北师大版（2024）九年级下册圆周角和圆心角的关系随堂练习题

这是一份北师大版（2024）九年级下册圆周角和圆心角的关系随堂练习题试卷主要包含了米勒最大张角模型6，87米的地方最理想等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc26400" 模型1.米勒最大张角（视角）模型6
\l "_Tc11287" 模型2.定角定高模型（探照灯模型） PAGEREF _Tc11287 \h 32
\l "_Tc18836" 17
1471年，德国数学家‌约阿希姆·米勒‌（又称雷吉奥蒙塔努斯 Regimntanus）向他的老师—数学教授克里斯托夫·诺德尔（Christian Rder）提出一个看似简单却极富深意的问题：“在地球表面的什么位置观察一根垂直悬挂的杆子，才能使它看起来最长？” 换句话说，‌从哪个位置看这根杆子，视角最大？‌
这个问题看似属于视觉感知，实则蕴含深刻的几何极值思想。它被后人称为“‌雷奇奥莫塔努斯极大值问题‌”（Regimntanus' Maximum Prblem），并被载入《100个著名初等数学问题—历史和解》一书中，成为‌世界数学史上第一个被正式记录的极值问题‌。
有趣的是，米勒当时提出这个问题，并非为了考试或竞赛，而是源于对‌美术欣赏角度‌的思考：如何站在最佳位置欣赏一幅高挂在墙上的画作，使视觉效果最优？这一灵感后来也广泛应用于壁画观赏、雕塑欣赏等场景。
“探照灯模型”这个生动的名字，并非出自教科书或学术论文，而是‌由一线教师和学生在解题实践中口口相传而来‌。探照灯模型的精妙之处，在于它巧妙融合了‌隐形圆思想与最值原理‌。虽然题干中从不提“圆”，但解法核心却是构造一个过动点的外接圆，利用圆的性质分析弦长变化。
（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由．

【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接，
，______，，，______射门好；
【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______．
A．点 B．点或点 C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点
（3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度．

【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米
【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下：
如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，，

，，甲自己射门好；
（2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接，
由勾股定理得：，
∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴，
∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C
（3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N，
∵，∴米，
∵米，，∴米，米，
∵四边形为矩形，∴，∴，
∴四边形，四边形，四边形为矩形，
∴米，米，，
∵，∴，∴为等腰直角三角形，
∴米，∴米，米，
∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形，
连接，设圆O的半径为r，则，∴，
∵，，∴，
解得：或（舍去），∴米，
∴米．
（2025·广东广州·一模）如图，在中，，，为锐角，且，点是边上的动点，连接，作，与边交于点，则外接圆半径的最小值为 ．
【答案】
【详解】解：如图，作的外接圆，连接，作，垂足分别为点，，，，
，，，，，
，，，，，，
在中，，
设的半径为，则，，，
，，，外接圆半径的最小值为．故答案为：．
1）米勒最大张角（视角）模型
米勒定理：已知点AB是∠MON的边ON上的两个定点，点C是边OM上的一动点，则当且仅当三角形ABC的外圆与边OM相切于点C时，∠ACB最大。

证明：如图1，设C’是边OM上不同于点C的任意一点，连结A，B，因为∠AC’B是圆外角，∠ACB是圆周角，易证∠AC’B小于∠ACB，故∠ACB最大。
在三角形AC’D中，
因为∠ACB＞∠ADB，所以∠ACB＞∠AC’D，
2）定角定高模型（探照灯模型）

