3.4.2 圆周角和圆心角的关系（第2课时）（课件+教学设计）-北师大版数学九年级下册

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3.4.2 圆周角和圆心角的关系（第2课时）第三章 圆1.掌握圆周角定理推论。2.理解圆内接四边形定义及性质。学习目标圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.圆周角定理推论：圆周角定理:同弧或等弧所对的圆周角相等.复习回顾 小明想用直尺检查某些工件是否恰好为半圆，下图所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形吗？创设情境，引入新知直径所对应的圆周角如图，点A、B、C在⊙O 上，BC是⊙O的直径，观察它所对的圆周角有什么特点？ 你是怎么发现的？解：直径BC所对的圆周角∠BAC=90°结论1：直径所对的圆周角是直角自主合作，探究新知观察图，圆周角∠BAC=90°，弦BC是直径吗？为什么？解：弦BC是直径，连接OC、OB∵∠BAC=90°∴∠BOC=2∠BAC=180°（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）∴B、O、C三点在同一直线上∴BC是⊙O的一条直径结论2：90°的圆周角所对的弦是直径思考：这两个结论用什么定理证明？圆周角定理自主合作，探究新知归纳总结圆周角定理推论直径所对的圆周角是直角；几何语言：∵BC为直径∴∠BAC=90°90°的圆周角所对的弦是直径几何语言：∵∠BAC=90° ∴BC为直径归纳总结练一练：如图， ⊙O的直径AB = 10cm，C为⊙O上的一点，∠B = 30°，求AC的长.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.在Rt△ACB中，sin ∠ABC＝ ，∴AC＝AB sin ∠ABC＝10×sin 30° ＝10× ＝5(cm)．∴AC的长为5 cm.解：巩固练习解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.归纳总结归纳总结圆内接四边形及其性质（1）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，AC为⊙O的直径， 请问∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？解：∠BAD与∠BCD互补. ∵AC为直径， ∴∠ABC=90°，∠ADC=90°. ∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°， ∴∠BAD+∠BCD=180°. ∴∠BAD与∠BCD互补.自主合作，探究新知探究新知（2）若C点的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系 还成立吗？为什么？12∵ ∠2=2∠BAD，∠1=2∠BCD， （圆周角的度数等于它所对弧上圆心角的一半），∵∠1+∠2=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立. 如图8，连接OB，OD.自主合作，探究新知（3）观察图9，两个四边形ABCD有什么共同的特点？ 四边形ABCD的的四个顶点都在⊙O上，这样的四边形叫做圆内接四边形.这个圆叫做四边形的外接圆..自主合作，探究新知（4）观察，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？圆内接四边形的对角互补.几何语言：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）.自主合作，探究新知圆内接四边形外角的性质 思考：如图， ∠DCE是圆内接四边形ABCD的一个 外角， ∠A与∠DCE的大小有什么关系？推论：圆内接四边形的一个外角等于它的内对角．自主合作，探究新知证明：∠A=∠DCE. ∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°（圆内角四边形的对角互补）. ∵∠BCD+∠DCE=180°， ∴∠A=∠DCE.自主合作，探究新知1.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD＝30°，则∠BAD为(　　)A．30° B．50° C．60° D．70°C随堂练习2.如图，已知经过原点的⊙P与x轴，y轴分别交于点A，B，C是劣弧OB上一点，则∠ACB等于(　　)A．80°B．90°C．100°D．无法确定B随堂练习3．下列说法正确的是(　　)A．在圆内部的多边形叫做圆内接多边形B．过四边形的四个顶点的圆叫做这个四边形的外接圆C．任意一个四边形都有外接圆D．一个圆只有唯一一个内接四边形B随堂练习4．如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为(　　)A．20° B．25° C．30° D．35°C随堂练习5.在圆内接四边形ABCD中，∠A与∠C的度数之比为4∶5，求∠C 的度数.随堂练习∵AB为直径 ，∴∠BCA=90°（直径所对的圆周角为直角）.∴∠BCD+∠DCA=90°.∵ ∠ACD=15°，∴∠BCD=90°-15°=75°.∴∠BAD=∠BCD=75°（同弧所对的圆周角相等）.6.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.解法一：连接BC.随堂练习6.如图，AB是⊙O的直径，∠C=15°，求∠BAD的度数.∵∠ACD=15°， ∴∠AOD=2∠ACD =30°（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半）.∵OA=OD，∴∠OAD=∠ODA.又∵∠AOD+∠OAD+∠ODA=180°，∴∠BAD=75°.解法二：连接OD.随堂练习7.如图，圆内接四边形ABCD两组对边的延长线分别相交于点E，F，若∠E=40°，∠F=60°，求∠A的度数.解：∵四边形ABCD是圆内接四边形， ∴∠ADC+∠CBA=180°（圆内接四边形的对角互补）. ∵∠EDC+∠ADC=180°， ∠EBF+∠ABE=180°， ∴∠EDC+∠EBF=180°. ∵∠EDC=∠F+∠A，∠EBF=∠E+∠A， ∴∠F+∠A+∠E+∠A=180°. ∴∠A=40°.随堂练习圆周角定理推论2推论3圆内接四边形的对角互补.直径所所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径课堂小结1.作业：教材习题中第1、2题.2.完成练习册中本课时的练习.作业布置