1.4正方形的性质与判定第1课时（教学课件）数学新教材北师大版九年级上册

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 正方形的性质与判定教学课件ppt，共24页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，情境引入，正方形，新知探究，正方形的性质定理，典例分析，巩固练习，①②③，课堂小结等内容，欢迎下载使用。
1.探索并证明正方形的性质定理 ，进一步发展推理能力；(重点)3.会应用正方形的性质定理解决相关证明及计算问题.（难点）
轴对称图形、中心对称图形
对角线互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
平行四边形、菱形、矩形的性质：
还记得正方形的定义吗？正方形与菱形有怎样的关系？与矩形呢？
探究一：正方形的性质
由正方形的定义可知，正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质.
定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等.定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
请完成这两个定理的证明.
证明：∵四边形ABCD是正方形.∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形ABCD是平行四边形.∴正方形ABCD是矩形（矩形的定义）, 正方形ABCD是菱形(菱形的定义).∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD.
1.求证：正方形的四个角都是直角,四条边相等.
证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD.
2.求证：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
定理1：正方形的四个角都是直角,四条边相等.
定理2：正方形的对角线相等且互相垂直平分.
几何语言：∵四边形ABCD是正方形, ∴∠A=∠B=∠C=∠D, AB=BC=CD=AD.
几何语言：∵四边形ABCD是正方形, ∴AC⊥BD，AC=BD, OA=OB=OC=OD.
解：BE=DF,且BE⊥DF.理由如下：（1）∵四边形ABCD是正方形.∴BC=DC,∠BCE =90° .（正方形的四条边都相等,四个角都是直角）∴∠DCF=180°-∠BCE=180°-90°=90°.∴∠BCE=∠DCF.又∵CE=CF.∴△BCE≌△DCF. ∴BE=DF.
探究二：正方形的性质定理的应用
(2)延长BE交DE于点M(如图),
∵△BCE≌△DCF ,∴∠CBE =∠CDF.∵∠DCF =90° ,∴∠CDF +∠F =90°.∴∠CBE+∠F=90° , ∴∠BMF=90°.∴BE⊥DF.
(1)要画一个菱形,则菱形的另两个顶点落在对角线 BD上,且关于 AC对称.理由如下:如图所示，连接 AC,BD,AC与 BD相交于点O.在正方形 ABCD中,AC⊥BD，AO= OC，BO=OD.∵OE= OF，AO=OC，∴四边形 AECF是平行四边形.又∵AC⊥EF，∴四边形 AECF是菱形.
(2)(答案不唯一).要画一个矩形 EFGH，则满足矩形EFGH的四个顶点到正方形ABCD两对角线交点的距离相等。理由:如图所示，由 OE=OF=OG=OH可得四边形EFGH是平行四边形，EG=FH,∴四边形EFGH是矩形。
证明:∵四边形 ABCD是正方形，∴AB= BC=DC= AD，∠B=∠D.在△ABE与△ADF中，∵∠B=∠D，AB=AD，∠BAE=∠DAF.∴△ABE ≌△ADF(ASA),∴BE= DF.∴BC-BE= DC-DF，即 CE= CF.
证明：∵ △BEC是等边三角形，∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°，∵ 四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°，∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°，∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°，∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°.
证明:∵四边形 ABCD为正方形，∴OC=OD,∠COD=90°,∠OCE=∠ODF= 45°.∵∠EOF= 90°,∴∠COE+ ∠COF=∠DOF+ ∠COF,即∠COE =∠DOF，∴△COE≌△DOF(ASA),∴CE= DF.
解：∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF.∴FC＝BE.
解：如图，连接BD交AC于点O.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，BD＝AC，OD＝OB＝OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.∴四边形BEDF为平行四边形．又∵BD⊥EF，∴四边形BEDF为菱形．∴DE＝DF＝BE＝BF.
1.必做题：习题1.4第1，2，4，6题。2.探究性作业：习题1.4第7，8题。