九年级下册圆周角和圆心角的关系习题

这是一份九年级下册圆周角和圆心角的关系习题试卷主要包含了切线长模型5，燕尾模型8，蝴蝶模型11，手拉手模型14，对角互补模型19等内容，欢迎下载使用。
知识储备：垂径定理及推理、圆周角、圆心角、弧、弦、弦心距的关系等。
TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型5
\l "_Tc201321768" 模型运用5
\l "_Tc28484" 模型1、切线长模型5
\l "_Tc20466" 模型2、燕尾模型8
\l "_Tc17191" 模型3、蝴蝶模型11
\l "_Tc20466" 模型4、手拉手（旋转）模型14
\l "_Tc17191" 模型5、对角互补模型19
\l "_Tc18836" 24
圆中的全等模型在几何学发展史中源远流长，其历史脉络可追溯至古代文明，并在不同时期得到深化与扩展。首先古埃及工程师利用圆的性质进行土地测量与金字塔建造，通过经验发现全等三角形的拼接可形成稳定结构；然后欧几里得‌（约公元前300年）在《几何原本》中首次系统化几何理论：提出全等三角形公设（如SSS判定法），为圆中全等模型奠定逻辑基础；接着阿基米德‌（公元前287–前212年）在著作中记录弦切角、垂径性质等命题，隐含全等证明思想；最后在近现代数学教育中形成了一些重要的全等模型。圆的全等模型从经验实践到公理体系，历经文明交融与数学革命，至今仍是连接古典几何与现代科技的纽带。
（2026·广东九年级期中）如图，已知，，分别切于点A，B，D，若，则的周长是 ．若，则 ．

【答案】 30
【详解】解：连接、、，∵，，分别切于点A，B，D，
∴，，，
∴
∵、分别与相切于点A、B，∴，
又∵，∴，
∵与相切于点D，∴，
在和中，，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴，故答案为：30；．

（2026九年级上·江苏泰州·期中）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设是已知点，小圆为已知圆．具体作法是：以为圆心，为半径作大圆，连接交小圆于点，过作，交大圆于点，连接，交小圆于点，连接，则是小圆的切线．(1)为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程；
已知：如图，点，和点，分别在以为圆心的同心圆上，______．求证：______．证明：______
(2)如图1，长不变，改变小圆的半径，延长交大圆于点，延长线交大圆于点，当经过圆心时，求的值；(3)在（2）中，若改变小圆的半径时，与小圆相切，直接写出的度数．

【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证：是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴．
在和中，∴，∴，
∵，∴，∴，∴是小圆O的切线．
（2）由（1）得：，，，
∴，，∴，
∵，∴，∴，∴AO==2∴=．
（3）如图，∵，，都为小圆O的切线，记与小圆O的切点为H，

∴，， ∵，，，
∴，，∴，而，
∴∴．
（2026九年级上·江苏宿迁·期中）（1）如图①，点A、B、P均在上，，则锐角的大小为 度．
（2）【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，是等边的外接圆，点在上（点不与点、重合），连结、、．求证：．小明发现，延长至点，使，连结，通过证明，可推得是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：
证明：延长至点E，使，连接
∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴．请你补全余下的证明过程．
（3）【应用】如图③，已知四边形内接于圆O，，，连接、，请直接写出线段之间的数量关系
【答案】（1）；（2）见解析；（3）
【详解】（1）解：∵点，，均在上，，∴，故答案为：；
（2）证明：延长至点，使，连接，

∵四边形是的内接四边形，∴，∵，∴，
∵是等边三角形，∴，∴，∴，
∵在等边中，，∴，∴是等边三角形，∴，
又∵，∴；
（3）解：如图，延长至点，使，连接，由（2）知，，
在和中，，，，，
，，由圆周角定理得：，，，
∵，∴，∴
1-1切线长模型1 条件：如图1，P为外一点，PA，PB是的切线，切点分别为A，B。
结论：①△OAP≌△OBP；②∠AOB+∠APB=180°；③OP垂直平分AB；