条件：在△ABC中，∠BAC=（定角），AD是BC边上的高，且AD=h（定高）。
结论：当△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，BC的长最小；△ABC的面积最小；△ABC的周长最小。
证明：如图，作△ABC的外接圆，连接OA，OB，OC，
过点O作OH⊥BC于点E，设的半径为r，则∠BOH=∠BAC=；
∴BC= 2BH=2OBsin=2rsin，OH=OBcs=rcs。
∵OA+OH≥AD（当且仅当点A，O，H三点共线时,等号成立），
∴r+rcs≥h，即，当取等号时r有最小值；
∴，当取等号时BC有最小值；
∴，当取等号时△ABC有最小值；
∴，当取等号时△ABC有最小值。
模型1.米勒最大张角（视角）模型
例1（2026九年级上·山东威海·期末）足球射门，不考虑其他因素，仅考虑射点到球门的张角大小时，张角越大，射门越好．如图的正方形网格中，点A，B，C，M，N均在格点上，球员带球沿方向进攻，最好的射点在（ ）
A．点AB．点B或点C
C．线段（异于端点）上一点D．线段（异于端点）上一点
【答案】D
【详解】解：如图，连接，
根据勾股定理，可得，,，
，即，，
，四点共圆，，
则可得点和线段（异于端点）上一点都在圆外，
点和线段（异于端点）上一点到的张角都小于，
线段（异于端点）上一点到的张角都大于，
最好的射点在线段（异于端点）上一点，故选：D．
例2（2025·河南·模拟预测）数学家研究发现：当弦一定时，圆越小，该弦所对的优弧上的圆周角就越大，劣弧上的圆周角就越小．已知点、的坐标分别是，点为轴正半轴上一动点，当最大时，点的坐标是（ ）
A．(4，0)B．C．D．(2，0)
【答案】B
【详解】解：根据题意，当的外接圆与x相切于点C时，最大，
设外接圆的圆心为D，连接，，过点D作于点E，
∵点、的坐标分别是，∴点D一定在线段的垂直平分线上， 点，
故，根据切线性质，∴，∴四边形，∴，
∵，∴，∴，∴，故选：B.
例3（2026九年级上·江苏连云港·月考）1471年，德国数学家米勒提出最大视角问题，这一问题一般描述的是：如图，已知点、是的边上的两个定点，点是边上的一个动点，当在何处时，最大？
问题的答案是：当且仅当的外接圆与边相切于点时，最大．人们称这一命题为米勒定理．在足球比赛中，球员在双方球门前的不同位置起脚射门，对球门的威胁是不同的，触球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高．如图为室内人制足球场示意图，设球场长大约为，宽大约为米，球门长大约为，在某场比赛中有一位球员欲在边线上的某点处射门，为使得张角最大，则大约为（ ）
A．8B．9C．10D．11
【答案】C
【详解】根据米勒定理可知，当的外切圆相切时，最大，如图，设的外接圆的圆心为，过点作，垂足分别为，连接，当与点重合时，最大
∴四边形是矩形，则，即张角最大时，则
∵宽大约为米，球门长大约为，
根据对称性可得，∴，
在中，；∴即大约为故选：C．
例4（2026九年级上·福建福州·月考）【问题提出】当你进入博物馆的展览厅时，你知道站在何处观赏最理想？
【数学眼光】如图①，设墙壁上的展品最高处点距离地面米，最低处点距离地面米，观赏者的眼睛点距离地面米，当过，，三点的圆与过点的水平线相切于点时，视角最大，站在此处观赏最理想．
【数学思维】小明同学想这是为什么呢？如图②，他在过点的水平线上任取异于点的点，连接交于点，连接，．（1）按照小明的思路，求证：；
【问题解决】（2）如图③，若墙壁上的展品最高处的点距地面3米，最低处的点距地面1.8米，最大视角为，求此时观赏者站在距墙壁多远的地方最理想，并求出观赏者的眼睛点与地面的距离？
（3）如图③，设墙壁上的展品最高处的点距地面米，最低处的点距地面米，观赏者的眼睛点距地面米，直接写出最佳观赏距离的长．（用含，，的代数式表示）
【答案】（1）见解析；（2）观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米；（3）
【详解】解：（1），，，；
（2）连接，，，，作于点，
由题知，米，，，
，为等边三角形，米，
，米，米，
，四边形为矩形，
米，米，距地面的距离为（米)，
即观赏者站在距离墙壁米处最理想，观赏者的眼睛点C距地面的距离为1.2米；
（3）展品最高处的点A距地面a米，最低处的点B距地面b米，观赏者的眼睛点C距地面m米，
米，，，米，
米，由（2）同理可知，四边形为矩形，
米，
．
例5（2025·陕西西安·模拟预测）【提出问题】如图1，直线是足球场底线，是球门，点是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到点时，乙跟随冲到点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由．
【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为，连接，
，______，，，______射门好；
【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点，，，，均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，最好的射点在______．
A．点 B．点或点 C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点
（3）如图4，为矩形足球场的示意图，其中宽米、球门米，且．点、分别为、上的点，米，，一位左前锋球员从点处带球，沿方向跑动，球员在上的何处才能使射门角度（）最大？求出此时的长度．

