数学九年级下册4 圆周角和圆心角的关系学案设计

这是一份数学九年级下册4 圆周角和圆心角的关系学案设计，共9页。学案主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

学习目标
1.理解圆周角定义，掌握圆周角定理.
2.会熟练运用定理解决问题.
学习策略
1.培养学生观察、分析及理解问题的能力.
2.在学生自主探索定理的过程中，经历猜想、推理、验证等环节，获得正确学习方式.
3.在经历探索圆周角和圆心角关系的过程中，感受探索的艰辛与喜悦，体验数学活动充满着探索与创造，激发学生的学习欲望.
学习过程
一.复习回顾：
1．圆心角的定义?
2．圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?
3．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条 、两条 中
有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

二.新课学习：
1.自读教材78-80页内容思考如下问题：
（1）我们已经知道，顶点在圆心的角叫圆心角，那当角顶点发生变化时,我们得到几种情况?
（2）图（3）中的∠BAC，顶点在什么位置？
（3）角的两边有什么特点？
圆周角的定义：顶点在圆上,并且两边分别与圆还有另一个交点的角叫圆周角.
2. 当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC,∠ADC,∠AEC．

（1）在下图中，所对的圆周角有几个？
（2）所对的圆心角和所对的圆周角之间有什么关系？
（3）你是通过什么方法得到的？
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
2. 如图,∠AOB=80°.

（1）请你画出几个所对的圆周角吗？
（2）圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？
（3）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?
（4）这几个圆周角的大小有什么关系？
（5）改变∠AOB的度数，上面的结论还成立吗？
（6）你能选择其中之一进行证明吗？
（7）大家通过合作探究还能解决其他两种情况吗？
解：∠ABC＝∠AOC ． 理由是：
∵ ∠AOC是△ABO的外角 ，
∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．
∵OA＝OB，
∴∠ABO＝∠BAO．
∴∠AOC＝2∠ABO．
即∠ABC＝∠AOC．
（8）问题回顾：当球员在B，D，E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC，这三个角的大小有什么关系?
理由：连接AO、CO,
∴．
圆周角定理推论：同弧或等弧所对的圆周角相等．
三.尝试应用：
1. 如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=45°，∠ACB=75°，则∠BOC的度数为（ ）
2. 如图，A，B，C是⊙O上的三点，∠CAO＝25°，∠BCO＝35°，则∠AOB＝ 度．
3. 如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB与∠BAC的大小有什么关系，为什么？