图1 图2 图3 图4
1-2切线长模型2 条件：如图2，AD，CD，BC是的切线，切点分别为A，E，B。
结论：①△AOD≌△EOD；②△BOC≌△EOC；③AD+BC=DC；④∠DOC=90°；
2. 燕尾模型
条件：如图3，OA，OB是的半径，OC=OD。 结论：①△AOC≌△BOD；②△PAD≌△PBC；
3. 蝴蝶模型
条件：如图4，OA，OE是的半径，AD⊥OE，EB⊥OA。结论：①△AOD≌△EOB；②△ABD≌△EDB；
4. 手拉手（旋转）模型
图5 图6
条件：如图5，是△ABD的外接圆，且AD=BD，∠ADB=，C为圆O上一点。
结论：①△ADC≌△BDC’；②△DCC’是等腰三角形；
特别地，当=60°时，CD=CA+CB； 当=90°时，CD=CA+CB；
5. 对角互补模型
条件：如图6，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB。结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC。
证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN，
又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°，
∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，
∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。
又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC，
例1（2026·浙江·九年级统考期末）如图，将量角器和含角的一块直角三角板紧靠着放在同一平面内，使、、在一条直线上，且，过点作量角器圆弧所在圆的切线，切点为，则点在量角器上所对应的锐角度数是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：连接，∵，，∴，
∵，∴垂直平分，∴，∴，
∵、是的切线，∴，，
∵，∴，∴，
∴，故选：A．
例2（2025·河南·校考一模）小倩用橡皮泥做了一个不倒翁如图所示，小倩从正面看发现、分别切于点、，直径所在的直线经过点，连接．

(1)小倩发现垂直平分，请说明理由；(2)若的半径为，①当______时，四边形为菱形；②当______时，四边形为正方形．
【答案】(1)见解析(2)①；②
【详解】（1）解：、分别切于点、，，
在和中，，．，
， 垂直半分；
（2）解：当时，四边形为菱形，理由如下：如图，连接，，

的半径为，，切于点，，
，，，，，
，，，
，，，垂直平分，，，
，四边形为菱形，故答案为：；
当时，四边形为正方形，理由如下：
的半径为，，切于点，，
，，，
垂直半分，，，四边形为菱形，
，四边形为正方形，故答案为：．
例3（2025·湖北校考模拟预测）如图所示，AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，CD与⊙O有公共点E，且AD＝DE．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AB＝12，BC＝4，求AD的长．

【答案】（1）见解析；（2）9
【详解】（1）证明：连接OD，OE，∵AD切⊙O于A点，AB是⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，

∵AD＝DE，OA＝OE，OD＝OD，∵△ADO≌△EDO（SSS），∴∠OED＝∠OAD＝90°，∴CD是⊙O的切线；
（2）过C作CH⊥AD于H，∵AB是⊙O的直径，AD和BC分别切⊙O于A，B两点，
∴∠DAB＝∠ABC＝∠CHA＝90°，∴四边形ABCH是矩形，∴CH＝AB＝12，AH＝BC＝4，
∵CD是⊙O的切线，∴AD＝DE，CE＝BC，∴DH＝AD﹣BC＝AD﹣4，CD＝AD+4，
∵CH2+DH2＝CD2，∴122+（AD﹣4）2＝（AD+4）2，∴AD＝9．
模型2、燕尾模型
例1（2026九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，已知圆O的直径垂直于弦于点E，连接并延长交于点F，且．(1)证明：E是的中点；(2)若，求的长．
【答案】(1)见解析(2)．
【详解】（1）证明：直径垂直于弦于点E，连接，∴，∴，
∵过圆心O的直线，∴，即是的中垂线，∴，
∴．即：是等边三角形，∴，
在中，有，∴，∴点E为的中点；
（2）解：∵，∴，
又∵，∴，∴，，∴．
例2（2026九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在以点为圆心的两个同心圆中，大圆的半径，分别交小圆于点，，连接，，交点为，连接并延长，交于点，交大圆于点．
(1)求证：；(2)与有怎样的位置关系？请说明理由．
【答案】(1)见解析(2)，理由见解析
【详解】（1）证明：，为以点为圆心的大圆半径，
，为等腰三角形，；
（2），为以点为圆心的大圆半径，，为以点为圆心的小圆半径，
，，，即，
在与中，，，
，，即，
在与中，，，，
在与中，，，，
又为等腰三角形，．
例3．（2025·河南·校考一模）欧几里得，古希腊数学家，被称为“几何之父”，他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛的认为是历史上最成功的教科书．他在第Ⅲ卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．如图，设A是已知点，小圆O为已知圆．具体作法是：以O为圆心，为半径作大圆O，连接交小圆O于点B，过B作，交大圆O于点C，连接，交小圆O于点D，连接，则是小圆O的切线．
为了说明这一方法的正确性，需要对其进行证明，如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出“证明”的过程．
已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，_________．求证：___________．
证明：
【答案】，是小圆O的切线，证明见解析
【详解】已知：如图，点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，
求证：是小圆O的切线
证明：∵点A，C和点B，D分别在以O为圆心的同心圆上，∴．
在和中,∴，∴，
∵，∴，∴，∴是小圆O的切线．
例4（2025·河北唐山·二模）如图，将半径为10的扇形，绕点逆时针旋转得到扇形．
(1)求证：；(2)当为直径时，，求的值及优弧的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：由题意可得：，，
由旋转的性质可知，，．由旋转的性质可知，，，
，即，，．
在与中，，．
（2）解：当为直径时，，∵，∴，
∵，∴，∴，
∵为直径，∴，即，
∴，∴优弧的长度为．
模型3、蝴蝶模型
例1（2026·广东梅州·九年级校考开学考试）如图，圆中两条弦、相交于点E，且，求证：．

