6 ÷ 0.2 = 0.6 × 5 = 3
【思路分析】除法是乘法的逆运算。除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数。整数除法、分数除法和小数除法都可以转化成乘法来计算。
【例题5】数的大小比较
先比较下面每组中两个数的大小，再说说你是怎样比的。
（1）1000 ○ 923，832 ○ 923
（2）45 ○ ， ○
（3）4.7 ○ 3.6，3.34 ○ 3.4
【解题过程】
（1）1000 > 923（1000是四位数，923是三位数）；832 < 923（百位相同，十位3 （同分母比分子，4>3）
23 ○ ：通分， = ， = ，所以 >
（3）4.7 > 3.6（整数部分4>3）；3.34 < 3.4（整数部分相同，十分位3 （4）> （5）< （6）>
3.（1）159 （2）4.65 （3）1200 （4）400 （5）1 （6）1.1
【能力提升】
4.（1）510，5100，5.1 （2）250，2500，0.25
5.（1）124+202=124+200+2=326
（2）(0.12+0.88)+(1.4+8.6)=1+10=11
（3）2.5×4.8=2.5×4×1.2=10×1.2=12
（4）352+469=(300+400)+(50+60)+(2+9)=100×7+10×10+1×11=821
6.（1）25，13，0.01×0.1，25×13，0.325 （2）略（运用加法交换律和结合律）
7.（1）60×2.5=150千米 （2）60×85=96千米/时 （3）60×4.8=288千米/时
【拓展延伸】
8. 答案不唯一。相加：112+=，+= 等
相减：812−=，−= 等
9. 设4÷3=x，则x×3=4。又因为4×13×3=4×1=4，
所以x=4×13，即4÷3=4×。
同理设67÷=x，则x×=，解得x=×=。
10. 六年级：55÷40=1.375平方米/人
七年级：62÷45≈1.378平方米/人
七年级一班人均占地面积大一些。
11.（1）4160 （2）0.416 （3）41635 （4）416