人教版（2024）九年级上册点和圆的位置关系同步达标检测题

这是一份人教版（2024）九年级上册点和圆的位置关系同步达标检测题，文件包含专题02圆中的重要模型之四点共圆模型几何模型讲义数学人教版九年级上册原卷版docx、专题02圆中的重要模型之四点共圆模型几何模型讲义数学人教版九年级上册解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共53页， 欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc201321763" PAGEREF _Tc201321763 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc4100" 模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）6
\l "_Tc15317" 模型2.定边对双直角共圆模型8
\l "_Tc20167" 模型3.定边对定角共圆模型11
\l "_Tc8564" 模型4.对角互补共圆模型14
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23247" PAGEREF _Tc23247 \h 16
汉代数学家张丘建在《九章算术》中首次提出四点共圆的理论雏形，宋代数学家基于《九章算术》进一步研究，明确“对角互补的四边形必共圆”的判定条件，与阿拉伯研究形成互补。托勒密在《天文学大成》中提出‌托勒密定理‌：若凸四边形内接于圆，则两对角线乘积等于两组对边乘积之和，并给出严谨证明。该定理首次将四点共圆与定量关系结合，成为后世判定核心依据之一。四点共圆模型从东西方独立的定性认知起步，历经托勒密的定量跨越，最终在近现代整合为系统化工具，成为解决圆相关几何问题的通用模型。其发展体现了数学思想从经验到逻辑、从孤立到互联的演进本质。初中几何体系将四点共圆判定归纳为四大核心模型。
（24-25九年级上·北京·期中）如图，中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到交于点交于点N，给出下面三个结论：
①；②点A，C，E，B四点共圆；③连接，则．上述结论中所有正确结论的序号是（ ）

A．①②B．①③C．②③D．①②③
【答案】A
【详解】解：①连接、，如图所示：

∵中，，，将绕的中点O倾时针旋转得到，
∴和为等腰直角三角形，根据旋转可知：，，
∵O为、的中点，∴，，，，，，∴，，
∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，故①正确；
②∵，，∴，
∴点A，C，E，B在以点O为圆心，以为圆心的圆上，∴点A，C，E，B四点共圆，故②正确；
③∵，∴A、D、E在以为圆心的圆上，∴，
∴，故③错误；综上分析可知：正确的有①②．故选：A．
（24-25九年级上·浙江杭州·期中）探究与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆． 该小组继续利用上述结论进行探究．
【提出问题】如图， 在线段同侧有两点，，连接，，，， 如果，那么，，，四点在同一个圆上．
【探究展示】如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与， 重合），连接，，则（依据）；∵，∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点， 都在点，，所确定的上（依据）；∴点，，，四点在同一个圆上；
【反思归纳】圆内接四边形对角互补；对角互补的四边形四个顶点共圆；
过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；同圆中，同弧所对的圆周角相等；
（）上述探究过程中的“依据”、“依据”分别是指什么？依据： ；依据： ．
（从框内选一个选项，直接填序号）
（） 如图，在四边形中，，，则的度数为 ；
【拓展探究】（）如图4， 已知 是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于， 连接，．
求证：，，，四点共圆；若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由．
【答案】（），；（）；（）证明见解析；．
【详解】（）解：如图，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补）
∵，∴，
∴点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点，在点，，所确定的上（过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆）
∴点，，，四点在同一个圆上，故答案为：，；

（）解：∵在线段同侧有两点，，，∴，，，四点共圆，
∵，∴，故答案为：；
（）证明：∵，∴，
∵点与点关于对称，∴，∴，∴，，，四点共圆；
解：，理由如下，如图，∵，，，四点共圆，∴，
∵，关于对称，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，∴，
又∵，∴，∴，∴，∵，∴．
1.定点定长共圆模型（圆的定义）
若四个点到一定点的距离相等，则这四个点共圆。这也是圆的基本定义，到定点的距离等于定长点的集合。
条件：如图1，平面内有五个点O、A、B、C、D，使得OA=OB=OC=OD。
结论：A、B、C、D四点共圆（其中圆心为O）。
证明：∵OA=OB=OC=OD
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。

