第二十七章 反比例函数 单元测试 2026-2027学年人教版数学九年级上册含答案

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第二十七章 反比例函数 单元测试总分：120分一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分.1．下列函数中是反比例函数的是（     ）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据反比例函数定义，形如（为常数，，）的函数为反比例函数，逐项判断即可．【详解】解：选项A：是正比例函数，不符合反比例函数定义，A错误.；∵选项B：的分母是关于的一次二项式，不符合定义形式，B错误；选项C：是二次函数，不符合反比例函数定义，C错误.；选项D：可变形为，其中，符合反比例函数的定义，D正确．2．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到答案【详解】解：∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限∴ 反比例函数的比例系数满足 解得 ∵，选项中只有，其余选项均满足∴ m的值可能为03．若函数的图象上有点，点，则下列说法正确的是（     ）A．B．C．D．【答案】A【分析】根据反比例函数解析式可以求出，的值，再比较大小即可．【详解】解：将点代入中，得，将点代入中，得，∵，∴．4．关于反比例函数，下列说法错误的是（     ）A．随着的增大而减少B．图像与坐标轴没有交点C．图像经过第一、三象限D．图像是双曲线【答案】A【分析】根据反比例函数的性质逐项判断即可．【详解】解：A：反比例函数，，只有在每个象限内，随着的增大而减少，故该选项符合题意；B：∵，，∴函数图像与坐标轴没有交点，故该选项不合题意；C：∵，∴反比例函数图像经过第一、三象限，故该选项不合题意；D：反比例函数的图像都是双曲线，故该选项不合题意．5．某闭合电路中，电源的电压为定值，电流与电阻成反比例．图中表示的是该电路中电流I与电阻R之间函数关系的图象，当电阻为时，电流I的值为（     ）A．3B．4C．5D．6【答案】B【分析】先求出反比例函数表达式，再代入求解即可．【详解】解：由题意设，则代入，得，∴，当电阻为时，．6．若正比例函数与反比例函数的一个交点为，则反比例函数的解析式为（     ）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用待定系数法求解，先根据交点在正比例函数上求出交点的完整坐标，再代入反比例函数求出参数，即可得到解析式．【详解】解：∵ 点在正比例函数上∴ 将代入，得，解得，即交点坐标为又∵ 点在反比例函数上，∴ ，∴ 反比例函数的解析式为．7．若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（     ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两种情况分类讨论得出答案．【详解】解：，分两种情况：①当时，正比例函数的图象过第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项；②当时，正比例函数的图象过第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项B符合．8．如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ）A．1B．2C．D．【答案】A【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可．【详解】解：设点A坐标为，∵点A与点B关于原点对称，∴点B坐标为，∴，即的面积为1．9．如图，直线l经过原点，且与双曲线交于A、C两点，将直线l绕点O顺时针旋转度角（）后，与双曲线交于B、D两点，则四边形的形状是（     ）A．正方形B．矩形C．菱形D．平行四边形【答案】D【分析】由于直线与双曲线都是关于原点的中心对称图形，根据对称性可得，，再由，即可判定四边形一定是平行四边形．【详解】解：如图，∵直线与双曲线是关于原点的中心对称图形，∴，，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴四边形不可能是菱形或正方形，∵只有当时，四边形是矩形，∴四边形不一定是矩形，∴四边形一定是平行四边形．10．在平面直角坐标系中，若一个点的横坐标和纵坐标互为倒数，则定义该点为“倒数点”．如：，都是“倒数点”．