初中圆周角和圆心角的关系练习题

这是一份初中圆周角和圆心角的关系练习题试卷主要包含了定点定长共圆模型6，定边对双直角共圆模型8，定边对定角共圆模型11，对角互补共圆模型14等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc201321763" PAGEREF _Tc201321763 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc4100" 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）6
\l "_Tc15317" 模型2.定边对双直角共圆模型8
\l "_Tc20167" 模型3.定边对定角共圆模型11
\l "_Tc8564" 模型4.对角互补共圆模型14
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23247" PAGEREF _Tc23247 \h 17
汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。
（2026九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论：
①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【详解】解：①连接、，如图所示：

∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到，
∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，，
∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，故①正确；
②∵，，∴，
∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确；
③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴，
∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A．
（2026九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上．
【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上；
【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆；
过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等；
（）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．
（从框内选一个选项，直接填序号）
（） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ；
【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，．
求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（），；（）；（）证明见解析；．
【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补）
∵，∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆）
∴点，，，四点在同一个圆上，故答案为：，；

（）解：∵在线段同侧有两点，，，∴，，，四点共圆，
∵，∴，故答案为：；
（）证明：∵，∴，
∵点与点关于对称，∴，∴，∴，，，四点共圆；
解：，理由如下，如图，∵，，，四点共圆，∴，
∵，关于对称，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，∵，∴．
1.定点定长共圆模型（圆的定义）
若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
证明：∵OA=OB=OC=OD
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。

图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型）
2.定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。
证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED，
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
3.定边对定角共圆模型
定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。

图1 图2 图3 图4
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。
证明：∵，∴，
又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。
4.对角互补共圆模型
条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
证明：∵，∴，又∵，。∴，
∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）
例1（浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（ ）
A．B．C．D．4
【答案】A
【详解】解：连接DF，EF，过点F作FN⊥AC，FM⊥AB
∵在中，，点G是DE的中点，∴AG=DG=EG
又∵AG=FG∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径∴∠DFE=90°
∵在Rt△ABC中，AB=AC=5，点是BC的中点，∴CF=BF=，FN=FM=
又∵FN⊥AC，FM⊥AB，∴四边形NAMF是正方形∴AN=AM=FN=
又∵，∴
∴△NFD≌△MFE∴ME=DN=AN-AD=∴AE=AM+ME=3；∴在Rt△DAE中，DE=
故选：A．
例2（2026·安徽合肥·校考一模）如图，O是的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接．下列结论不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】D
【详解】如图，以点O为圆心，长为半径作圆．
由题意可知：．即点A、B、C、D都在圆O上．
A．∵，∴，故A不符合题意；B．∵，∴，故B不符合题意；
C．∵四边形是的内接四边形，∴，故C不符合题意；
D．∵和不一定相等，∴和不一定相等，
∴不一定平分，故D符合题意．故选：D．
例3（2025·重庆·校考一模）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．证明是等边三角形；
【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：详见解析；
【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴，

在和中，，∴，
②解：结论：．理由：如图中，作于．
∵，∴，在中，，
∵，，∴，∴；
拓展延伸：证明：如图3中，连接，∵四边形是菱形，，
∴是等边三角形，∴，
∵E、C关于对称，∴，
∴A、D、E、C四点共圆，∴，∴，∴是等边三角形；
模型2.定边对双直角共圆模型
例1（湖北鄂州·统考中考真题）如图，四边形中，，，于点．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【详解】如图，设交于点F，过C作，
在以为直径的圆上
，
，
在和中
=
，
例2（山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点作于点，作射线，
是等边三角形，，，
，点，点，点，点四点共圆，，
点在的角平分线上运动，当时，的长度有最小值，
，，的最小值为，故选：B．
例3（陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角，
，，，，，，共圆，
，，，平分，
平分，为的内心，，
，，
，，当为该圆直径时，最大，
的最小值为，故答案为：．
例4（浙江嘉兴·二模）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝1，AE⊥AD，交BC于点E，EA平分∠BED．（1）CD的长是 ；（2）当点F是AC中点时，四边形ABCD的周长是 ．
【答案】 2 5+
【详解】解：（1）如图1中，延长DA，CB交于点H，

