北师大版（2024）九年级下册弧长及扇形的面积测试题

这是一份北师大版（2024）九年级下册弧长及扇形的面积测试题试卷主要包含了与垂径定理相关的中点模型6，与圆周角定理相关的中点模型9等内容，欢迎下载使用。
当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc9479" 模型1.与垂径定理相关的中点模型6
\l "_Tc27656" 模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）9
\l "_Tc14692" 模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型12
\l "_Tc18836" 16
‌
圆弧中点是初中数学圆几何中的重要解题工具，主要来源于对圆中垂径定理和圆周角定理的深入应用。该模型通过连接圆心与弧中点，构造垂径关系或利用圆周角性质，解决与切线、相似三角形、线段比例等相关的问题。圆弧中点模型作为几何学中处理弧中点性质的核心工具，其历史演进融合了东西方数学思想。
古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中证明的‌托勒密定理，首次隐含圆弧中点对弦长比例的约束作用，为模型提供了早期定量基础。阿拉伯学者的核心突破‌系统完善‌垂径定理‌：严格证明圆弧中点与圆心的连线必垂直平分对应弦，确立“弧中点→弦中点→垂直关系”的逻辑链条。宋代数学家基于弦长与圆心角关系，明确“等弧对等弦”性质，强化圆弧中点的对称应用。
（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt中，，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，连接，与的延长线相交于点．
(1)请从以下条件中：①；②点是弧的中点；③．选择一个能证明是切线的条件，你选择的条件是___________，并写出证明过程；
(2)若是的切线，连接，若，，求的长．
【答案】(1)②，证明见解析(2)
【详解】（1）解：选择条件②，证明如下：连接，，则：，
∵点是弧的中点，∴，∴，∴，
∴，∴，∴，
又∵是的半径，∴是切线；
（2）∵为直径，∴，∵，∴，
∵是切线，∴，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，∴，
在中，，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，即：，∴，∴．
（2026九年级上·湖北荆州·期中）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F．
(1)如图①，若，求证：；(2)如图②，若，，求的半径．
【答案】(1)见解析(2)的半径为
【详解】（1）证明：如图①，连接，，

，，，
∵点D为的中点，，，，；
（2）解：如图②，连接，，为的直径，，，，
，，，，，
设的半径为r，则，在中，，
，解得，的半径为．
1）与垂径定理相关的中点模型

图1 图2 图3
1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB；
2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线；
3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。
证明：1）根据垂径定理易得：OP⊥AB；
2）由1）知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。
3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中点，∴，∴∠ABP=∠BAP，
∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。
2）与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）

1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB．
2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°．
3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC；
△PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。
证明：1）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB，
2）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB，
∵AB是直径，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°，

3）∵P是中点，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB，
∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC；
∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC；
∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB；
∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。
3）垂径定理与圆周角定理结合的中点模型

条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。
结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB．
证明：1）∵P是中点，∴，
∵AB是直径，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD，
∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°，
∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC，
∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC，
∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB，
∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB，
模型1.与垂径定理相关的中点模型
例1（2026九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在半径为的中，点A是劣弧的中点，点D是优弧上一点，且，下列四个结论：①；②；③扇形的面积为；④四边形是菱形．其中正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①②③④C．②③④D．①③④
【答案】D
【详解】解：∵点是劣弧的中点，∴，∴，
∵，∴（等腰三角形的三线合一），则结论①正确；
设交于点，∴，∵的半径为，∴，
由圆周角定理得：，∴，
∴，∴，∴，则结论②错误；
∵，∴，
∴扇形的面积为，则结论③正确；
∵，∴是等边三角形，∴，同理可得：，
∴，∴四边形是菱形，则结论④正确；
综上，正确结论的序号是①③④，故选：D．
例2（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则 ， ．
【答案】 1
【详解】解：连接，如图；∵点为的中点，是直径，∴垂直平分，
， ，
设，则，，
，，
在中，，，
解得（负值不合题意，已经舍去），；
连接，过作于点，是的切线 ，，
， ，，
，，（同弧所对的圆周角相等），
，，，
四边形为平行四边形，，
由（1）知，在中，，，，
，，
，，，
，，．故答案为：1，．
例3（2025·北京·模拟预测）如图，是的直径，弧弧，与交于点，的切线交的延长线于点．
(1)求证：；(2)连接并延长，交的延长线于点．若为的中点，的半径为，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，，
弧弧，，又，，
是的切线，，；
（2）解：为中点，，，
在中，，，
，，，，
在和中，，，
，，，．
例4（2026九年级上·广东东莞·期末）如图是的直径，点C、E在上，E是劣弧的中点，连接，且与交于D点，F是延长线上的一点，且．
(1)求证：EF是的切线．(2)若的半径为5，，求的长．
【答案】(1)见解析 (2)
【详解】（1）证明：如图，连接，∵∴
∵E是劣弧的中点∴
∵∴ ∵是的直径∴
∴ ∴∴是的切线
（2）∵的半径为5，∴
由（1）可知，在中，
∵E是劣弧的中点∴ ∴
即：∴∴
由（1）可知∴∴
∵ ∴ ∴即： 解得：
模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型）
例1（2025·山西吕梁·一模）如图，四边形内接于，为的直径，点C为的中点，若，则的度数为 °．
【答案】70
【详解】解 ： 连接，
，
∵四边形内接于，，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵点C为的中点，，∴，∴，∴，
∵，∴，故答案为：70．
例2（陕西西安·模拟预测）如图，内接于， 点 B 是弧的中点， 是的直径．则的长为（ ）