图1 图2（同侧型） 图3（ 异侧型）
2.定边对双直角共圆模型
定边对双直角模型：一定边所对的角为两个直角，分同侧型和异侧型两种情况进行讨论。
1）定边对双直角模型（同侧型）
条件：如图2，若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
2）定边对双直角模型（异侧型）
条件：如图3，若平面上A、B、C、D四个点满足，
结论：A、B、C、D四点共圆，其中AD为直径。
注意：由于同侧型与异侧型证明相同，故下面证明一次即可。
证明：取AD的中点为E，连结BE，CE。 ∵，BE=CE=AD=AE=ED，
∴根据圆的定义：到定点的距离等于定长点的集合为圆，确定A、B、C、D四点共圆。
3.定边对定角共圆模型
定边对定角模型：一定边同侧所对的角为两个相等（为定值）。

图1 图2 图3 图4
条件：如图1，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆。
条件：如图2，AC、BD交于H，，结论：四点共圆。
证明：∵，∴，
又∵，。∴，∴A、B、C、D四点共圆。
4.对角互补共圆模型
条件：如图3，平面上A、B、C、D四个点满足，结论：A、B、C、D四点共圆．
条件：如图4，BA、CD的延长线交于P，， 结论：A、B、C、D四点共圆.
证明：∵，∴，又∵，。∴，
∵，∴，∴A、B、C、D四点共圆。
模型1.定点定长共圆模型（圆的定义）
例1（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，点在上且，点是上的动点，连结，点分别是和的中点，连结．当时，线段的长为 ．
【答案】
【详解】解：连接，，，在中，，， ，
点分别是和的中点，，，，，
，，=AG， ∴点A，D，F，E四点共圆，且DE是圆的直径
∴，∵，
∴，是直角三角形，且，
，，
在和中，，，，
，∴．∴故答案为：．
例2（24-25·江西赣州·九年级校联考期中）如图，点O为线段AB的中点，点B，C，D到点O的距离相等，连接AC，BD．则下面结论不一定成立的是（ ）
A．∠ACB=90° B．∠BDC=∠BAC C．AC平分∠BAD D．∠BCD+∠BAD=180°
【答案】C
【详解】如图，以点O为圆心，OA长为半径作圆．由题意可知：
OA=OB=OC=OD．即点A、B、C、D都在圆O上．
A ．由图可知AB为经过圆心O的直径，根据圆周角定理推论可知．故A不符合题意．
B．，所以根据圆周角定理可知．故B不符合题意．
C．当时，，所以此时AC不平分．故C符合题意．
D．根据圆周角定理推论可知，．故D不符合题意．故选：C．
例3（24-25.九年级·湖北·专题练习）问题背景：如图1，等腰中，，作于点D，则D为的中点，，于是；
迁移应用：如图2，和都是等腰三角形，，D，E，C三点在同一条直线上，连接．①求证：；②请直接写出线段之间的等量关系式；
拓展延伸：如图3，在菱形中，，在内作射线，作点C关于的对称点E，连接并延长交于点F，连接，．①证明是等边三角形；②若，求．
【答案】迁移应用：①详见解析；②结论：；拓展延伸：①详见解析；②
【详解】迁移应用：①证明：如图2 ∵，∴，
在和中，，∴，

②解：结论：．理由：如图中，作于．
∵，∴，在中，，
∵，，∴，∴；
拓展延伸：①证明：如图3中，连接，
∵四边形是菱形，，∴是等边三角形，∴，
∵E、C关于对称，∴，∴A、D、E、C四点共圆，
∴，∴，∴是等边三角形；
②解：作于H，∵，∴，
在中，∵，∴，∴．
模型2.定边对双直角共圆模型
例1（2023·山东泰安·一模）如图，等边的边长为4，点是边上的一动点，连接，以为斜边向上作等腰，连接，则AE的最小值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【详解】解：如图，过点作于点，作射线，
是等边三角形，，，
，点，点，点，点四点共圆，，
点在的角平分线上运动，当时，的长度有最小值，
，，的最小值为，故选：B．
例2（2024·陕西西安·模拟预测）如图，线段，以为斜边构造等腰直角和直角，、在两侧，平分交于点，则的最小值为 ．
【答案】/
【详解】解：以为斜边构造等腰直角和直角，
，，，，，，共圆，
，，，平分，
平分，为的内心，，
，，
，，当为该圆直径时，最大，
的最小值为，故答案为：．
例3（24-25·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，在四边形 中，， 是 的中点， 是 的中点，若 ，，，则 的长为（ ）