【答案】见解析
【详解】证明：如图，连接，∵，∴，
∴，即，∴，∴，
又∵，∴．

例2（2026九年级上·重庆巴南·阶段练习）在学习了圆这一章后，小明对“在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对圆心角相等”产生了浓厚兴趣，进行了拓展性的研究，有了新的发现，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，过圆心O作，垂足为E点，他猜想圆心O到弦、弦的距离相等．他的解决思路是证明对应垂线段所在三角形全等从而得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：(1)用直尺和圆规，过点O作，垂足为F点，（只保留作图痕迹）
(2)已知：如图，在中，A、B、C、D是圆上四点，且，于点E，于点F．求证：．
证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：．
∵∴①_________________．∵于E点，于点F∴②_________________
在与中∴．∴．
通过小明研究发现，在等圆中也有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在同圆或等圆中，④__________________________________________．
【答案】(1)图见解析(2)①；②；③；④如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵在中，A、B是圆上两点，于点E，∴，同理可证：．
∵∴．∵于E点，于点F∴
在与中，∴．∴．
∴在同圆或等圆中，如果两弦相等，则圆心到等弦的距离相等．
例3（2026九年级上·重庆·期中）如图，AB、CD是⊙O中两条互相垂直的弦，垂足为点E，且AE＝CE，点F是BC的中点，延长FE交AD于点G，已知AE＝1，BE＝3，OE＝．（1）求证：△AED≌△CEB；（2）求证：FG⊥AD；（3）若一条直线l到圆心O的距离d＝，试判断直线l是否是圆O的切线，并说明理由．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）直线l是圆O的切线，理由见解析
【详解】（1）证明：由圆周角定理得：∠A＝∠C，
在△AED和△CEB中，，∴△AED≌△CEB（ASA）；
（2）证明：∵AB⊥CD，∴∠AED＝∠CEB＝90°，∴∠C+∠B＝90°，
∵点F是BC的中点，∴EF＝BC＝BF，∴∠FEB＝∠B，
∵∠A＝∠C，∠AEG＝∠FEB＝∠B，∴∠A+∠AEG＝∠C+∠B＝90°，∴∠AGE＝90°，∴FG⊥AD；
（3）解：直线l是圆O的切线，理由如下：作OH⊥AB于H，连接OB，如图所示：

∵AE＝1，BE＝3，∴AB＝AE+BE＝4，∵OH⊥AB，∴AH＝BH＝AB＝2，
∴EH＝AH﹣AE＝1，∴OH＝＝＝1，
∴OB＝＝＝，即⊙O的半径为，
∵一条直线l到圆心O的距离d＝＝⊙O的半径，∴直线l是圆O的切线．
模型4、手拉手（旋转）模型
例1（2026九年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，四边形圆内接四边形，已知，，若，则四边形的面积为多少 ．
【答案】32
【详解】解：延长到点E，使得，连接，
∵是圆内接四边形，∴，，
又∵，∴，又∵，∴，
∴，，∴，
∴，故答案为：．
例2（2025·山东·校考一模）如图1，在⊙O中，弦AD平分圆周角∠BAC，我们将圆中以A为公共点的三条弦BA，CA，DA构成的图形称为圆中“爪形A”，弦BA，CA，DA称为“爪形A”的爪．
（1）如图2，四边形ABCD内接于圆，AB＝BC，①证明：圆中存在“爪形D”；②若∠ADC＝120°，求证：AD＋CD＝BD；（2）如图3，四边形ABCD内接于圆，其中BA＝BC，连接BD．若AD⊥DC，此时“爪形D”的爪之间满足怎样的数量关系，请直接写出结果．
【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）AD＋CD＝BD
【详解】（1）①证：∵AB＝BC，∴∠ADB＝∠CDB，∴DB平分圆周角∠ADC，∴圆中存在“爪形D”；
②延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，

∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB
∵∠ADC＝120°，∴∠E＝∠ADB＝60°，∴△BDE为等边三角形，∴DE＝BD，即AD＋CD＝BD
（2）AD＋CD＝BD ，理由如下：延长DC至点E，使得CE＝AD，连接BE，
∵∠A＋∠DCB＝180° ∠ECB＋∠DCB＝180°∴∠A＝∠ECB
∵CE＝AD，AB＝BC∴△BAD≌△BCE∴∠E＝∠ADB，BD=BE
∵AD⊥DC，∴∠E＝∠ADB＝45°，∴△BDE为等腰直角三角形，∠DBE＝90°，
∴DE＝BD ，即AD＋CD＝BD．
例3（山西吕梁·一模）阅读与思考 下面是小宇同学的数学日记，请你仔细阅读并完成相应的任务．
圆内接正三角形的有趣结论：我在学完“圆内接正多边形”之后，知道了圆内接正多边形有许多有趣的结论.于是，我通过查阅资料发现了一个与圆内接正三角形相关的结论.
如图1，等边三角形内接于，点P是弧上的任意一点，连接，可得下面是这个结论的证明过程：以点为顶点，作，交于点D，
在等边三角形中，，，
（依据），，是等边三角形，，
∵，∴，即，
∴，∴，∵，∴
任务：(1)小宇的日记中的“依据”是 ，(2)如图，若，，则线段的长度是 ，

(3)如图，正方形内接于，点是弧上的任意一点，连接，则之间有怎样的数量关系？请说明理由．
【答案】(1)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等(2)(3)
【详解】（1）在等边三角形中，，，
（在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等），
故答案为：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等

（2）过点作于点，在中，
∴，，∴，，
在中，，，
，．，
由题可知， ．
（3） 连接，过点作交于点
∵正方形内接于，，
是等腰直角三角形∴，
即
．
例4（2026九年级上·浙江·期末）如图，四边形是圆内接四边形，．
(1)求的度数；(2)若的半径为6．①求的长；②如图2在四边形中，若平分，求的最大值．(3)如图3，连接，若是的直径，，请直接用含m，n的式子表示的长．
【答案】(1)(2)①；②(3)
【详解】（1）四边形是圆的内接四边形，
，有，．
（2）①作直径．连接，如图，

为圆的直径，，由（1）知：，，
的半径为6，．．
②延长至点，使，连接，如图，
由（1）知：，，
平分，．，，
四边形是圆的内接四边形，，，．
在△和△中，，，
，，为等边三角形．
，，．
的面积最大时，四边形面积最大．
当取得最大值时，的面积最大，当为圆的直径时，四边形面积最大．
即时，四边形面积取得最大值的面积的最大值，
四边形面积的最大值．
（3）．理由：延长交的延长线于点，如图，
是的直径，，．由（1）知：，
，，．
，，，．故答案为：．
例5（2026九年级下·广西贵港·阶段练习）如图，圆是的外接圆，是上的点，连接、、．(1)如图甲，，点在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(2)如图乙，，点不在延长线上，判断之间的数量关系，并证明你的结论．(3)若，直接写出之间的数量关系．（用含的式子表示）
【答案】(1)，见解析(2)，见解析(3)
【详解】（1）解：，证明如下：
∵点在延长线上，∴为的直径，∴，
∵，∴，∴，∴；
（2）解：，理由如下：在上截取，

∵，∴为等边三角形，∴，，
在和中，，∴，∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
过点C分别作于点M，延长线于点N，
∵，∴，，在和中，
∴，∴，
在和中，∵，∴，，
∴
∴．
模型5.对角互补模型
例1（2026九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，是圆的直径，为圆的弦，且平分，若，则的长为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】D
【详解】解：如图，作交的延长线于，作交于，则，
，
平分，，，，
四边形是圆的内接四边形，，
，，
在和中，，，，
是圆的直径，，平分，，
、是等腰直角三角形，
，，，
，，，，
，故选：D．
例2（2025·湖南·模拟预测）【感知】如图①，为等边三角形的外接圆．为的直径，线段与交于点，探究线段，，的数量关系．
小明同学的做法：过点作的垂线交延长线于点，连接．易证．进而得出，．则线段，，的数量关系是；
【探究】如图②，等腰三角形中．，为的外接圆，为弧上一点，于点，探究上述结论是否成立，如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；
【应用】如图③，是的外接圆，是直径，．点在上，且点与点位于线段两侧，过点作线段的垂线，交线段于点，若点为的三等分点，则的值为 ．
【答案】【探究】成立，见解析；【应用】
【详解】解：【探究】成立，证明：过点作的垂线交延长线于点，连接，如图所示：