【答案】（1）甲自己射门好，理由见解析；（2）C；（3）米
【详解】解：（1）甲自己射门好，理由如下：
如图，记与过两点的圆的交点为，连接，，，
，，甲自己射门好；
（2）如图，连接，作的垂直平分线交于点O，连接，
由勾股定理得：，
∴，∴A，B，D，E四点共圆，∴，
∴当射点在线段（异于端点）上一点时，射门角最大，故选：C
（3）如图，以为弦作圆O，使圆O与相切于点M，则球员在点M处射门角度()最大，连接，过点O作于点G，延长交于点H，过点H作于点K，过点P作于点N，
∵，∴米，
∵米，，∴米，米，
∵四边形为矩形，∴，∴，
∴四边形，四边形，四边形为矩形，
∴米，米，，
∵，∴，∴为等腰直角三角形，
∴米，∴米，米，
∵为圆O的切线，∴，∴为等腰直角三角形，
连接，设圆O的半径为r，则，∴，
∵，，∴，
解得：或（舍去），∴米，
∴米．
模型2.定角定高模型（探照灯模型）
例1（2025九年级下·广东·专题练习）如图，点A是直线l外一点，点A到直线l的距离为2，点是直线l上的两个动点，且，求线段长度的最小值．
【答案】
【详解】解：作的外接圆，连接，作于，
则∴是等边三角形，∴，
∵，∴∴，∴ ，
即线段长度的最小值为
例2（2025·陕西·校考二模）如图，在中，，边上的高为4，则周长的最小值为 ．

【答案】
【详解】法1：设三角形△ABC的高为AD=h=4，其外接圆半径为r，
根据定角定高（探照灯）模型知：r+rcs≥h，即，
当取等号时r有最小值（即AB=AC时）；r的最小值为：，BC的最小值为：，
此时△ABC是等腰三角形（AB=AC）时，△ABC的周长有最小值：.
法2：如图所示，作的垂直平分线，交于点N，交于点M，连接，

∵垂直平分，∴，
∴周长
∵在中，，∴，当点D与点M重合时，，
∴周长，∴周长的最小值，
∵，∴为等边三角形，∵为边上的高，，
∴，∴周长的最小值，故答案为：．
例3（2025·山东淄博·校考二模）如图，在中，，于点，且，则面积的最小值为______．