∵EA平分∠BED，∴∠AEH＝∠AED，且AE＝AE，∠EAH＝∠EAD＝90°，
∴△ADE≌△AHE（ASA）∴AH＝AD，∵∠ABC＝∠BCD＝90°，∴AB∥CD，∴△ABH∽△DCH,
∴，且AB＝1，AH＝AD＝HD，∴CD＝2，
（2）如图2中，作AH⊥CD于H，
∵∠DAE＝∠DCE＝90°，∴A，D，C，E四点共圆，设圆心为O，则点O是线段DE的中点，
又∵AF＝CF，∴DE⊥AC，∴DA＝DC，
∵∠ABC＝∠BCH＝∠AHC＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝1，
∵CD＝2，∴CH＝HD＝1，又∵AH⊥CD，∴AD＝AC，∴AD＝CD＝AC＝2，
∴，四边形ABCD的周长为．
故答案为：（1）2；（2）．
模型3.定边对定角共圆模型
例1（2026九年级上·浙江·专题练习）如图，在四边形中，且，垂足为，延长线交于，交的延长线于．求证：A，，，四点共圆．
【答案】见解析
【详解】解：如图，连接，

，为等腰三角形，，
又∵，∴为中点，∴垂直平分，，∴，，
又，为等腰三角形，，∴，∴A，，，四点共圆．
例2（广东深圳·三模）如图，中，，，，以点C为顶点在外部作，连接，若，则长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：∵，，∴，∴，
∵，∴A、B、C和D四点共圆，且以中点为圆心，连接，如图，
∵，，，∴，，
∵，∴，
∴，设，则，则，解得，
∵，∴，
∴，即，解得，故选：A．
例3（2026九年级上·湖北·课后作业）“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．