∵，∴，∵，∴，
∵，∴在和中，，
∴，∴，，
∴在和中，，∴，
∴，∴；
【应用】过点作的垂线交延长线于点，如图所示：
∵是直径，，∴，∴四边形是矩形，
∵四边形是的内接四边形，∴，
∵，∴，∵，
∴在和中，，∴，
∴，，∴四边形是正方形，∴，
∵点为的三等分点，点与点位于线段两侧，∴，
设，则，∴，，
∴．
例3（2025九年级下·江苏南京·专题练习）小敏在查阅资料时得知：已知一个四边形各边长均为定值，当它的四个顶点在同一个圆上时，四边形的面积最大．
【从特殊验证】已知四边形的各边长依次为7，15，20，24，它的面积S何时最大？
（1）探索情形Ⅰ：①求证：点A，B，C，D在同一个圆上．②S的值为______．
（2）探索情形Ⅱ：说明此时S的值小于情形Ⅰ中S的值．
【向一般进发】（3）已知四边形的各边长依次为6，8，8，12，借助已有结论对它展开探索，求它的面积S的最大值．
【答案】（1）①证明见解析；②234；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）①证明：连接，取的中点O，连接，

，，
又，，，
为的中点，，点A，B，C，D在同一个圆上；
②解：，
故答案为：234；
（2）解：，，，
在中，，在中，，，即；
（3）解：由题意可知，当四边形四顶点共圆时，它的面积最大，
连接，过点C分别作于点E，于点F，
，，，
，，，，，
同理可证，，，，
∵，，，，
，，
即四边形面积S的最大值为
1．（2025·湖南·模拟预测）如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上D．为的边上的中线
【答案】B
【详解】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，故选：B．
3．（2026·浙江·九年级阶段练习）如图，在圆内接四边形中，，为直径，若四边形的面积是，的长是，则与之间的数关系式是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】解：如图，延长到，使，连接，
四边形是圆内接四边形，，，
在和中，，
，
，
即，，故选：C．
3．（2026九年级上·湖北孝感·期末）如图，内接于圆，，，以C为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N，分别以M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点H，连接，并延长交圆于点D，连接，，则下列结论错误的是（ ）
A．为直径 B． C． D．
【答案】C
【详解】A：，根据圆周角定理，的圆周角所对的弦是直径，为直径，A正确，不符合题意；
B：由作图知平分，即．同圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故，则，B正确，不符合题意；
C：是直径，．若，则，但由已知条件无法推出，实际分析：所对的弧为，结合圆的性质，，C错误．符合题意； D：D正确，不符合题意，证明如下：
证明：延长至点E，使，连接，
，，，
，，，，
是直径，，
，是等腰直角三角形，，故选：C．
4．（2026·天津和平·九年级专题练习）如图，在圆内接四边形在中，弦，，连接对角线，、分别是和上的两点，且，连接、相交于点，已知，，则的面积为 ．
【答案】
【详解】解：过点作，交于点，
∵在圆内接四边形在中，，∴，
∵，∴是等边三角形，∴，
又∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，，∴，∴，
∴；故答案为：．
5．（2026·湖北黄冈·九年级专题练习）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6，弦AC⊥弦BD，点P为CD的中点，若点D在圆上逆时针运动的路径长为π，则点P运动的路径长为 ．
【答案】π．
【详解】解：如图，连接OA，OB，AD，OP，OD，过点O作OH⊥AB于H．
∵AC⊥BD，∴∠DAC+∠ADB＝90°，
∵∠DOC＝2∠DAC，∠AOB＝2∠ADB，∴∠DOC+∠AOB＝180°，
∵OH⊥AB，DP＝PC，∴AH＝HB＝AB＝3，OP⊥CD，
∵OA＝OB＝OC＝OD，∴∠AOH＝∠BOH，∠COP＝∠DOP，∴∠AOH+∠COP＝90°，
∵∠AOH+∠OAH＝90°，∴∠COP＝∠OAH，
在△OHA和△CPO中， ∴△OHA≌△CPO（AAS），
∴OP＝AH＝3，∴点P的运动轨迹是以O为圆心，OP为半径的圆，
∵点D在圆上逆时针运动的路径长为π，设圆心角为n，∴， ∴n＝60°，
∵OD，OP的旋转角度相等，∴点P的运动路径的长．故答案为：π．
6．（2025·江苏扬州·三模）在《圆的对称性》一节，我们学习了“圆心角、弧、弦之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等”．
定义：从圆心到弦的距离叫做弦心距，弦心距也可以说成圆心到弦的垂线段的长度．
(1)如图，在中垂足为，垂足为，和都是弦心距．若．求证：；