A．B．C．D．
【答案】A
【详解】连接，，如图，∵且为中点，∴，，∴，

∵为中点，∴，∵∠，∴，，，四点共圆，
∵，，∴，∴，
∴，∴，在中，，，
∴，∴，由勾股定理得：，
∴，∴，故选：．
模型3.定边对定角共圆模型
例1（23-24九年级·福建福州·期中）如图，在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上．（1）求∠BAD的度数；（2）求证：A、D、B、E四点共圆．
【答案】（1）10°；（2）见解析
【详解】解：（1）∵在RtABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝40°，∴∠C＝50°，
∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，使D点落在BC边上，
∴AC＝AD，∴∠ADC＝∠C＝50°，∴∠ADC＝∠ABC+∠BAD＝50°，
∴∠BAD＝50°－40°＝10°
证明（2）∵将ABC绕A点顺时针旋转得到ADE，
∴∠ABC＝∠AED，∴A、D、B、E四点共圆．
例2（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，对角线平分，，且．(1)证明：；(2)若，，求的长．

【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证：∵，∴，
∵，∴，
∴、、、四点共圆，∴；
（2）解：∵，∴，
∵，平分，∴， ∴在中，，
∵，∴，，
∵、、、四点共圆，∴，
∴在中，，∴．
例3（2024·湖南·模拟预测）综合与实践：“乐思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1，在线段同侧有两点B，D，连接如果，那么A，B，C，D四点在同一个圆上．
探究展示：如图2，作经过点A，C，D的，在劣弧上取一点E（不与A，C重合），连接，则（依据1）
∵，∴．
∴点A，B，C，E四点在同一个圆上．（对角互补的四边形四个顶点共圆）
∴点B，D在点A，C，E所确定的上．（依据2）∴点A，B，C，D四点在同一个圆上．
反思归纳：(1)上述探究过程中的“依据1”“依据2”分别是指什么？
依据1：________________．依据2：________________．
(2)如图3，在四边形中，，则的度数为________．
拓展探究：(3)如图4，已知是等腰三角形，，点D在上（不与的中点重合），连接．作点C关于的对称点E，连接并延长交的延长线于点F，连接．求证：A，D，B，E四点共圆．
【答案】(1)圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆(2)(3)见解析
【详解】（1）解：依题意，结合上下证明过程得：
依据1：圆内接四边形对角互补；依据2：过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
故答案为：圆内接四边形对角互补；过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
（2）解：，点，，，四点在同一个圆上，，
，，故答案为：；
（3）证明：，，
点与点关于的对称，，，
，，，
，，，，四点共圆．
模型4.对角互补共圆模型
例1（2024九年级上·广东·专题练习）如图，中，，，在边上，延长，与的外接圆分别交于，两点．求证：D，E，Q，P四点共圆；
【答案】见解析
【详解】证明：连接，如图，∵所对的圆周角是,所对的圆周角是，
，，，，，
，，，
，，，，，四点共圆；
例2（24-25·河南·校考一模）在中，，M是外一动点，满足，若，，，则的长度为 ．
【答案】/
【详解】解析：过点B作交的延长线于点H，过点D作于点E，过点D作于点F，如图所示：∵∴点A,M,B,C四点共圆
∵∴∴，
∴，∴，
∵，∴，
∴，∴
例3（24-25九年级上·云南·期中）综合与实践：“善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究．
提出问题：如图1所示，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上．

探究展示：如图2所示，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），
连接，，则，（依据
，，
点，，，四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点，在点，，所确定的上，（依据
点，，，四点在同一个圆上；
反思归纳：（1）上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？
依据1：______；（从右边框内选一个选项，直接填序号）
依据2：______．（从右边框内选一个选项，直接填序号）
①圆内接四边形对角互补；②对角互补的四边形四个顶点共圆；③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；④经过两点的圆的圆心在这两点所连线段的垂直平分线上；
（2）如图3所示，在四边形中，，，则的度数为______．
【答案】（1）①，③（2）
【详解】解：（1）由探究展示过程可知，的依据是：①圆内接四边形对角互补；
点，在点，，所确定的上的依据是：③过不在同一直线上的三个点有且只有一个圆；
故答案为：①，③；
（2）作过，，的，在劣弧上取点，连接，，如图：