【答案】
【详解】作的外接圆，连接，，，过点作于点，

，，，，
设的半径为，则，，，
，，解得：，，
，的面积的最小值为，故答案为：.
例4（2025·陕西西安·模拟预测） 【问题提出】（1） 如图①， 在中， 点为的中点， 则： （填“， ， ”）
【问题探究】（2）如图②，在正方形中， ， 点E为的中点，点F、G分别为、边上的动点，，求 面积的最小值；
【问题解决】（3） 如图③，矩形是某农业观光园的部分平面示意图，千米， 千米， 边上的点E为休息区， 且千米， 三条观光小路、、（小路宽度不计， F在边上， G在边上）拟将这个园区分成四个区域，用来种植不同的蔬菜，根据实际需要， 并且要求△EFG的面积尽可能小，那么是否存在满足条件的？若存在，请求出的面积的最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，的面积的最小值为
【详解】解：（1）如图1，作于，点是的中点，，
，，，故答案为：．
（2）如图2，延长， 交的延长线于点，作的外接圆，连接，，，作于，设，四边形是正方形，，
是的中点，且，，，，
，，，，
，，，，
，，，，，
当点共线时，，，
，面积的最小值为．
（3）如图3，存在的面积的最小值，理由如下：
延长， 交的延长线于点，作的外接圆，作于，作，交的延长线于，设的半径为，四边形是矩形，，，
千米，千米，（千米），，，
，，
由（2）得：，，
，四边形是矩形，，
，，，（千米），
（平方千米），（平方千米）．
例5（2025·陕西西安·二模）【问题提出】（1）如图①，已知点A是直线l外一点，点B，C均在直线l上，于点D且．求的最小值；
【问题探究】（2）如图②，在四边形中，，点E，F分别为上的点，且，求四边形面积的最大值；
【问题解决】（3）如图③，某园林对一块矩形花圃进行区域划分，点K为的中点，点M，N分别为上的点，且将花圃分为三个区域．已知，现计划在和中种植甲花，在其余区域种植乙花，试求种植乙花面积的最大值．
【答案】（1）；（2）；（2）
【详解】解：（1）如图①中，作的外接圆，连接，过点O作于点E，则，，，
∵∴，
设，则，
∵，，∴，解得：，
∴，∴最小值为；
（2）分别延长交于点M，如图所示：则均为等腰直角三角形，
∵，，，∴，，，
∴；
∵，
∴将绕点C顺时针旋转得到，则A、D、三点共线，
∴，
∵为定值，∴当取得最小值时，取得最大值，
∵，∴以为斜边作等腰，则的外接圆是以点O为圆心，长为半径的圆，过点O作于点J．设的外接圆半径为，则，
又∵，∴，∴，
当点O在上时，最短，此时，∴，
∴．
（3）如图③中，将绕点K顺时针旋转得到，此时N，C，共线，作的外接圆，连接，，，过点O作于点H．
∵，∴，同理可得：，
设，则，，
∵，∴，∴，∴，
∴的面积的最小值为，∴的面积的面积的最小值为，
∴五边形的面积的最大值，
∴种植乙花面积的最大值为．
1．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在足球比赛中，运动员甲从本方后场D处沿着垂直于对方球门线的方向带球前进，，垂足为C，若米，米，若仅从射门角度大小考虑（射门角度越大越容易进球），则甲位于最佳射门位置时离点C的距离为（ ）
A．4米B．米C．米D．5米
【答案】B
【详解】解：以为弦作圆，当圆与相切于时，最大，甲最佳射门位置是点，
连接，过作于，连接，，（米，
，四边形是矩形，，，
米，米，（米，米，
（米，米，
甲位于最佳射门位置时离点的距离是米．故选：B．
2.（2025·广东深圳·模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门的张角越大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1所示，一学生带球在直线上行进时，当存在一点Q，使得（此时也有）时，恰好能使球门的张角达到最大值，故可以称点Q为直线上的最佳射门点．如图2所示，是一个矩形形状的足球场，为球门一部分，于点，米，米．某球员沿向球门进攻，设最佳射门点为点Q． ___．
【答案】/
【详解】解：由题意，，∵，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，如图，过点B作于点H．
∵，∴，∵．，∴，
∵，∴，∵，
∴，∴；故答案为：．
3．（陕西西安·校考一模）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝4，AD∥BC，∠B＝60°，点E、F分别为边BC、CD上的两个动点，且∠EAF＝60°，则△AEF的面积的最小值是 ．
【答案】
【详解】如图，将△ADF绕点A顺时针旋转120°到△ABM，
由旋转得：BM＝DF，AM＝AF，∠ABM＝∠D＝120°，∠MAB＝∠FAD，
∵∠ABC＝60°，∴∠ABM+∠ABC＝180°，∴M、B、E共线，
∵∠MAE＝∠MAB+∠BAE＝∠FAD+∠BAE＝60°，∠EAF＝60°，AE＝AE，
∴△FAE≌△MAE（SAS），∴∠MEA＝∠FEA，
过A作AH⊥BC于H，作AK⊥EF于K，∴AH＝AK＝AB•sin60°＝2，
法1：根据：∠EAF＝60°，AK＝2，得到定角定高（探照灯）模型
设三角形△AEF的高为AK=h，其外接圆半径为r，∠EAF=
根据定角定高（探照灯）模型知道：当△AEF是等腰三角形（AE=AF）时。
∴r+rcs≥h，即，当取等号时r有最小值；
∴，当取等号时EF有最小值；
∴=4，当取等号时△ABC面积有最小值；
法2：作△AEF的外接圆⊙O，连接OA、OE、OF，过O作ON⊥EF于N，
∵∠EAF＝60°，∴∠EOF＝120°，∴∠NOF＝60°，设EF＝2x，则NF＝x，
Rt△ONF中，ON＝x，OF＝x，∴ON+OA＝OF+ON＝x，∵OA+ON≥AK，∴x≥2，∴x≥2，
∴S△AEF＝=2x≥4，∴△AEF面积的最小值是4．
4．（2025·山东·校考三模）在直角坐标系中，给定两点M（1，4），N（-1，2），在x轴的正半轴上，求一点P，使最大，则P点的坐标为 ．
【答案】（1，0）
【详解】解：∵点P在x轴正半轴上，作△MNP的外接圆E，则∠MPN为弦MN所对的圆周角，
∴当圆E的半径最小时，∠MPN最大，∴当圆E和x轴相切时，∠MPN最大，
设E（x，y），则P（x，0），又M（1，4），N（-1，2），根据EM=EN=PE，
则，由化简可得：x+y=3，
由化简可得：，
将y=3-x代入中，解得：x=1或x=-7（舍），∴P（1，0），故答案为：（1，0）．
5.（广东·九年级校考阶段练习）如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，AD⊥BC于点D，且AD＝4，则△ABC面积的最小值为 ．
【解析】作△ABC的外接圆⊙O，连接OA，OB，OC，过点O作OE⊥BC于点E，
∵∠BAC＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝30°，
设⊙O的半径为r，则OE＝OB＝r，BE＝OB＝r，∴BC＝r，
∵OA+OE≥AD，∴r+r≥4，解得：r≥，∴BC≥，∴，
∴△ABC的面积的最小值为，故答案为：．
6．（2025·山西晋城·模拟预测）最佳视点
如图1，设墙壁上的展品最高处点P距底面a米，最低处的点Q距底面b米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF上求使视角最大的点．
如图2，当过三点的圆与过点E的水平线相切于点E时，视角最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，…