A．5B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，连接，

∵是的直径，∴，
∵，∴，
∴，∴，∵点是的中点，∴，
∵，∴即，解得，故选：C．
例3（2025·山东德州·统考二模）如图1，内接于，点是劣弧的中点，且点与点位于的异侧．(1)请用圆规和无刻度直尺在图1中确定劣弧的中点；
(2)在图1中，连接交于点，连接，求证；
(3)如图2，点是半圆的中点，若⊙O的直径，求和的长．

【答案】(1)见解析(2)见解析(3)，
【详解】（1）解：如图所示，点为所作点：

（2）证明：∵点D是劣弧的中点，∴，∴，
∵，∴∽∴，∴
（3）解：连结BD，∵点D是的中点，∴，∵是的直径，∴
∴为等腰直角三角形，∴
由（1）得∽，，即，
∴，∴，解得或（负值舍去）∴．
例4（2025·天津滨海新·二模）在中，为直径，与相切于点，交延长线于点，连接，，且，点为中点．
(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，过点作，垂足为点，延长交于点．若，求的长．
【答案】(1)，(2)
【详解】（1）解：连接，∵与相切于点，∴，
又∵，∴，∴，
又∵为直径，∴，又∵点为中点，∴；

（2）解：连接，，设直线交于点，∵，∴，
又∵，∴，∴，，
又∵，，∴是等边三角形，∴，
∴，∴，
∴，
∴，∴，
又∵，，∴，
又∵是直径，∴，又∵，∴，
∴，即，解得：．
模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型
例1（2025·安徽合肥·统考三模）如图，是半圆的直径，是弦，点是的中点，点是的中点，连接、分别交于点和点，连接，则下列结论中错误的是（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】解：点是弧的中点，是半径，，∴正确；连接交于，

点是弧的中点，，，
，是的中位线，
，即，且，∴错误，正确；
连接，点是弧的中点，，，
，，∴正确．故选：．
例2（2025·上海·统考二模）如图，已知的内接正方形，点是的中点，与边交于点，那么 ．
【答案】
【详解】解：如图所示，连接，交于点，连接，
∵的内接正方形，∴经过点，
∵点是的中点，∴，∴
设，则∴
∵,∴
∵，∴∴，故答案为：．
例3（2026九年级上·广东肇庆·期中）如图、为的直径，C为上一点，过点C的切线与的延长线交于点，，是弧的中点，弦、相交于点．
(1)求的度数；(2)若，求的长．
【答案】(1)；(2)．
【详解】（1）解：∵与相切于点，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
∴，即，∴，∴；
（2）解：如图，连接，∵是直径，∴，