给出下列结论：①函数的图象上存在2个“倒数点”；②函数的图象上不存在“倒数点”；③函数的图象上存在1个“倒数点”；④若函数的图象上存在“倒数点”，则．其中正确的个数是（     ）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据“倒数点”定义，若为倒数点，则满足，即，联立各函数与，判断方程解的个数，逐个验证结论即可.【详解】解：由定义得，倒数点满足，，即， ① 联立，则，整理得，解得，∴方程有2个不同解，故存在2个倒数点，故①正确； ② 联立，， ，当时，，整理得，，解得，，正根，存在解，∴图象上存在倒数点，故②错误； ③ 联立，∴，画出函数和图象的草图如图所示：由图象知：函数和图象有唯一的交点，∴有唯一的解，∴存在1个倒数点，故③正确； ④ 联立，整理得， 当时，方程为，解得，，满足，是倒数点，此时，故④错误； 综上，正确的结论共2个.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．若反比例函数的图像经过点，则的值是____________．【答案】【分析】点在反比例函数图像上，点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解的值．【详解】解：将代入，可得，解得．12．已知点、在反比例函数的图像上，且，那么_______（填“”或“”或“”）【答案】【分析】根据反比例函数解析式判断比例系数符号，得到函数在各象限内的增减性，结合已知判断点所在象限，即可比较与的大小．【详解】解：∵反比例函数中，比例系数，∴反比例函数的图象位于第一、第三象限，且在每个象限内，随的增大而减小，∵，∴点，都在第三象限，∴．13．如图，反比例函数在第二象限的图象如图所示，点是图象上的一点，过点作轴，垂足为，若的面积为，则的值为________．【答案】【分析】先根据反比例函数图象所在的象限判断出的符号，再根据反比例函数系数的几何意义即可得出结论．【详解】反比例函数的图象的一支在第二象限，，轴，垂足为，的面积为5，，．14．机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是其载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，则当其载重后总质量时，它的最快移动速度________．【答案】4【分析】由题意易得该函数的解析式为，然后问题可求解．【详解】解：设该反比例函数的解析式为，由题意得：，∴，∴当时，则．15．如图，反比例函数的图像经过的顶点A，点B在y轴上，，，则_______．【答案】3【分析】设，过A作轴于D，证明是等腰直角三角形，得到，，利用已知条件和勾股定理求得，再利用反比例函数图像上点的坐标特征求解即可．【详解】解：设，过A作轴于D，则，，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，则，∵，，∴，即，解得，∵反比例函数的图像经过点A，∴ ．16．如图，正比例函数与反比例函数图象交于点A、B，已知点A的横坐标为1，则关于x的不等式的解集是______．【答案】 或 【分析】先利用正比例函数和反比例函数的对称性，因为两个函数的交点关于原点对称，所以由点A的横坐标为1，可得到点B的横坐标．将不等式变形为，问题转化为找正比例函数图象在反比例函数图象上方时对应的x的取值范围．结合函数图象，分和两个区间，根据两个交点的横坐标，确定满足的x的范围．【详解】解：正比例函数和反比例函数的图象都关于原点中心对称，因此它们的交点、也关于原点对称．已知点横坐标为，因此点横坐标为．，即找正比例函数值大于反比例函数值时的范围．观察图象可得：当时，正比例函数图象在反比例函数图象上方，满足；当时，正比例函数图象也在反比例函数图象上方，满足．因此不等式的解集为 或 ．17．如图，在平面直角坐标系中，点A为反比例函数图象上一点，线段于点C，交反比例函数图象于点D，连接，线段经过点A，且A为线段的中点，若的面积是15，则________ ．【答案】【分析】设，由为线段的中点，可得，，由，可得，，最后由，即可求解．【详解】解：设，∵为线段的中点，∴，，∵，∴，，∴，，，∵，∴，解得．18．如图，在反比例函数的图像上有点、、、…，它们的横坐标依次为1、2、3、4… ，分别过这些点作轴与 轴的垂线，图中所构成的涂色部分的面积从左到右依次为、、…，请用含有 的代数式表示的值___________．【答案】【分析】根据反比例函数的性质求出，再相加求和即可【详解】解：的横坐标依次为1、2、3、4…，的宽都为1，的纵坐标依次为，的高依次为，可归纳总结出的高为，故，三、解答题：本题共8小题，共66分.19．（6分）已知反比例函数的图象经过点．(1)求这个反比例函数的表达式．(2)判断点是否在这个反比例函数的图象上．