提出问题：如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么A，，，四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点A，，的，在劣弧上取一点（不与A，重合），连接，，则（依据1），∵，∴，
∴点A，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点，在点A，，所确定的上（依据2），∴点A，，，四点在同一个圆上．
反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：__________________________________________________；
依据2：__________________________________________________．
（2）如图3，在四边形中，，，则的度数为__________．
拓展探究：（3）如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，，．求证：A，，，四点共圆．
【答案】（1）圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；（2）45°；（3）见解析
【详解】解：（1）依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆．
故答案为：圆内接四边形对角互补 过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
（2）∵，∴点A，，，四点在同一个圆上，∴，
∵，∴．答案：45°
（3）证明：∵，∴，
∵点与点关于对称，∴，，
∴，，∴，∴，∴A，，，四点共圆．
模型4.对角互补共圆模型
例1(2025九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆；
【答案】见解析
【详解】证明：连接，如图，∵所对的圆周角是,所对的圆周角是，
，，，，，
，，，
，，，，，四点共圆；
例2（2026·江苏·九年级假期作业）如图，中，，平分，，连接，并延长分别交，于点和点，若，，则的长为（ ）
A．10B．12C．15D．16
【答案】C
【详解】解：，，、、、四点共圆，
平分，，，，，
，，，如图，延长到，使，
，为等边三角形，，，，
设每一份为，，，，，．故选：C．
例3（2026九年级下·江苏南京·开学考试）综合与实践
【问题提出】我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么，过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？
【实验探究】（）获得猜想：观察图至图，分别过菱形、矩形、等腰梯形、共斜边的两个直角三角形的三个顶点作圆，提出猜想：
过______的四边形的四个顶点能作一个圆（请填写序号）．
对边相等；一组对边平行；对角线相等；对角互补；
（）推理证明：已知：在四边形中， 求证：过点，，，可作一个圆．
证明：假设过点，，，不能作一个圆．
如图，过，，三点作，点不在圆上．
若点在外，与交于点，连接，则 ______．
，而是的外角，
______出现矛盾，故假设不成立．所以点在过，，三点的圆上．
同理可证点在内的情况．
【应用结论】如图，四边形中，对角线，交于点，，平分．
若，求的度数．若，，求线段的长．
【答案】（）④；（），；（）①；②
【详解】（）对角互补的四边形的四个顶点能作一个圆，故答案为：④；
（）证明：假设过点，，，不能作一个圆，
如图，过，，三点作，点不在圆上，
若点在外，设与交于点，连接，则，
， ，而是的外角，
，出现矛盾，故假设不成立，∴点在过，，三点的圆上，
同理可证点在内的情况，故答案为：，；
（）解：①∵ ，∴四点共圆，
∵平分，，∴，∴；
②由①可知，， ∵， ∴，
∴，即， ∴．
1.（浙江绍兴·九年级校联考期中）如图1，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=6．如图2，在底边BC上取一点D，连结AD，使得∠DAC=∠ACD．如图3，将△ACD沿着AD所在直线折叠，使得点C落在点E处，连结BE，得到四边形ABED．则BE的长是（ ）
A．1B．C．D．
【答案】A
【详解】解：，，
，，，，
，，，，
，，，
，即，，，
，、、、四点共圆，，，
，，．故选：．
2．（2026·江苏无锡·九年级校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转后得到△ADE，直线BD、CE相交于点O，连接AO．则下列结论中：①△ABD∽△ACE；②∠COD＝135°；③AO⊥BD；④△AOC面积的最大值为8，其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【详解】①由旋转的性质可知：，
即 故①正确
②设相交于点,如图：由①，可得，
又故②正确
③，可知四点共圆，
则即故③正确
④设到的距离为， ，以为底边，当最大时候，△AOC面积的才最大，
由③可知是等腰三角，
,当点到的距离最大时即当时，最大
即当旋转角度时，过作于点，如图，
由②可知由③可知,
；由①可知
在中，，；
在中，,
在中，
故④不正确 综上所述：①②③正确，共计3个 故选C
3．（2026九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，点O为线段的中点，点A、C、D到点O的距离相等，若，则的度数是（ ）
A．32°B．140°C．29°D．61°
【答案】B
【详解】如图，∵点A、C、D到点O的距离相等，∴OA=OD=OC，
∵点O为线段的中点，∴OC=OB，∴OA=OB=OC=OD，
∴点A、B、C、D在以点O为圆心，OA为半径的圆上，即⊙O为四边形ABCD的外接圆，∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC=40°，∴∠ADC=140°，故选：B．
4．（2026九年级上·山东临沂·期末）如图，中，，，，，过点C作的垂线，与的延长线交于点Q，则的最大值是（）．
A．5B．C．D．
【答案】C
【详解】解：，，∴当有最大值时，有最大值，
，∴点，点，点，点四点共圆，∴最大值为直径，
，∴是直径，∴的最大值为，∴的最大值为，故选：C．
5．（秋·湖南长沙·九年级长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．我们学过了“圆的内接四边形的对角互补”这一定理，它的逆命题“对角互补的四边形四个顶点共圆”是证明“四点共圆”的一种常用方法．除此之外，我们还经常用“同旁张角相等”来证明“四点共圆”．如图1，在线段AB同侧有两点C，D．连接，，，，如果，那么A，B，C，D“四点共圆”
(1)如图2，已知四边形中，对角线、相交于点P，点E在的延长线上，下列条件：①；②：③：④．其中，能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有___________：
(2)如图3，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴正半轴上，点D在y轴负半轴上，若A，B，C，D“四点共圆”，且，求四边形的面积；
(3)如图4，已知是等腰三角形，，点D是线段上的一个动点（点D不与点B重合，且，连结AD，作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接，．
①求证：A，D，B，E“四点共圆”；②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值：若变化，请说明理由．
【答案】(1)①③④(2)(3)不变，8
【详解】（1）解：∵，∴A，B，C，D“四点共圆”，故①正确；
∵，，∴，∴A，B，C，D“四点共圆”，故③正确；
∵，∴，
又，∴，∴，∴A，B，C，D“四点共圆”，故④正确；
根据②的条件无法判定A，B，C，D“四点共圆”．故能判定A，B，C，D“四点共圆”的条件有①③④．
（2）解：对于，当时，则，当时，则，解得，
∴，，∴，又，∴，
∵A，B，C，D“四点共圆”，∴，
又，∴，∴，∴，
∵A，B，C，D“四点共圆”，∴，
又，，∴，∴，
∴；
（3）①证明：∵，∴，
∵点E与点C关于的对称，∴，，
∴，，∴，
∴，∴A，D，B，E四点共圆；
②解：的值不会发生变化，
理由如下：如图4，连接，
∵点E与点C关于的对称，∴，∴，
又，∴，∵A，D，B，E四点共圆，
∴，∴，∴A，B，F，C四点共圆，∴，
∵，∴，∴，∴．
6．（2026·湖北鄂州·九年级统考期末）请仔细阅读以下材料：
定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．