∵点是的中点，∴，∴，
在中，∵，，∴．
例4（北京东城·一模）如图，是的直径，为圆上一点，是劣弧的中点，于，过点作的平行线，连接并延长与相交于点，连接与交于点．
(1)求证：是的切线；(2)若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)3.5
【详解】（1）证明：连接，如图所示：
∵是劣弧的中点，∴，平分，∴
∵，∴∴，
∵是的半径，∴是的切线；
（2）∵是劣弧的中点，∴，∴，
∵是的直径，∴∴，
∵，，∴，∴，
∵是的直径， ∴，
∵，∴，∴
∴，∴
1．（2026九年级上·浙江宁波·期中）如图，四边形内接于，为的直径，点为的中点，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：连接，四边形内接于，，
，，点为的中点，，
是直径，，，故选：D．
2．（2026·山东·九年级专题练习）如图，是的直径，、是的两条弦，交于点G，点C是的中点，点B是的中点，若，，则的长为（ ）

A．3B．4C．6D．8
【答案】D
【详解】解：如图所示，连接，∵点B是的中点，是的直径，
∴，，∴，∵，∴，∵，∴，
在中，由勾股定理得，∴，
∵点C是的中点，∴，∴，∴，∴，故选D．

3．（2026九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，为直径，点为上方半圆上的一个动点（不与重合），连接，过点作交于．取弧的中点，连接，交于点，连接，则下列说法正确的有（ ）
①；②当为线段的中点时，；③若点为弧的中点，；
④连接，当点为弧的中点时，的面积取到最大值．
A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④
【答案】A
【详解】解：∵点为弧的中点，∴点为的中点，
又∵点为的中点，∴为的中位线，∴，故①正确；
当为线段的中点时，连接，如图所示，
∵，为线段的中点，∴垂直平分，∴，
又∵，∴，∴是等边三角形，∴，∴，
∵点为弧的中点，∴，
∴，∴，故②正确；
当点为弧的中点时，过点E作于G，如图所示，∴，

又∵，∴此时点D与点O重合；∵点为弧的中点，∴，
又∵，∴是等腰直角三角形，∴，
∴，∴；
∵，，∴，故③正确；
如图所示，过点E作于G，∴；
∵点为弧的中点，∴，∴，
又∵，∴，∴，
∴；
∵是直径，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴ ，
∴，∴；
设，的半径为，则，同理可证明，
又∵，∴，∴，
∴，∴，∴，
∴，
当时，，
当时，，
∵，∴当时，的面积大于时的的面积，
∴当点为弧的中点时，的面积不是取到最大值，故④错误；故选：A．
4．（2026九年级上·浙江温州·期中）如图，在半径为5的中，弦，D为优弧的中点，C为上点，于点E，于点H，连结．若，则四边形的面积为 ．
【答案】/
【详解】解：过点作于点G，连接，
∵D为优弧的中点，∴，∴∴是等腰三角形，
∵，，∴，
∵是的外接圆，∴点O在上，
∵的半径为5，∴，∴，
∴，∴，
∵于点H，，∴，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴，
∴四边形的面积为．
故答案为：．
5．（2026九年级上·江苏南通·期中）如图，的半径是，是的优弧的中点，弦，则的长为 ，为上任意一点，动点从点出发，以的速度沿方向向点匀速运动，若，则与动点的运动时间秒的函数表达式为 ．
【答案】
【详解】解：延长交于G，连接，，
∵是的的中点∴，，
∵的半径是，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴
当时，，
∴
当时，，
∴，
综上：故答案为：，．
6．（陕西西安·三模）如图，是的直径，是上一点，是弧的中点，为延长线上一点，且，与交于点．

(1)求证：；(2)若，，求半径的长．
【答案】(1)见解析；(2)．
【详解】（1）证明：∵是的中点，
∴，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，∴；
（2）解：连接，∵是的直径，∴，

∵是的中点，∴，∴，∴，
∵，∴，在中，，∴，
∴，∴．
7．（2025·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，点，在上，且过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点，为下方的半圆弧的中点，交于点，连接，．(1)求证：是的切线；(2)求证：；(3)已知，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：如图，连接，，，