【答案】(1)(2)点不在这个反比例函数的图象上【分析】（1）将点代入即可求出反比例函数表达式；（2）将点的横坐标代入解析式，解出纵坐标看是否与点一致即可．【详解】（1）将点代入，解得：，，所以反比例函数解析式是：．（3分）（2）将点的横坐标代入，解得：，，所以点不在这个反比例函数的图象上．（6分）20．（6分）已知反比例函数y=的图象经过点．(1)求的值；(2)当时，求的值；(3)当时，求的取值范围．【答案】(1)；(2)；(3)．【分析】（）把点代入解析式即可求出的值；（）把代入解析式即可求解；（）分别求出当时，当时的值，从而得出的取值范围．【详解】（1）解：将点代入得，解得，∴的值为；（2分）（2）解：由（）得，，∴反比例函数解析式为，当时，；（4分）（3）解：当时，；当时，，∵在每个象限内，随增大而减小，∴．（6分）21．（6分）公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上的两物体与支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡．后来人们把它归纳为“杠杆原理”．通俗地说，杠杆原理为：阻力×阻力臂=动力×动力臂．大伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为和．(1)求动力F关于动力臂l的函数解析式．(2)当动力臂为时，撬动石头至少需要多大的力？【答案】(1)(2)【分析】（1）根据“阻力×阻力臂=动力×动力臂”可直接进行求解；（2）由（1）可直接进行求解．【详解】（1）解：由题意得：，∴动力F关于动力臂l的函数解析式为；（3分）（2）解：由（1）可知：，∴当时，则，答：撬动石头至少需要的力．（6分）22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过点，轴于点C．(1)求反比例函数的解析式．(2)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线l（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用2B铅笔作图）．(3)（2）中所作直线l与反比例函数（）的图象交于点B，与x轴交于点D，依次连接点A，B，C，D．求证：四边形是正方形．【答案】(1)(2)解：作图如下：(3)证明：如图，设与的交点为F．∵点A的坐标为，轴，垂直平分，∴点F的坐标为，，，，在中，当时，，∴点B的坐标为，，，，∴四边形是平行四边形，，∴四边形是矩形，又，∴四边形是正方形．【分析】（1）利用待定系数法求解即可．（2）作出线段的垂直平分线l即可．（3）如图，设与的交点为F，点F的坐标为，，可得点B的坐标为，证明，结合，，，，进而可得结论．【详解】（1）解：∵反比例函数（）的图象经过点，，，∴反比例函数的解析式为．（2分）（2）略（5分）（3）略（8分）23．（8分）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题：(1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？(2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是(2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果；（2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果．【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为，将和代入解析式得，解得，∴前分钟内与的函数关系式为，∵，∴随着的增大而增大，∵当时，，∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是；（4分）（2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，，解得，设分钟后与的函数关系式为，将代入解析式得，∴，∴分钟后与的函数关系式为，当时，，解得，∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟），∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟．（8分）24．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，，，为常数．(1)求一次函数和反比例函数的关系式；(2)根据图象直接写出不等式的解集为__________；(3)点为轴上一点，若的面积为2，请直接写出点的坐标．