(2)实际上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”如下：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
如图，已知线段，点是半径为的内一点，请过点作的弦，使．（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，保留痕迹并写出必要的文字说明）
【答案】(1)见解析(2)见解析
【详解】（1）证明：连接，

∵，，∴，
∵，∴，
∵，，，∴，∴；
（2）解：如图，线段或，
在上取一点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则，
过点作的垂线，垂足为点，
以为圆心，为半径画圆，连接，
取中点，以为圆心，为半径作，记小与一个交点为，
过作直线，与大交点即为点，那么线段即为所求，同理亦可，
由作图可得，由圆周角定理可得：，而，
由在同圆中，弦心距相等，则所对的弦相等即可说理，即．
7．（2026·江苏南京·九年级校考期末）在以为圆心的两个同心圆中，大圆的弦交小圆于，两点．
(1)如图①，若大圆、小圆的半径分别为13和7，，则的长为______．
(2)如图②，大圆的另一条弦交小圆于，两点，若，求证．
【答案】(1)(2)见解析
【详解】（1）连接，，过点作，则为，的中点，
∵，∴，，
∵，∴，，
∴，∴，
∴，∴，故答案为：
（2）过作，作，垂足分别为、，
∴，，，，
又∵，∴，连接、、、，
在和中，，
∴，∴，
在和中，，
∴，∴，∴．
8．（2025·贵州遵义·校考一模）问题背景：如图1，是的直径，点，点在圆上（在直径的异侧），且为弧的中点，连接，，，，．
探究思路：如图2，将绕点顺时针旋转得到，证明，，三点共线，从而得到为等腰直角三角形，，从而得出．
(1)请你根据探究思路，写出完整的推理过程；
问题解决：(2)若点，点在直径的同侧，如图3所示，且点为弧的中点，连接，，，直接写出线段的长为__________（用含有，的式子表示）；
拓展探究：(3)将沿翻折得到，如图4所示，试探究：，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)推理过程如下(2)(3)
【详解】（1）∵绕点顺时针旋转得到，∴，，
∴，，，∴，∴，
∵，∴，∵，∴．
（2）绕点点顺时针得到，∴，
∴，，，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，∴，
∵，，∴，∴．

（3）∵绕点点逆时针得到，点在上，∴，
∵沿翻折得到，∴，∴，
∴，，，
∵，∴，∴，
∵是圆的直径，∴，∴，∴，
∵，，∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴，∴．
9．（2025·山东德州·校考一模）△ABC是⊙O的内接三角形，点P是⊙O上一点，且点P与点A在BC的两侧，连接PA，PB，PC．
(1)如图①，若△ABC是等边三角形，则线段PA，PB，PC之间有怎样的数量关系，并证明你的结论．
(2)如图②，把（1）中的△ABC改为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他条件不变，三条线段PA，PB，PC还有以上的数量关系吗？说明理由．
(3)如图③，把（1）中△ABC改为任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a时，其他条件不变，则PA，PB，PC三条线段的数量关系为_________（直接写结果）
(4)由以上你能发现圆内接四边形的四条边和对角线有什么关系？
【答案】(1)；(2)没有，理由见详解；(3)；
(4)圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和．
【详解】（1）解：，
证明：如图4，延长PB到点D，使得，连接DA，
∵为等边三角形， ∴，，
∵四边形ABPC内接于圆，∴，
∵，∴，
在和中， ，∴（SAS）∴，
∵，∴为等边三角形，∴，
∵，∴；
（2）若△ABC为等腰直角三角形，，三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系，理由如下：如图5，延长PB到点E，使得，连接AE，
∵△ABC为等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴，，
∵四边形ABPC内接于圆，∴，
∵，∴，
在和中， ，
∴（SAS）∴，，
∵，又∵，
∴，∴，
∵，∴，
∴三条线段PA，PB，PC没有（1）中的数量关系；