，，，
又，，是的切线；
（2）证明：是的直径，，，
由（1）可知是的切线，，，
，，，
又，；
（3）解：如图，连接，是半圆弧的中点，，
在中，，，．
8．（山东济南·一模）如图，为的直径，点D为上一点，点E是的中点，连接，过点A的切线与的延长线交于点C，弦相交于点F．
(1)求证：；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)2
【详解】（1）证明：与相切于点，，，
为的直径，，，，
，，即．
（2）解：，，
在中，，，
点是的中点，，，，
在中，，，的长为2．
9．（2026九年级上·湖南常德·期末）如图，是圆O的直径，点D为圆O上一点，连接并延长至点C，使，过点D作的垂线，交圆O于点E，点F为劣弧上一点，连接并延长交的延长线于点P，连接与交于点G．
(1)求证：是圆O的切线；(2)若，，求的长；
(3)若圆O的半径为1，设，，试求y关于x的函数表达式．
【答案】(1)见解析(2)；(3)．
【详解】（1）证明：如图，记，，，

∵是的直径，，，
∵由题意得：，，，
又∵是的直径，∴是的切线；
（2）解：设，∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，即，解得(负值已舍)，∴，
∵，∴；
（3）解：如图，连接，
∵，∴，，∴，
∵，且为的直径，，
，∴，
∵，，∴，
∵，∴，，
∴，∴，设，则，
∴，，∴．
10．（2026九年级上·广东阳江·阶段练习）如图，在⊙O中，是直径，C为圆上一点，为的中点，作交的延长线于点M，交的延长线于点N，连接．
(1)求证：是⊙O的切线．(2)若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）证明：如图，连接，

为的中点， ，,
，，，，
，，又是半径，是的切线．
（2）如图，过点作，交于点，
，，为的中点，，，
，，，，
，，，
在中，，，，
．
11．（湖北十堰·二模）如图，是的直径，是的弦，点C是的中点，连接交于点F，过点C作的平行线与的延长线交于点E．(1)求证：是的切线；
(2)若，，求阴影部分的面积（结果保留π）；(3)若，求的值．
【答案】(1)见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：如图，连接交于点H，

点C是的中点，是半径，，
，，是半径，是的切线；
（2）解：如图，连接，，
为直径，，，
，，，
,，
中，，
（3），，，
设，则，，，
，，，
12．（2025·安徽合肥·三模）如图①，已知为的弦，为的半径，，与交于点D，连接，，过A点作的切线交的延长线于点E．
(1)求证：；(2)如图②，连接并延长交切线于点M，若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：如解图，连接，
为的切线，，．
，，．
，，．
，；
（2）解：如解图，连接，．，，D为的中点．
，，且，，平分，
由（1）知，点为的内心，平分，，
，，，，
，即为等边三角形，．
在中，，则，．
13．（2026九年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知：如图，为的直径，弦，垂足为E，点H为弧上一点，连接交于点F，过A作，垂足为．
(1)如图1，连接，，求证：；
(2)如图2，若为弧的中点，连接，求证：；
(3)如图3，在（2）的条件下，若，，求的长．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)
【详解】（1）证明：如图1，

，，，，
，，，；
（2）证明：如图2，连接，，，
直径，，是弦的垂直平分线，
，，，，
，，
设，点为的中点，，
，，，
，，
，；
（3）解：如图3，连接，，，
点为的中点，，，
由（2）得：，，，
如图3，作，连接，，，
在和中，，，
，，为的直径，，，
直径，，，
，由（1）得：，，
即：，，，
由（2）得：，，
，
，，，
，即：，，
，又，，
，，
在中，由勾股定理可得：，
直径，，，即：，
，，
，，
在中，由勾股定理可得：，，
解得：或（不合题意，故舍去），，
，，
，，
，
在中，由勾股定理可得：，
，，，
在中，由勾股定理可得：，
，，．
14．（2025·黑龙江哈尔滨·三模）如图，为的弦，点C为弧的中点，点D为上一点，连接交弦于点E，连接．(1)如图1，求证：；(2)如图2，过点A作交于点F，连接，求证：；(3)如图3，在的条件下，当为的直径时，与交于点K，若时，求的长，
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：连接．