任务一：请按照小明的思路，说明在点E时视角最大；
任务二：若，观察者的眼睛距地面的距离为米，最大视角为，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到米，参考数据)．
【答案】任务一：见解析；任务二：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想
【详解】任务一：过点E的水平线上任取异于点E的点，连接交于点F，连接，
∵是的外角，∴，
又∵与都是弧所对的圆周角， ∴，
∴，∴在点E时视角最大．
任务二：∵，∴，
又∵，∴是等边三角形，．
如图2，连接，∵是的切线，∴，

∵，∴，∴，
又∵，∴四边形是平行四边形，∴，
∴．由题意得，(米)，
在中，(米)．
答：观察者应该站在距离米的地方最理想．
7．（2025·江苏常州·模拟预测）圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角度数的一半，根据圆周角定理进行探究．
(1)如图1，是的弦，点是上一点，连接，，过点作于点，连接，，求的大小；(2)在平面直角坐标系中，已知点，．（ⅰ）如图2，点为直线上的一个动点，且，求出点的坐标；（ⅱ）如图3，点为直线上的一个动点，连接，．当最大时，求出此时的面积．
【答案】(1)(2)（ⅰ）P点坐标为或；（ⅱ）．
【详解】（1）解：连接，∵，，∴，
∵，∴，
（2）解：（ⅰ）当点P在x轴上方时，作的中垂线与x轴交于点C（如图），
设P，A，B三点所在圆的圆心为Q，则点Q在直线上，设，
则，∴，
当时：，即，，∴，，
∵，∴，解得或者（舍去），此时，
当点P在x轴下方时，由轴对称可知：；
综上所述，当时，P点坐标为或；
（ⅱ）作线段的中垂线分别与x轴、直线交于点E、F（如图1），
设M、A、B三点所在圆的圆心为Q，半径为R，则点Q在直线上，，则有，
如图2，当与直线相切时，最大，
∴，此时为等腰直角三角形，，
，在中：，
解得：或（舍去），∴，∴，
即为等腰直角三角形，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴．
8．（2025·江苏镇江·二模）数学的思考
如图①，在平面直角坐标系中，已知点，，试在x轴正半轴上确定点P的位置，使得最大，并求出此时点P的坐标．
数学的眼光(1)如图①，请说明
数学的表达(2)如图②，根据“垂径定理”，可知圆心C在线段的垂直平分线l上，借助直线l的表达式及，可以求出圆心C的坐标，从而得到点P的坐标，请写出具体的过程；
(3)如图③，延长线段交x轴于点D，连接、，当与相切时，通过求的长可得到点P的坐标，请直接写出P的坐标；
(4)如图④，已知线段，用尺规在射线上作出点P，使得最大（保留作图痕迹）
【答案】(1)见解析(2)(3)(4)见解析
【详解】（1）解：如图，连接，∴∵是的外角，∴，
∴，∴．
（2）直线l的表达式为，∵点C在直线l上，设点，
∴，，
∵，∴ ∴，
解得，（不合题意，舍去），∴P点坐标为．
（3）连接并延长，交于点E，连接，如图，
∵是直径，∴，∴，
∵与x轴相切于点P，∴轴，∴，∴，
又∵，∴，∵，∴，∴，
∵，，即可得到直线的解析式为，∴，
∴，，∴，即，
∴，∴P点的坐标为．
（4）令，，根据第（3）问得，构造直径长为的半圆，得到c，即在图中截取即可，如图所示，此时即为所求．
9．（2025·湖北武汉·二模）抛物线交轴于点，B4,0，与轴交于点．
(1)直接写出，的值和点的坐标；(2)如图（1），点是第四象限抛物线上一点，连接，，若，求点的坐标；(3)如图（2），将（2）中的抛物线平移到顶点在原点的位置，点，是平移后抛物线上两点，且，作于点，求当最大时，点的坐标．
【答案】(1)，，(2)(3)点的坐标为
【详解】（1）∵抛物线交轴于点，B4,0，与轴交于点，
∴，解得：，∴抛物线的解析式为：；
∵二次函数的对称轴：，∴，∴，∴点．
（2）作轴于点，∵点B4,0，点∴，
∵，，∴，∴，
∴，设，则，∴点，
∵点在二次函数，∴，解得：（舍），，∴．