四.自主总结：
1.圆周角定义：顶点在 ，并且两边分别与圆还有 的角叫做圆周角．
2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的 ．
3.圆周角定理推论：同弧或 所对的圆周角 .
五.达标测试
一、选择题
1.如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为（ ）
A．20°B．40°C．60°D．80°
2. 如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD，如果∠BOC=70°，那么∠A的度数为（ ）
A．70°B．35°C．30°D．20°
3. 如图，AB是⊙O的直径，∠D=35°，则∠BOC的度数为（ ）
A．120°B．70°C．100°D．110°
二、填空题
4. 如图，△ABC内接于⊙O，若∠OAB=28°，则∠C的大小为 ．
5. 如图，AD为⊙O的直径，∠ABC=75°，且AC=BC，则∠BED= ．
6. 如图，已知AB是⊙O的直径，BC为弦，过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D，连接DC，若∠DCB=32°，则∠BAC= ．
三、解答题
7．如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A=45°，BD是直径，且BD=2，连接CD，求BC的长．
8. 如图所示，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于E，∠C=60°．
求证：△ABD为等边三角形．
9．如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
10．如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，=．求四边形ABCD各内角的度数．
达标测试答案
一、选择题
1．【解析】由⊙O是△ABC的外接圆，若∠ABC=40°，根据圆周角定理，即可求得答案．
【解答】解：∵⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．故选：D．
【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
2．【解析】由于直径AB⊥CD，由垂径定理知B是的中点，进而可根据等弧所对的圆心角和圆周角的数量关系求得∠A的度数．
【解答】解：∵直径AB⊥CD，∴B是的中点；∴∠A=∠BOC=35°；故选B．
【点评】此题主要考查的是垂径定理和圆周角定理的综合应用，理解等弧所对的圆周角是圆心角的一半是解决问题的关键．
3. 【解析】根据同弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍，由角D为圆的圆周角，求出角AOC的度数，再根据平角的定义，即可求出角BOC的度数．
【解答】解：∵=，又∠D=35°，
∴∠AOC=2∠D=70°，
∴∠BOC=180°﹣70°=110°．
故选D
【点评】此题要求学生善于观察图形找出一条弧所对的圆心角和圆周角的联系，考查了学生的发散思维能力，是一道基础题．
二、填空题
4．【解析】连接OB．根据等腰△OAB的两个底角∠OAB=∠OBA、三角形的内角和定理求得∠AOB=124°；然后由圆周角定理求得∠C=62°．
【解答】解：连接OB．在△OAB中，OA=OB（⊙O的半径），
∴∠OAB=∠OBA（等边对等角）；
又∵∠OAB=28°，∴∠OBA=28°；
∴∠AOB=180°﹣2×28°=124°；
而∠C=∠AOB（同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半），
∴∠C=62°；
故答案是：62°．
【点评】本题主要考查了三角形的内角和定理、圆周角定理．解答此类题目时，经常利用圆的半径都相等的性质，将圆心角置于等腰三角形中解答．
5．【解析】由AD为⊙O的直径，∠ABC=75°，且AC=BC，可求得∠ABD=90°，∠D=∠C=30°，继而可得∠CBD=15°，由三角形内角和定理，即可求得答案．
【解答】解：∵AD为⊙O的直径，
∴∠ABD=90°，
∵AC=BC，∠ABC=75°，
∴∠BAC=∠ABC=75°，
∴∠C=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=30°，∠CBD=∠ABD﹣∠ABC=15°，
∴∠D=∠C=30°，
∴∠BED=180°﹣∠CBD﹣∠D=135°．
故答案为：135°．
【点评】此题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6．【解析】由圆周角定理可知，∠BOD=2∠BCD=64°，由AB为直径可知，AC⊥BC，又OD⊥BC，可知AC∥OD，利用平行线的性质可求∠BAC．
【解答】解：∵∠BOD与∠BCD为所对的圆心角和圆周角，
∴∠BOD=2∠BCD=64°，
∵AB为直径，∴AC⊥BC，
又∵OD⊥BC，∴AC∥OD，
∴∠BAC=∠BOD=64°，
故答案为：64°．
【点评】本题考查了圆周角定理，平行线的判定与性质．关键是利用圆周角定理求圆心角，利用平行线的判定与性质求解．
三、解答题
7．【解析】先根据圆周角定理可求出∠D=45°，∠BCD=90°，再根据三角形内角和定理可知△BCD是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义即可求出BC的长．
【解答】解：在⊙O中，∵∠A=45°，∠D=45°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BC=BD•sin45°，
∵BD=2，
∴．
【点评】本题主要考查的是圆周角定理、等腰直角三角形的判定及锐角三角函数的定义，关键是求出△BCD是等腰直角三角形．
8．【解析】根据垂径定理求出AE=DE，根据线段垂直平分线性质得出BA=BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据等边三角形判定推出即可．
【解答】证明：∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC，
∴AE=DE，
∴BD=BA，
∵∠D=∠C=60°，
∴△ABD为等边三角形．
【点评】本题考查了垂径定理，线段垂直平分线性质，圆周角定理，等边三角形判定的应用，主要考查学生的推理能力．
9．【解析】连接AE，判断出AB=AC，根据∠B=∠C=70°求出∠BAC=40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠DOE的度数．
【解答】解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=40°，
∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，把圆周角转化为圆心角是解题的关键．
10. 【解析】连结BC，如图，根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用互余可计算出∠B=70°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠D=180°﹣∠B=110°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧AD=弧CD得到∠DAC=∠DCA=35°，然后计算∠DAB=∠DAC+∠BAC=55°，∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．
【解答】解：连结BC，如图，
∵AB是半圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠BAC=20°，
∴∠B=70°，
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠D=180°﹣∠B=110°，
∵弧AD=弧CD，
∴∠DAC=∠DCA=（180°﹣110°）=35°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=55°，∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°，
即四边形ABCD各内角的度数发你为55°，70°，125°，110°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了圆内接四边形的性质．