（3）如图6，在中，以点A为顶点，AC为边，作，点F在BC上，
∵，又∵，∴，
∴，∴，∵，，∴，
∵，，∴，
在和中， ，∴，∴，
∵，∴ ，
当AB＝c，AC＝b，BC＝a时，∴，即．
故答案为：；
（4）由（3）的结论，可知圆内接四边形的四条边和对角线的关系为：圆内接四边形中对角线的乘积等于四边形对边乘积的和．
10．（2026九年级上·江苏南京·阶段练习）是的两条弦，且．
(1)如图，若弦的延长线相交于点，求证：
小明同学：从垂径定理的角度联想到辅助线：过点作，，垂足为．
小华同学：从全等三角形的角度联想到辅助线；连接．
小刚同学：从等角对等边的角度联想到辅助线：连接．
请你从上面三位同学提供的方法选择一种完成证明．
(2)如图，若的半径为，将沿着折叠，若折叠后的过点，求的长．
(3)如图，若的半径为，，将沿着折叠，若此时，请直接写出折叠后上的一点到最小值．
【答案】(1)证明见解析(2)(3)
【详解】（1）证明：小明同学：过点作，，垂足为，连接，

∵，，，∴，
∵，∴，∴，
∵，∴，∴，即；
小华同学：连接，则由圆周角定理得，
∵，∴，∴，即，∴，
∵，∴，∴；
小刚同学：连接，
∵，∴，∴，即，
∴，即，∴；
（2）解：连接，过点作交于点，则，，
∵过点，∴点与点关于对称，∴，
∵，∴，∴；
（3）解：连接，
∵，，∴，
∵，∴，
∴，∴点三点共线，点三点共线，，
∵，∴，∴四边形是正方形，
过点作直线于，交折叠后于点，交折叠前于点，交于点，则，由图可知线段的长为出折叠后上的一点到最小值，
∵四边形是正方形，∴，，∴
由正方形性质可得，，∵，，
∴为等腰直角三角形，∴，
∴，，根据折叠可知，，
∴，∴，
∴折叠后上的一点到最小值为．
11．（2025成都·模拟预测）已知：如图，BE是⊙O的直径，BC切⊙O于H，弦ED∥OC，连接CD，并延长交BE的延长线于点A.，(1)证明：CD是⊙O的切线；(2)求证：DE·OC＝ BE2．
【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析
【详解】（1）∵EDOC，∴∠COB=∠DEO，∠COD=∠EDO，
∵OD=OE，∴∠DEO=∠EDO，∴∠COB=∠COD，
在△BCO和△DCO中，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CDO=∠CBO，
∵BC为圆O的切线，∴BC⊥OB，即∠CBO=90°，∴∠CDO=90°，
又∵OD为圆的半径，∴CD为圆O的切线；
（2）如下图，连接BD，
∵BE是⊙O的直径，∴∠BDE = 90°，∴∠BDE=∠OBC，
∵ DE//OC，∴∠BED=∠BOC，∴△BDE∽△CBO，
∴ ，∴DE·OC= BE·OB，∵OB =BE，∴DE·OC=BE2．
12．（2025·江西南昌·模拟预测）（首选几何压轴）【问题情境】学完《探索全等三角形的条件》后，老师提出如下问题：如图①，中，若，求边上中线的取值范围．通过分析、思考，小丽同学形成两种解题思路．
思路1：将绕着点D旋转，使得和重合，得到…
思路2：延长到E，使得，连接，根据可证得…
（1）根据上面任意一种解题思路，再结合三角形三边关系，我们都可以得到的取值范围为 ．
【类比探究】（2）如图②，，是的边上的中线，试探索与的数量关系，并说明理由．
【迁移应用】（3）【应用1】如图③，已知的半径为6，四边形是的圆内接四边形．，求的长．
（4）【应用2】如图④，,相交于点G，连接，若的度数发生改变，请问是否存在最小值？如果存在，则直接写出其最小值（用含a和b的式子表示），如果不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2），理由见解析（3）；（4）存在最小值，最小值为
【详解】解：（1）延长到E，使，连接，如图1，
在和中，，∴，∴，
∵，∴，∴，故答案为：；
（2），理由如下：延长至点G，使，连接，如图所示，

由作图可知，∵是边上的中线，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，∴；
（3）如图3，过点O作于点E，于点F，
由条件可知，，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴；
（4）存在最小值，最小值为，理由如下：
如图4，取的中点F，连接，延长至点H，使，连接，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，
在和中，，∴，∴，
∴点E、D、G、B四点共圆，∴，∴，
∵F为的中点，∴，
∵∴四边形是平行四边形，∴，∴，
∵，∴，∵，∴，
在和中，，∴，∴，∴，
若的度数发生改变，当点G、D、F三点在同一直线时，的值最小为．
13．（2025·广东东莞·校考模拟预测）已知在坐标系内有一圆D（如图所示），D上有两点P，Q，过这两点作圆D的切线．
(1)求证：(2)若，求证：点D在的垂直平分线上．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
【详解】（1）证明：设直线交于T，
∵是圆D的两条切线，∴，
∴，
∵，∴，
∴；