，，，，
，，，共圆，即在过，，的上，
在过，，的上，，，，，共圆，
，，故答案为：．
1．（24-25·广西·模拟预测）如图所示，四边形ABCD中，DC∥AB，BC=1，AB=AC=AD=2．则BD的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交⊙A于F，连接DF．
∵AB=AC=AD=2，∴D，C在圆A上，
∵DC∥AB，∴弧DF=弧BC，∴DF=CB=1，BF=AB+AF=2AB=4，
∵FB是⊙A的直径，∴∠FDB=90°，∴BD= = 故选B
2．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，是的直径，点E在上，垂足为C，点G在上运动（不与E重合），点F为的中点，则的最大值为（ ）
A．B．6C．D．8
【答案】B
【详解】解：如图，连接，，∵点是的中点，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴点在以为直径的圆上，∴，
在中，，
根据勾股定理得，，∴，
∴，∴的最大值为6，故选：B．
3．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期中）如图放置的两个正方形，大正方形的边长为，小正方形的边长为，点在边上，且，连接，，交于点，将绕点旋转至，将绕点旋转至，下列结论：①；②；③；④，，，四点共圆．其中结论正确的序号是（ ）
A．①②③B．②③④C．①②③④D．①④
【答案】C
【详解】解：①∵四边形是正方形，∴，∴，
∵绕点旋转至，∴，
∴，∴，故①正确；
②∵将绕点旋转至，∴，∵，∴，
在与中，，∴；故②正确；
③∵绕点旋转至，∴，∵将绕点旋转至，∴，
∵，∴，∴四边形是矩形，
∵，∴，∴，∴四边形是正方形，
在中，，∴；故③正确；
④如图，连接，∵四边形是正方形，∴，
∵，∴点M，D都在以为直径的圆上，∴A，M，P，D四点共圆，故④正确．故选：C．
4．（2024·陕西西安·三模）如图，正方形的边长为8，M、N为边上的动点，以为斜边作等腰（其中），点E在边上，且，连接，则的周长最小值为 ．

【答案】/
【详解】解：连接， 四边形是正方形，是等腰直角三角形，
，，四点共圆，
恒等于，点P在正方形对角线上运动，
，，，
，为定值，
当点三点共线时，有最小值，即有最小值，则的周长有最小值为，
，的周长的最小值为：，故答案为：．
5．（2023·福建福州·九年级校考期中）如图，四边形ABCD中，连接AC、BD，点O为AB的中点，若，则下面结论一定正确的是 ．
①DC＝CB；②∠DAC＝∠DBC；③；④点A、C、D到点O的距离相等．
【答案】②③④
【详解】解∶如图1，设AC、BD交于点F，连接OC、OD，
∵，点O为A B的中点，∴OD=OC=OA=OB=AB，
∴点A、C、D到点O的距离相等，故④正确；
∵OD=OC=OA=OB=AB，∴∠BAD=∠ODA，∠OCD=∠ODC，∠OCB=∠ABC，
∴∠BAD+∠OCD+∠OCB=∠ODA+∠ODC+∠ABC，
∴∠BCD+∠BAD=∠ADC+∠ABC=，故③正确；