【答案】(1)一次函数的关系式为，反比例函数的关系式为(2)或(3)或【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数的关系式，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出一次函数的关系式即可；（2）根据函数图象找到一次函数的图象在反比例函数的图象上方时自变量的取值范围即可；（3）设直线交x轴于点D，求出点D的坐标，根据建立方程求出的长即可得到答案．【详解】（1）解：把点A的坐标代入得，解得，∴反比例函数的关系式为，把点B的坐标代入得，∴，把点A和点B的坐标代入得，解得，∴一次函数的关系式为；（3分）（2）解：由（1）和函数图象可得不等式的解集为或；（6分）（3）解：如图所示，设直线交x轴于点D，在中，当时，，∴；∵，∴，∴，∴，∴点P的横坐标为或，∴点P的坐标为或．（10分）25．（10分）有这样一个问题，探究方程的实数根的个数．轩轩想起了曾经解决的一个问题：通过函数图象探究方程的实数根个数，他想到了如下的方法：由于，将方程变形成，那么方程的根也可以看作是直线与双曲线交点的横坐标；这两个图象的交点个数即是方程的实数根的个数．他类比上述方法，借助函数图象的交点个数对方程的实数根的个数进行了探究．下面是轩轩的探究过程，请补充完成：(1) 方程的根（填“是”或“不是”） ；(2)方程的根可以看作是函数 与函数 的图象交点的横坐标；(3)在同一坐标系中画出（2）中两个函数的图象；(4)观察图象可得，方程的实数根的个数是 个．【答案】(1)不是(2)；(3)见解析(4)0【分析】（1）将代入中，可知不是方程的根；（2）将原方程变形为，由此即可得出结论；（3）画出函数与函数的图象；（4）根据两函数图象交点的个数，找出方程解得个数．【详解】（1）解：当时，，∴不是方程的根．故答案为：不是．（2分）（2）解：∵方程可变形为，∴方程的根可以看作是函数与函数的图象交点的横坐标．故答案为：；．（4分）（3）解：画出两函数图象，如图所示．（7分）（4）解：观察图象可知，函数与函数的图象没有交点，∴方程的实数根的个数是0个．故答案为：0．（10分）26．（12分）定义：对于平面直角坐标系中的点和点，若将点绕点顺时针旋转后得到对应点，则称对应点为点关于旋转的“正旋点”，特别的，当时，点为点关于点的“正垂旋点”．(1)已知点的坐标为，若点的坐标为，点关于点的正垂旋点坐标是_________；点关于点旋转的正旋点坐标是_________；(2)直线的图象与轴交于点，与轴交于点．①如图1，点是该直线上一动点，若点关于点的“正垂旋点”横坐标为6，此时点的坐标为_________；②如图2，若该直线上动点关于点的“正垂旋点”为点，反比例函数的图象恰好经过点，请你求出此时点的坐标；③如图3，小明发现在第一象限的抛物线的图象上存在一点，连接，当时，请你判断点是否为点关于点旋转的“正旋点”，并说明理由．【答案】(1)，(2)①；②的坐标为或；③点不是点关于点的的“正旋点”，理由如下：如图3，过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴，设直线的解析式为，将代入得：，解得：，∴直线的解析式为，联立解析式得，解得：（舍去），，∴点的坐标为．∵，，∴，∴点不是点关于点的的“正旋点”．【分析】（1）根据新定义，利用旋转的性质得出相等的边，利用等边三角形的判定和性质以及勾股定理进行求解；（2）①假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点，根据直线解析式求出点的坐标，确定线段的长度，证明，根据对应边成比例求解；②作轴于点，轴于点，证明，得出，设点的坐标是，则，表示出的坐标为，然后代入反比例函数解析式求解即可；③过点作，且，连接交抛物线于，过点作轴于点，则，证明，得出，求出直线的解析式为，联立解析式求出点的坐标为，然后根据勾股定理求出，，进行比较即可．【详解】（1）解：∵点的坐标为，若点的坐标为，根据旋转的性质得，∴点关于点的正垂旋点坐标是；如图所示，令点为点关于点旋转的正旋点，过点作轴于点，∴为等边三角形，∴，∴，由勾股定理得，∴点关于点旋转的正旋点坐标是；（3分）（2）解：①如图1所示，假设点关于点的“正垂旋点”为点，过点作轴于点，∴，∴，∴，∴，当时，，∴，∴；当时，，解得，∴，∴；∵点的横坐标为6，∴，∴，∴，∵点是直线上一动点，∴点的横坐标为，将代入得，，∴点的坐标为；（6分）②如图所示，作轴于点，轴于点，∴，，∴，∴，∴，设点的坐标是，则，∴，，∴的坐标为，∵反比例函数的图象恰好经过点，∴，∴， 解得：．∴的坐标为或；（9分）③略（12分）