（2）解：如图所示，连接，在和中，，
∴，∴，∴点D在的垂直平分线上．
14．（2025·河南·校考二模）如图，点是等边三角形中边上的动点（），作的外接圆交于点．点是圆上一点，且，连结交于点．(1)求证：；(2)当点运动时，的度数是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求的度数．
【答案】(1)见解析 (2)当点运动时，的度数不会变化，的度数为
【详解】（1）证明：连接，如图所示，
是等边三角形，，，
，，，，
，，，，，
四边形是圆内接四边形，，
，，；
（2）解：当点运动时，的度数不会变化，理由如下：
，，，
，的度数为．
当点运动时，的度数不会变化．
15．（2026·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）如图，已知圆的直径与弦交于点，连接，且．（1）求证：（2）点为弧上一点，连接交于点，交于点，若，求证：

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【详解】解：（1）如图：连接OC、OD
∵在△AOC和△AOD中OA=OA,AC=AD,OC=OD∴△AOC≌△AOD∴∠CAO=∠DAO 又∵AC=AD∴；
（2）如图：连接OC、BC∵AB是直径∴∠ACB=90°
∵∴∠AEC=90°∴∠CAE+∠ABC =90°, ∠CAE+∠ACE =90°∴∠ACE=∠ABC
∵OC=OB∴∠OCB=∠ABC∴∠CAB+∠ABC =90°, ∠OCA+∠OCB =90°∴∠OAB=∠OCA
∵∴∠ACE=∠GWC∴∠ABC=∠GWC
∴∠OCA+∠GWC =∠OAB +∠CAB= 90°, 即OC⊥BE∴．
16．（2026·江苏·九年级期末）如图，四边形APBC内接于圆，，连接AB，PC，．
(1)是_________三角形；(2)在PC上取一点E，使，若，，求PC的长．
【答案】(1)等边(2)5
【详解】（1）∵∠APB＝120°，四边形APBC内接于圆，∴∠ACB＝60°，
∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，故答案为：等边；
（2）由（1）知，△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ABC＝∠BAC＝60°，
∴∠APC＝60°，∴△APE是等边三角形，∴AP＝AE，∠PAE＝60°，
∴∠PAB＝∠CAE，∴△PAB≌△EAC（SAS），∴PB＝EC＝2，
∵PE＝PA＝3，∴PC＝PE＋CE＝3＋2＝5．
17．（2026·江苏泰州·九年级校考期末）如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点．(1)与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明；
(2)在（1）的条件下，若，，求长．
【答案】(1)详见解析(2)
【详解】（1）当时，，如图所示：作轴，连结，

是的直径，
∵轴，
所对的圆周角为和
（2）∵在（1）的条件下，在和中，
（AAS）
18．（2025·河南驻马店·校考一模）《义务教育数学课程标准（版）》是风向标，梅老师通过查阅新课标获悉：切线长定理由“选学”改为“必学”，并新增“会过圆外的一个点作圆的切线”．在《切线的性质与判定》学习完毕后，遂命制一题：“已知：如图，及外一点P．求作：直线，使与相切于点B”．李华同学经过探索，想出了两种作法．具体如下（已知点B是直线上方一点）：
请仔细阅读，并完成相应的任务．
(1)“作法一”中的“依据”是指_______________．(2)请写出“作法二”的证明过程．
【答案】(1)直径所对的圆周角为(2)见解析
【详解】（1）∵为直径，，（直径所对的圆周角为）．
是的半径，∴直线是的切线．故答案为：直径所对的圆周角为；
（2）由作法可得，，，，
在和中，，，，．
∵是的半径，直线是的切线．
小敏的演算纸
综上所述，s的最大值为……
作法一（如图1）：
作法二（如图2）：
1．连接，作线段的垂直平分线，交于点A；
2．以点A为圆心，以的长为半径作，交于点B；
3．作直线，则直线是的切线．
1．连接，交于点M，过点M作的垂线；
2．以点O为圆心，以的长为半径作弧，交直线于点Q；
3．连接，交于点B；
4．作直线，则直线是的切线．
证明：如图1，为直径，
，（ ）
是的半径，∴直线PB是的切线．
证明：……