∵，∴，，
∵∠AFD=∠BFC，∴∠DAC=∠DBC，故②正确；
在四边形ABCD中，， AB中点O，连接OD、OC， 则OD=OC=OA=OB=AB，
若AD=BD，则OD⊥AB，∴，
若，则△BOC是等边三角形，∴，，
但是△ODC与△BOC不全等，∴DC≠BC，故①不一定成立，∴正确的是②③④，故答案为∶②③④．
6．（2024·山东·二模）如图，点为线段的中点，点到点的距离相等，若则的度数是
【答案】130
【详解】解：由题意得到OA＝OB＝OC＝OD，作出圆O，如图所示，
∴四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵∠ABC＝50°，∴∠ADC＝130°，故答案为：130．
7．（24-25·山东烟台·九年级统考期中）如图，平面直角坐标系中，点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），点C是x轴正半轴上一点，连接BC．过点A垂直于AB的直线与过点C垂直于BC的直线交于点D，连接BD，则的值是 ．
【答案】
【详解】∵BA⊥AD，BC⊥CD ∴∠BAD=∠BCD=90° ∴A、B、C、D四点共圆 ∴∠BDA=∠BCA
∵∠BDA+∠DBA=∠BCA +∠CBO=90°∴∠DBA=∠CBO∴∠DBA-∠CBA=∠CBO-∠CBA 即∠DBC=∠ABO
又∠DBC+∠BDC=∠ABO+∠BAO=90° ∴∠BDC=∠BAO ∵点A、B坐标分别为（3，0）、（0，4），
∴BO=4，OA=3，AB=∴ 故答案为：．
8．（24-25·黑龙江哈尔滨·九年级校联考阶段练习）如图，等边△ABC中，D在BC上，E在AC上，BD＝CE，连BE、AD交于F，T在EF上，且DT＝CE，AF＝50，TE＝16，则FT＝ ．
【答案】17
【详解】∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC=BC，∠ABD=∠BCE=60°，
在△ABD和△BCE中，，∴△ABD≌△BCE（SAS），∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ADC=∠CBE+∠BFD=∠BAD+∠B，∴∠BFD=∠B=∠AFE=60°；
延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，AT，
∵∠AFE=60°，∴△AFG是等边三角形，∴AG=AF=FG=50，∠AGF=∠FAG=60°，
∵∠BAF+∠EAF =∠CAG+∠EAF =60°，∴∠BAF=∠CAG，
∵DT=CE，∴∠DBT=∠BTD，∵∠BAD=∠CBE，∴∠BAD=∠BTD，
∴A、B、D、T四点共圆，∴∠BAD=∠DAT，∴∠FAT=∠GAE，
在△FAT和△GAE中，，∴△FAT≌△GAE（ASA），∴FT= GE，
∵FG=50，TE=16，∴FT=(FG- TE)=17．故答案为：17．
9．（24-25·江苏·九年级假期作业）如图，，，点、分别是线段、射线上的动点，以为斜边向上作等腰，，连接，则的最小值为 ．