∵点为弧的中点，∴， ∴ ．
∵是的外角，∴ ，而 ，
∵∴∴ ．
（2）证明：∵，∴，∴．
∵点为弧的中点，即 ．∴ ， ∴ ．
（3）解：连接、，．由（2）得
∴即，，∴
∵是的直径，∴ ．
∴，∴，∴ ．
∵∴，
∵点C为弧的中点，是半径，∴，，
∴，，
∵，，∴ ．
∴即，即
∴，，∴，
∵，，∴，
∴，
，∴，
∴，∴．
15．（山东潍坊·二模）如图，为的直径，点D为圆周上一点（不与A，B重合），点C为的中点，连接BC并延长至点E，连接AE，AC，恰有AC平分．(1)求证：为的切线；(2)作，，垂足分别为点D，F，若，，求AE的长．

【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）证明：∵为的直径，
∴，则，
∵点C为的中点，∴，，则，
∵AC平分，∴，则，
∴，∴为的切线；
（2）解：延长交于点G，延长交于点Ｈ，连接，

∵，∴，∵，∴，
∵为的直径，∴，
∵，∴，∴四边形为矩形，
∴，在中，，，∴，
∵，，∴，
∴，即，∴，∴．
16．（2025·湖北恩施·统考一模）如图，是的直径，是圆上的一点，为的中点，过点作的切线与的延长线交于点，与的延长线交于点，弦、交于点．
(1)求证：；(2)求证：；(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：连接，，交于，
∵是劣弧的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵是的切线，为半径，∴，
∴，∴，∴；
（2）证明：∵D是劣弧的中点∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）解：连接，
∵，，∴由（2）可得，∴，∴，
∵是劣弧的中点∴，∴，
∵是的直径，∴，则，
∵，，∴∴，
又∵，∴，∵，∴，
∵是的直径，∴，又∵，∴，
∴，∴，∴，即，又∴．
17．（四川巴中·一模）如图，是半圆O的直径，D为半圆O上的点（不与A，B重合），连接，点C为的中点，过点C作，交的延长线于点F，连接，交于点E．
(1)求证：是半圆O的切线．(2)求证：．(3)若，，求阴影部分的面积．
【答案】(1)见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）证明：连接，∵点C为弧的中点，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，
又∵，∴，∴是半圆O的切线；

（2）证明：连接，∵是半圆O的直径，∴，∴，
∵，∴，∴，∴；
（3）解：∵在中，，，
∴，，
∴，∴，∴，，
∵，，∴是等边三角形，
∴，∴，∴，∴，
∵由（2）可知，，∴，∴圆O的半径为，
．
18．（浙江舟山·三模）如图1，在中，直径于点F，点E为上一点，点C为弧的中点，连接，交于点G．

(1)求证：；(2)如图2，过点C作的切线交BA的延长线于点Q，若，，求的长度；(3)在（2）的基础上，点P为上任一点，连接，的比值是否发生改变？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)的比值不会发生改变，
【详解】（1）∵直径于点F，∴．
∵点C为弧的中点，∴．∴．∴．
（2）如图2，连接交于点，设的半径为，则，

由（1）知∵直径于点F，∴．
在中，∵，∴．解得：，
∵点C为弧的中点，∴，．∴．
∵是的切线，∴．∴．
∴，即．∴．
（3）的比值不会发生改变，，理由如下：
由（2）知，，，，
①当点与点重合时，；
②当点与点重合时，；
③当点与点、不重合时，如图3，连接，
∵，，∴．
又∵，∴．
∴．∴的比值不会发生改变．
19．（广东惠州·一模）如图，为的直径，点C平分弧，点D为弧上一点，与相交于点F，过C作射线与射线相交于点E，且．
(1)求证：与相切；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：连接，
为的直径，，，
，，而，
，，与相切于点；
（2）解：，，，
，，，
，，，，
，，．故的长为．
20．（河北邯郸·模拟预测）已知为的直径，，C为上一点，连接，．
(1)如图1，若C为弧的中点，求的长；(2)如图2，若，为的半径，且，垂足为E，过点D作的切线，与的延长线相交于点F，求的长．
【答案】(1)(2)
【详解】（1）解：∵为的直径，∴，
∵C为的中点，∴，∴，
在中，根据勾股定理，有，
又，得，∴；
（2）解：∵是的切线，∴，即，
∵，垂足为E，∴，
同（1）可得，有，∴，
∴四边形为矩形，∴，于是，
在中，由，得，∴．