（3）∵抛物线平移到顶点在原点的位置，∴现抛物线解析式为：，
设点，，直线的解析式为：，
过点作轴交于点，过点作轴交于点，∴，
∵，∴，，∴，∴，
∴，∴，∴，∵，，∴，∴，
∵，在直线上，∴，整理得：，
∴，∴，∴，解得：，
∴直线的解析式为：，∴直线过点，
∵，∴为直角三角形，斜边，∴点在以为圆心，为半径的圆上，
当时，最大，∴，，，
过点作轴交于点，设点，∴，，∴，
∵，∴，∴，∴，
∴，，∴此时点的坐标为．
10．（2025·河南驻马店·三模）足球运动员带球跑动时有多种路线，比如横向、竖向、斜向等，而竖向跑动（用直线表示）一般又分为以下两种情况：（A、B为门框端点）
，垂足D在线段上 ，垂足M在线段外

(1)当运动员带球沿图1的竖向跑动时，请证明在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性（即求证：）；(2)如图2，当过点A、B的与相切时，切点即为最佳射门点，若，，求最佳射门点到M的距离．
【答案】(1)证明见解析(2)
【详解】（1）解：证明：由三角形外角性质可得：，，
∴，即，
∴．在点P射门进球的可能性大于在点Q射门进球的可能性；
（2）如图，由垂径定理可得，圆心O在线段的中垂线上，且到的距离等于半径，得到圆心O的位置如图，所在直线为线段的中垂线，点Q为切点，

∴，∴，
∵，，，∴，
∴四边形是矩形，∴，，∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，最佳射门点到M的距离是．
11．（2025·陕西咸阳·模拟预测）问题提出（1）如图①，在矩形中，，．在边上是否存在一点M，使得的值最大？若存在，请找出点M，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．
问题解决（2）如图②，一支队伍沿着射线方向行进，一名观察员从点O出发，沿着射线行进，从而观察整支队伍的行进情况．已知与的夹角为，观察员行进后到达点P，观察队伍的行进情况，设其有效观测角为．若射线上存在唯一观测点P，满足，请结合题目条件求出队伍AB的长度．
【答案】（1）存在，（2）米
【详解】解：（1）存在，理由如下：如图，作的外接圆，根据题意，当与相切时，满足题意．连接并延长与交于点，连接，由与相切，可知，故在矩形中，，
，，，，
又，即，设的半径为，
在中，，即，解得，
；
（2）如图，作的外接圆，根据题意可知当与相切于点时，满足题意，连接并延长与交于点，连接，过点作，垂足为，
，，，，，，
又，，由与相切可知，即，
在中，，故，
设的半径为，在中，，
在中，， 而，解得，
，即队伍的长度为米．
12．（2025·陕西西安·模拟预测）伽利略曾说：“圆是最完美的图形”．某数学兴趣小组的同学们在学完《圆》这章后，数学综合实践课上，老师鼓励学生不仅要学会解题，更要学会用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界．兴趣小组提出了下面问题．尝试解决下面问题，请你协助完成．问题提出：（1）如图①，在中，，其外接圆半径等于3，则________．