【答案】
【详解】解：连接并延长，如图，

，，，
，，，，四点共圆，
为等腰直角三角形，，
，，点的轨迹为的平分线上，
垂线段最短，当时，取最小值，的最小值为，故答案为：．
10．（2023·贵州·统考中考真题）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，过点作射线，垂足为，点在上．

(1)【动手操作】如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为_______度；
(2)【问题探究】根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由；
(3)【拓展延伸】如图③，若点在射线上移动，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)作图见解析；135 (2)；理由见解析(3)或；理由见解析
【详解】（1）解：如图所示：∵，∴，

∵，∴，∴；故答案为：135．
（2）解：；理由如下：连接，如图所示：
根据旋转可知，，∵，∴、P、B、E四点共圆，
∴，∴，∴，∴．
（3）解：当点P在线段上时，连接，延长，作于点F，如图所示：

根据解析（2）可知，，∵，
∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，，∴为等腰直角三角形，∴，
∵为等腰直角三角形，
∴，即；
当点P在线段延长线上时，连接，作于点F，如图所示：
根据旋转可知，，∵，∴、B、P、E四点共圆，
∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，
∴，即；
综上分析可知，或．
11．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）请阅读下列材料，完成相应任务．
我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆，那么过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？李雷经过实践探究发现了如下结论：
如果线段同侧两点（与线段在同一平面内）分别与线段两端点的连线所组成的夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆．下面是李雷证明上述命题的过程（不完整）．
已知：如图①，是线段同侧两点，且．求证：四点共圆．
证明：作的外接圆，假设点在外或在内．
如图②，若点在外，设与交于点，连接，则（依据）
又，（依据）所以，所以，
这与已知条件“”矛盾，故点在外不成立．
如图③，若点在内，……
综上所述，作的外接圆，点在上，即四点共圆．
任务：(1)上述证明过程中的“依据”“依据”分别指什么？依据：______； 依据：______．
(2)请按照材料中的证明思路，写出该证明的剩余部分．(3)如图④，在四边形中，，，，，则的大小为______
【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和(2)证明见解析(3)
【详解】（1）解：依据：同弧所对的圆周角相等；依据：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
故答案为：同弧所对的圆周角相等；三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）解：如图③，若点在内，延长与交于点，连接，则，
又∵，∴，∴，
这与已知条件“”矛盾，故点在圆内不成立；
（3）解：∵在四边形中，，点在的同侧，
∴四点共圆，∴，∵，∴为直径，∴，
∵，∴，∴，∵，∴，∴，故答案为：．
12．（24-25九年级上·湖北鄂州·期末）请仔细阅读以下材料：
定理一：一般地，如图，四边形中，如果连接两条对角线后形成的，则四点共圆．
我们由定理可以进一步得出结论：，，．
定理二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
温馨提示：下面问题的关键地方或许能够用到上述定理，如果用到，请直接运用相关结论；如果你有自己更好的做法，那就以自己的做法为主，只要正确，一样得分．
探究问题：如图，在和中，
，，，连接交于点，交于点，连接．
(1)求证；(2)请直接写出______度，_____度；(3)若，求证．
【答案】(1)证明过程见详解(2)，(3)证明过程见详解
【详解】（1）证明：∵，∴，即，
在和中，，∴，∴．
（2）解：由（1）可知，，∴，
在，，
∴在中，，∴；
∵，根据定理一，可知四点共圆，如图所示，
∵，，∴是等腰直角三角形，即，
∵是圆周角，且与圆周角所对弧相同，∴，故答案为：，．
（3）解：如图所示，取的中点，连接，
由（2）可知，，，∴在中，点是的中点，
∴根据定理二，可知，即，∴是等腰三角形，且，
∵是外角，∴，
在中，，∴，
∴是等腰三角形，即，∴，∴．
13．（24-25九年级上·福建莆田·期中）在正方形中，是边上一点，点在射线上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．
（1）如图1，求证：；（2）如图2，若点，，三点共线，求证：，，，四点共圆；
（3）若点，，三点共线，且，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）根据旋转的性质可得，，
∵，∴，∵，∴，∴；
（2）∵，∴，
∵点，，三点共线，∴，∴，∴，，，四点共圆；
（3）∵，，∴为等腰直角三角形，∴，以点为圆心，为半径作，
∵，，∴，∴点在圆上，∴．
14．（24-25九年级上·内蒙古赤峰·期末）实践与探究 探究课题：四点共圆的条件
课题背景：过任意一个三角形的三个顶点都能作一个圆
(1)发现问题：某数学小组在课堂上经过测量四边形各个内角的度数，发现：如果过某个四边形的四个顶点能作一个圆，那么其相对的两个内角之和等于，结合图1，你认为这个小组发现的结论正确吗？如果该结论正确，请你说明理由．(2)如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间有上述关系吗？试结合图2和图3说明其中的道理．(3)由上面的探究，请你归纳出判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是什么？
【答案】(1)这个结论正确，理由见解析；(2)没有上述关系，理由见解析；
(3)这个四边形相对的两个内角互补．
【详解】（1）解：这个结论正确，理由如下：
∵如图1，经过四边形的四个顶点A、B、C、D，
∴的度数等于度数的一半，的度数等于度数的一半，
∵与的度数和为，∴，
∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角互补．
（2）解：没有上述关系，理由如下：图2：连接，∵，，∴；
∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系．
图5：连接，∵，，∴．
∴如果过某个四边形的四个顶点不能作一个圆，那么其相对的两个内角之间不具备上述关系．
（3）解：根据（1）（2）可得：
如图2：判定过某个四边形的四个顶点能作一个圆的条件是这个四边形相对的两个内角互补．
15．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程；