我们由定理可以进一步得出结论：，，．
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图，在和中，
，，，连接交于点，交于点，连接．
(1)求证；(2)请直接写出___________度，___________度；
(3)若，求证．
【答案】(1)证明过程见详解(2)，(3)证明过程见详解
【详解】（1）证明：∵，
∴，即，
在和中，，∴，∴．
（2）解：由（1）可知，，∴，
在，，
∴在中，，∴；
∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示，
∵，，∴是等腰直角三角形，即，
∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同，∴，故答案为：，．
（3）解：如图所示，取的中点，连接，
由（2）可知，，，∴在中，点是的中点，
∴根据定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且，
∵是外角，∴，
在中，，∴，
∴是等腰三角形，即，∴，∴．
7．（江苏连云港·一模）问题情景：如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边，．矩形顶点C从O点出发沿x轴的正半轴向右运动，矩形的另一个顶点B随之在y轴的正半轴上运动，当点B回到O点时运动也随之停止．
问题提出：如图2．（1）当时，点A的坐标为__________；（2）在运动过程中，求的最大值；
问题探究：（3）如图3，点P为线段上一点，．
①在运动过程中，的值是否会发生改变，如果不变，请求出其值，如果改变，请说明理由；
②从运动开始到运动停止，请直接写出点P所走过的路程．
【答案】（1）；（2）；（3）①不变，2；②
【详解】解：（1）如图，过A作轴与E，
∵，，，∴，，
∵，∵，
∴，∴，，
∴，∴A点坐标为：，故答案是：．
（2）如图，取中点，连接、，
在中，∵M为斜边中点，∴，，，
当O、M、A三点不共线时，根据，
当 O、M、A三点共线时，时，∴，即，
∴当 O、M、A三点共线时，取最大值，最大值为．
（3）①不变，∵，，
有，，∴，，
∴，∴，∴，
∴，∴，
∴点B、O、C、P四点共圆，都在以为直径的圆上，∴，
而为定值．
②由①可知为定值，∴点在直线上运动，
由①知，点到轴的距离从到最大为，再回到距离为直到，
，当从运动到轴时，其坐标为，
∵，这时点从运动到轴，再回到经过的路径长为，
∵、，∴，∴点经过的路径长为．
8．（重庆大渡口·二模）在中，点C在直线的上方．
(1)如图1，，点D在边上，且 ，若，求线段的长；
(2)如图2，点E为外一点， ，，猜想 之间的数量关系，并证明你的猜想；
(3)如图3， ，点P是射线上一动点，且，连接，将线段绕点A顺时针旋转到得线段，连接，直接写出的最小值．
【答案】(1)(2)，理由见详解(3)
【详解】（1）解：设，则，∵，∴，
∴，解得：，∴，则（负值舍去）；
（2）解：过点C作的平行线交于点G，
∵ ，，
∴A、C、E、B四点共圆，
∴，∴，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，，
∴，，，∴，，
又∵，∴，∴，∵，∴；
（3）解：记与交点为点K，过点B在直线上方作，且，连接，
由题意得：，∵，
∴，∴，∴，∵，∴，
∵，∴，∴，，则，
∵，∴ ∴，
∵点K为中点，且∴，∵，∴，∴，
而，点K为中点，∴，
在中，，由勾股定理得，∵，∴，
∴，当O、P、K三点共线时，等号成立，∴的最小值为．
9．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得：
引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆．
例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得：
引理2线段同旁张等角，四点共圆．
例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接．
(1)可求得______°，______°；(2)请判断的形状并证明；(3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度；(4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______．
【答案】(1)30；60(2)为等边三角形，见解析(3)(4)
【详解】（1）解：过点作于点，∴，，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，故答案为：30；60；