问题探究：（2）如图①，，其外接圆半径等于3，求面积的最大值．
问题解决：（3）如图②，学校决定在校园内建造一个花坛，为了确保观赏性，在点和边的中点之间铺设一条笔直的小径，长是20米．根据设计要求，从点看去，视角为角，即．现希望花坛面积尽可能大，以种植更多的花卉，同时保持小径长度和视角大小不变．在这些条件下，花坛面积的最大值为多少平方米？
【答案】（1）；（2）最大值；（3）花坛面积的最大值为平方米．
【详解】解：（1）如图所示，根据题意作的外接圆，
∵，其外接圆半径等于，所对的圆周角是，所对的圆心角是，∴，
∵，∴是等边三角形，∴；
（2）∵如图所示，过点作于点，延长交于点，连接，∴，
∵线段是定值，∴当点在点处，即点在垂直于的直径上时，高的值最大，此时的面积等于的面积，且面积最大，
∵是等边三角形，，，
∴， ∴，∴，
∴，∴的最大面积为；
（3）解：依题意，，，如图所示，作的外接圆O，连接，
则，点在优弧上， 由（1）可得点在垂直于的直径上时，高的值最大，则的面积最大，如图所示，
设，则，，
∵，∴，
∴平方米，
答：花坛面积的最大值为平方米．
13．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图1，已知在等边三角形中，边长为，为上一点，且，则______；
（2）如图2，是的外接圆，，，，求面积的最小值；
（3）如图3，有一块四边形草地，，．已知，，．在，上有，两点，且，区里决定在区域内安排夜市集，但为了保证其他居民的休闲娱乐，所以要使夜市集的面积尽可能地小，的面积是否存在最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）存在，
【详解】解：（1）是等边三角形，，，
，，等边的高为，
则，故答案为：；
（2）如图，连接，，，作于点．
设的半径为，由圆周角定理可知，，
，．
在中，，，．
，，即，
，，；
（3）的面积存在最小值．如图，作，交的延长线于点．
，，，
，．
，，，，．
作于点，于点，，，
，面积最小时，面积最小．
作，则，作的外接圆，，连接，，设的半径为．，，，
，即，，
当，，三点共线时，最小，最小为，，
，．
14．（2025·陕西西安·模拟预测）（1）如图，是的弦，点是上的一点，点是外一点，则______（填“”“”或“”），请说明理由．
（2）如图，五边形是一块小型湿地，，，，米，米，米为了进一步满足当地市民和游客的观景需求，计划在该湿地修建观景步道和相关设施，部分设计方案如下：①点为入口，点为出口，在湿地边缘的中点修建观景台，在湿地边缘上修建洗手间；②修建观景步道，即线段、、，为了尽可能保护生态，要使所修观景步道的长度最短；③在湿地边缘上选一点安装监控装置，用来监控步道，为了保证监控效果最佳，要使监控视角最大，
请问：是否存在满足要求的点和点？若存在，请求出此时的长及最大视角的正弦值即；若不存在，请说明理由步道的宽忽略不计
【答案】（1），见解析；（2）米，存在，
【详解】解：（1）如图，设与的交点是，连接，
，，
，，故答案为：；
（2）如图，延长至，使米，连接，交于，
则最小，过，作，且与相切于，则最大，
，，，
米，米，米，，米，
，垂直平分，，，
设，，，
在中，由勾股定理得，，，
，舍去，．
15．（2026九年级上·陕西延安·期末）问题提出（1）如图1，的面积为，弦，C是．上的一个动点，求面积的最大值；
问题解决（2）如图2，的半径为，圆内中有一个四边形区域，连接，为等边三角形，当点D在的什么位置上时，阴影部分面积最小？并求出最小值．
【答案】（1）；（2）当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为．
【详解】解：（1）如图1，连接，设为优弧的中点，连接，并延长交于点E，则，此时点到的距离最大，故点与点重合时，面积最大，，
∵的面积为，∴的半径为，
∵，，，
，，∴面积的最大值为；
（2）如图2，连接，设相交于点，
由题意得，当为的中点时，四边形区域的面积最大，则阴影部分面积最小，
是等边三角形，，，
由题意可知，是的直径，，，
为的中点，，，四边形是菱形，
在中，，，，
，
∴阴影部分面积最小值为
故当为的中点时，阴影部分面积最小，最小值为．
16．（2026九年级上·广东惠州·月考）【提出问题】如图1，直线l是足球场底线，是球门，点P是射门点，连接，，则叫做射门角，如图2；在足球比赛场上，甲、乙两名队员互相配合向对方球门进攻，当甲带球冲到Q点时，乙跟随冲到P点，仅从射门角度大小考虑（射门角越大，足球越容易被踢进），甲是自己射门好，还是迅速将球回传给乙，让乙射门好，利用所学知识说明理由．
【问题解决】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为C，连接，
∵，∴______，∵，∴，∴______射门好；
【理解应用】（2）如图3，正方形网格中，点A，B，C，D，E均在格点上，为球门，球员丁带球沿方向进攻，
①当球员到点D和点E点射门时，射门角是否相等，请说明理由．
②最好的射点在______．
A．点C B．点D或点E C．线段（异于端点）上一点 D．线段（异于端点）上一点
【答案】（1），甲；（2）①当球员到点D和点E点射门时，射门角相等，理由见详解；②C
【详解】（1）解：如图，记与过两点的圆的交点为C，连接，
，，
，，甲射门好，故答案为：，甲；
（2）解：①当球员到点D和点E点射门时，射门角相等，理由如下，
取格点，连接、、、，如图所示，
，、、、四点在以为圆心，为半径的圆上，
，则当球员到点D和点E射门时，射门角相等；
②，点在圆外，由（1）可得，，故选项A不符合题意；
线段（异于端点）的点在圆外，线段（异于端点）上一点的射门角均小于，故选项D不符合题意；
在线段（异于端点）上取一点，连接并延长交圆于点，如图所示，连接、，
则，，，，
最好的射点在线段（异于端点）上一点，故选：C．
17．（2026九年级上·浙江金华·期末）请根据素材，完成任务．
【答案】任务一：；任务二：；任务三：；任务四：；任务五：
【详解】解：任务一如图，取AB的中点O，连接
∵，， ．∴，故的最大值为2．
任务二，如图1，的最小值为12．理由如下：取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可，可得，∴即，
故的最小值为12．