【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹）
【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）．
【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、，
∵，∴，
∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上．
（2）如图，为所求直角三角形；
（3）∵在正方形中，，，
∴，，，，
∴，∵，∴，
又∵是直角三角形，，∴，∴
又∵，∴即∴．
16．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【材料阅读】如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，简称“四点共圆”．在教材中学习了定理“圆内接四边形的对角互补”后，学习小组继续探究，提出猜想“对角互补的四边形四个顶点共圆”并尝试用反证法进行验证．
【验证猜想】已知：四边形中， 求证：A、B、C、D四点共圆
证明：过点A、B、D作，假设点C不在上，则点C在外或内
若点C在外，如图1，设交于，连接，则．
四边形是的内接四边形，．
，与矛盾，故点C不可能在圆外；
若点C在圆内，……
（1）在图2中，用直尺和圆规作出过点A，B，D的圆，参考以上思路补全图形并完成后续证明；
【深入探究】得出“对角互补的四边形四个顶点共圆”是真命题后，继续思考，四点共圆还可以有其他的条件吗？请你在此基础上展开探究：
（2）如图3，在线段同侧有两点C，D，连接，，，．如果，那么A、B、C、D四点共圆，请完成证明（如需辅助圆，画出示意图即可）；
【结论应用】应用以上结论，解决下列问题：
（3）如图4，在四边形中，，，则________；
（4）如图5，中，点E在上，连接，作点B关于的对称点，连接，，求的度数；
【拓展延伸】（5）如图6，，，点D为平面内一动点，连接、，若始终有，当四边形周长最大时，与的数量关系是多少？（直接写出答案）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）30；（4）；（5）
【详解】解：（1）若点C在内，如图，延长设交于，连接，则．
四边形是的内接四边形，，
，与矛盾，故点C不可能在圆内，
∴点C在圆上，∴点A、B、C、E四点在同一个圆上；
（2）如图，作经过点A、B、D的，
在劣弧上取一点E（不与A、B重合），连接，，则，
，．
点A、B、C、E四点在同一个圆上，（对角互补的四边形四个顶点共圆）
点C在点A、B、E所确定的上，也就是在点A、B、D所确定的上，点A、B、C、D四点共圆；
（3）∵，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，∴，故答案为：30；
（4）由对称可知，，
，，
由（2）可知，点A、、E、C四点共圆．，
中，，；
（5）如图，连接，
∵，，∴是等边三角形，∴，
∵，∴，∴点A，点B，点C，点D四点共圆，
∴，弦最大值是直径长，以为边在上方作等边三角形，连接，
∴，，∴，
∴，∴，，∴，
∴A，E，D三点共线，∴，
∵四边形周长，
∴当是直径时，四边形的周长有最大值，∴，∴，∴．
17．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆．
(1)如图1，已知，，则_____；
(2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长；
(3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长．
【答案】(1)(2)(3)
【详解】（1）解：，四点共圆，
．故答案为：
（2）在线段取一点，使得，如图2所示：

，，，
，
，，，，，
在和中，，（），，
，是等腰直角三角形，；
（3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示：
，、、、和、、、分别四点共圆，
，，是等边三角形，
，作，则为的中点，，
，，
．
18．（24-25九年级上·江苏南京·期中）以下是“四点共圆”的几个结论，你能证明并运用它们吗？
I．若两个直角三角形有公共斜边，则这两个三角形的4个顶点共圆（图①、②）；
Ⅱ．若四边形的一组对角互补，则这个四边形的4个顶点共圆（图③）；
Ⅲ．若线段同侧两点与线段两端点连线的夹角相等，则这两点和线段两端点共圆（图④）．
(1)在图①、②中，取的中点O，根据 得，即A，B，C，D共圆；
(2)在图③中，画⊙O经过点A，B，D（图⑤）．假设点C落在外，交于点E，连接，可得 ，所以 ，得出矛盾；同理点C也不会落在内，即A，B，C，D共圆．结论Ⅲ同理可证．
(3)利用四点共圆证明锐角三角形的三条高交于一点．
已知：如图⑥，锐角三角形的高，相交于点H，射线交于点F．
求证：是的高．（补全以下证明框图，并在图上作必要标注）
(4)如图⑦，点P是外部一点，过P作直线，，的垂线，垂足分别为E，F，D，且点D，E，F在同一条直线上．求证：点P在的外接圆上．
【答案】(1)直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；(2)；；
(3)①；②B、E、D、C；③；(4)证明见解析．
【详解】（1）解：连接，，

根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得：，，
∴故答案为：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；
（2）解：假设点C落在外，交于点E，连接，可得：，
∵，∴，
∵是的一个外角，∴，相互矛盾，故点C在圆上，故答案为：；；
（3）证明：以A、E、H、D四点作圆，以B、E、D、C四点作圆，连接．
∵A、E、H、D四点共圆，∴，∵B、E、D、C四点共圆，∴，
∵，∴，∴，
∴，即是的高．故答案为：；B、E、D、C；；
（4）证明：连接，，
由结论I可得：点P、D、F、C四点共圆，点P、E、B、F四点共圆，
又∵点D，E，F在同一条直线上，∴，，∴，
由结论Ⅲ可得点A、B、C、P四点共圆，即点P在的外接圆上．