（2）解：为等边三角形，理由如下：如图：∵为等边三角形，∴，
∵，∴，
∵，∴，∴点四点共圆，
∴，∴，∴，
∴四点共圆，∴，∴，
∴，∴为等边三角形；
（3）解：在上取一点，使得，过点作于点，
∵，∴，∴为等边三角形，∴，，
∵为等边三角形，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，
∵等边，，∴，，
∴由勾股定理得，由（1）得，∴，∴，
∴，
∴
∴当时，，此时点重合，如图：

∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴共线，
∵∴，∴；
（4）解：延长并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，
∵是等边三角形，∴，
∴，∴是等边三角形，∴，
∵，∴，∴，
∵是直径，为圆心，∴，∴
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，
∴，∴，∴当最大时，最小，
∴当为直径时，最大，，此时．
10．（陕西西安·模拟预测）“乐思”小组开展探究四点共圆的条件活动时，得到结论：对角互补的四边形的四个顶点共圆，该小组继续利用上述结论进行探究．
(1)问题探究：如图，四边形为矩形，平分，交于点F，．
①判断A、B、C、E四点是否共圆？填（“是”或“不是”）__________；②__________
(2)问题解决：如图，某公园内有一个五边形人工湖，已知，米，，点是上一点，且，点是直线上一点，夏季来临，为了增加游客的安全性，欲在其中央建造一个以为斜边的等腰直角型救助站，如图所示，已知湖岸米，点是上的中点，是湖岸通向救助站的唯一通道，若修筑通道的造价为每米300元，求当造价最低时，四边形的面积为多少？并求出通道的最低造价．
【答案】(1)①是；②(2)，元
【详解】（1）解：①：∵四边形为矩形，∴，
∵，∴，∴A、B、C、E四点共圆，故答案为：是；
②∵，平分，∴，
∵A、B、C、E四点共圆，∴，∴，故答案为：；
（2）解：延长交于点H，连接，过点M作于点R，过点M作于点J，连接并延长交于点K，过点H作于点Q，

∵，∴四边形为矩形，∴，，
∵，，∴，∴，
∵是等腰直角三角形，∴，∴，
∴，∴，∴平分，∴，
∵点N为中点，，∴，∴点N在以点H为圆心，为半径的上运动，
∵，∴当点M与点Q重合，点N与点T重合时，最小即为，
∵在中，，，∴，
∴，∴最低造价为：元，
当点M与点Q重合时，如图：
∵，，，∴四边形是矩形，∵，∴四边形是正方形，
∵，∴，
∵，∴，∴．
11．（2026九年级下·广东湛江·阶段练习）【阅读与探究】
我们定义：如果两个三角形有一条公共边，且这条公共边所对的同侧的角相等，那么这两个三角形有公共的外接圆（如图1），简记为：共边同侧对角等，四点共圆．
几何语言：如图1．． 、B、C、D四点共圆