任务三，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，
∴，设的半径是R，
∵，∴，∴，，
∵，∴，∴，∵∴，
∴，∴，∴，∴的最小值是．
任务四，如图2，解：作的外接圆，作于E，作直径，连接，
∴，设的半径是R，∵，，∴，
∴，，∵，∴，∴，
∵∴，∴，
∴，∴，∴的最小值是．
任务五，如图3，作于G，延长交于H，
∵，∴，设，∴，
∴，在的延长线上截取，
∵∴，
∵，∴，∴，
∴， 由任务四可知，，
∵，
当最小时，∴取得最大值，此时最大值为．
素材一
如图，在中，，垂足为点D，若保证始终为直角，则点A、B、C在以为直径的圆上．

素材二
如图，在C中，，，垂足为点D，取的中点O，连接，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知，可得 ．

素材三
如图，矩形是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板，且，点E到墙的距离为4米，到地面的距离为5米．点O为室内光源，、为光线，，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区的和最大时，该实验室“可利用比”最高．

任务一
若素材一中的，求的最大值．
任务二
若素材二中的，求的最小值．
任务三
若任务二中的改成，其余条件不变，请直接写出的最小值．

任务四
若任务二中的，改成，，请直接写出的最小值．
任务五
当素材三中的实验室“可利用比”最高，求此时的值