【定义运用】（1）如图2，在平面直角坐标系中，四边形的边在x轴上，对角线，交于点F，且．求证：A、B、C、D四点共圆；
（2）在（1）的条件下，如图3，作四边形的外接圆，延长交x轴于点E，若，设，，求y关于x的函数关系式；
【深入探究】（3）如图4，在平面直角坐标系中，以x轴上的线段为直径作，且的半径为，点，点G是x轴上方劣弧上的一个动点，连接，点N在上，点H在上，且，，连接，，反比例函数的图象经过点G，若，当的值最小时，求k的值．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）
【详解】（1）证明：，，
，，，A、B、C、D四点共圆；
（2）如图，过作交于，，，

，，，
，，，，
四边形是的内接四边形，，
，，，
y关于x的函数关系式；
（3）延长至，使得，连接、，
，,，，
，，，
，，如图，作轴交于，轴交于，
当、、三点共线时，的值最小，此时，即，
，，，，
，，
轴，轴，，，
，，，
，，解得：，，
，，，，
，；故k的值为．
12．（2025·湖北咸宁·模拟预测）在和中，，，点在内，，平分．
(1)如图（1），当时，连接．①求证：；②若，求的长；
(2)如图（2），当时，直接写出的值．
【答案】(1)①见解析；② (2)
【详解】（1）①∵∴ 又∵∴
∴，∴， ∴；
②∵当时，∴∴，
∵∴，是等腰直角三角形
∵∴，即∴
∵∴ ∵平分∴∴
∵∴
∵∴∴
∵∴∴；
（2）如图所示，连接，
∵∴，
∵∴，
同（1）可得，∴
∴设，则同（1）可得，
∴∴∴．
13．（广西柳州·二模）综合与实践
小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：
【反思归纳】（1）上述探究过程中的横线上填的内容是__________；
【拓展延伸】（2）如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转得，连接交于点，连接、．小明发现，在旋转过程中，永远等于，不会发生改变．
①根据，利用四点共圆的思想，试证明；
②在（1）的条件下，当为直角三角形，且时，直接写出的长．
【答案】（1）；（2）①证明见解析；②或
【详解】解：（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，则，又∵，∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点，在点，，所确定的上，∴点，，，四点在同一个圆上，
故答案为：；
（2）①证明：∵在中，，∴，
图3 图4
∵，∴，∴，，，四点共圆，∴，
∵，∴，∴，
∵旋转得，∴，∴，∵，∴；
②如图，当时，∵，，∴，
∵，，∴，∴，
∵，∴，又∵，，，
∴，∴；
如图中，当时，过作交于，
∵，，∴，∵，，
∴，∴，∵，∴，
∵，，∴，
∵，∴，∴，∴．
14．（2026·湖北武汉·九年级校考阶段练习）问题提出 如图1，点E为等腰内一点，，，将绕着点A逆时针旋转得到，求证：．
尝试应用 如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N，M，求证：．
问题拓展 如图3，中，，点D，E分别在边，上，，，交于点H．若，，直接写出的长度（用含a，b的式子）．
【答案】见解析
【详解】解：问题提出：证明：∵，，将绕着点A逆时针旋转得到，
∴，，
∴，即：，
在与中，，∴．
尝试应用：延长，使，连接，

∵为等腰直角三角形，∴，，
又∵，即：，∴、、、四点共圆，
∴，∴，
在与中，，∴．∴，，
∴，即：，
∴
∵∴，∴
即：．
问题拓展：将绕点逆时针旋转至，则为等边三角形，
∴，，
∵，∴、、、、五点共圆，
则：，，，
，，
又∵，∴，∴，
∵，，，∴∴，
∵，，，∴∴，
∴，则，作交于，则，
∵，∴，
∴，则：．
15．（江苏盐城·二模）如图，将一副斜边相等的直角三角板按斜边重合摆放在同一平面内，其中∠DAB＝45°，∠CAB＝30°，点O为斜边AB的中点，连接CD交AB于点E．设AB＝1．
（1）求证：A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；（2）分别求△ABC和△ABD的面积；
（3）过点D作DF∥BC交AB于点F，求OE︰OF的比值．
【答案】（1）见解析；（2）△ABC的面积为，△ABD的面积为；（3）
【详解】（1）证明：如图，连接OD、OC，
在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，点O是AB的中点，∴OC＝OA＝OB，
在Rt△ABD中， ∠ADB＝90°，点O是AB的中点，∴OD＝OA＝OB，
∴OA＝OB＝OC＝OD，∴A、B、C、D四个点在以点O为圆心的同一个圆上；
（2）解：

△ABC的面积为；△ABD的面积为
（3）解： 是等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点
∵DF∥BC
∵ ∴△DEF∽△CEB，∴又得．
16．（山东日照·统考中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题：
如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．

(1)求证：A，E，B，D四点共圆；(2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线；(3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）证明：由旋转的性质可得，
∴，∴，即，
又∵，∴，∴，
∵，∴，∴A、B、D、E四点共圆；
（2）证明：如图所示，连接，
∵，∴，
∵是四边形的外接圆，∴，
∴，∵，∴，
∵，∴，
∴，即，∴，
又∵是的半径，∴是的切线；

（3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，
∵，∴，
∵点M是边的中点，∴，，
∴，∴，在中，，∴，
∵是四边形的外接圆，∴点P一定在的垂直平分线上，
∴点P在直线上，∴当时，有最小值，
∵，∴在中，，
∴圆心P与点M距离的最小值为．
17．（浙江宁波·九年级校联考期末）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段AC同侧有两点B，D，连接，如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：求证：点A，B，C，D四点在同一个圆上
如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，，则．
(1)请完善探究展示 (2)如图3，在四边形中，，则∠4的度数为 ．
(3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于F，连接．
①求证：A，D，B，E四点共圆；
②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆
(2)45°(3)①见解析；②的值不会发生变化，值为8
【详解】（1）解：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧AC上取一点E（不与A，C重合），连接，，则，

∵，∴，
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点B，D在点A，C，E所确定的上，∴点A，B，C，D四点在同一个圆上；
（2）解：∵，∴点四点在同一个圆上，∴，
∵，∴，故答案为：；
（3）①证明：∵，∴，
∵点与点关于的对称，∴，，
∴，，∴，
∴，∴A，D，B，E四点共圆；
②解：的值不会发生变化，理由如下：如图4，连接，
∵点与点关于的对称，∴，∴，∴，
∵A，D，B，E四点共圆，∴，
∴，∴A，B，F，C四点共圆，∴，
∵，∴，∴，∴．
18．（2025·河南·校考一模）综合与实践：小明在刘老师的指导下开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．小明继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．
探究展示：

【反思归纳】(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？依据1：______；依据2：______．
【拓展延伸】(2)如图3，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，旋转角为，连接交于点，连接．小明发现，旋转过程中，点始终为的中点，为验证结论，小明连接，判断，，，四点共圆后得出结论．
①请你帮小明证明；②当为直角三角形，且时，请直接写出的长．
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)①见解析；②
【详解】（1）解：依据1：圆内接四边形对角互补；
依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）①证明：∵将绕点逆时针旋转，得到，

∴∴
∵旋转角相等，即∴ 又∵，∴，
设，则，
∵在中，，，∴
，∴，即，
∵∴∴四点共圆∴ 又∵，∴，
②当为直角三角形，只有一种情形，如图所示，过点作于点，
∵∴是等腰直角三角形，∵，则，即是等腰直角三角形，
∵ ∴∴
∵∴ ∵∴∴
在中，；
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，，
则
又∵，∴__________，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆），
∴点，在点，，所确定的上
∴点，，，四点在同一个圆上．
如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点不与，重合，连接，，则依据．
，，点，，，四点在同一个圆上对角互补的四边形四个顶点共圆，点，在点，，所确定的上依据．点，，，四点在同一个圆上．