初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第一章 特殊平行四边形☆ 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形公开课教案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）第一章 特殊平行四边形☆ 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形公开课教案，共12页。
1.理解“内嵌于正方形的正八边形”的定义，掌握正八边形的核心特征．
2.经历“分析图形特征——设计作图思路——尺规操作验证”的探究过程，提升几何推理与尺规作图能力．
3.体会数学与建筑艺术的联系，培养问题解决的条理性与合作交流意识．
重点：分析内嵌正八边形的数量关系，设计尺规作图方案．
难点：理解作图方法的几何原理，规范完成尺规作图．
知识链接
前面我们学习了正多边形，回顾一下相关知识．
创设情境——见配套课件
探究点：作内嵌于正方形的正八边形
问题：（1）观察这个建筑装饰图案，你能看到哪些我们学过的几何图形？
正方形、正八边形
（2）它们的位置关系有什么特点？
正八边形在正方形内部，且部分顶点落在正方形的边上．
概念引入：如果一个正方形里面嵌套了一个正八边形，且正八边形至少有四个顶点分别在正方形的四条边上，那么我们称这个正八边形内嵌于这个正方形．
如图，正八边形ABCDEFGH内嵌于正方形MNQP，正方形边长为a．
（1）设正方形四个角上的等腰直角三角形的直角边长为x，请用含x的式子表示正八边形的边长．
（2）求x的值和正八边形的边长．
解：（1）等腰直角三角形的斜边就是正八边形的边长，
如图，在Rt△AMH中，根据勾股定理，
得AH=x2＋x2=2x．
∴正八边形的边长为2x．
（2）由（1）得AH=HG=2x，
∵正方形的一条边由两段直角边和一段正八边形的边长组成，
∴MP=MH＋HG＋GP=a，即x＋2x＋x=a．
解得x=a2＋2=（2－2）a2．
∴正八边形的边长为2x=（2－1）a．
已知正方形ABCD，请用尺规作图的方法，画出一个内嵌于它的正八边形，写出作图步骤（至少两种方法）．
解：方法一：对角线交点法（课堂常用方法）
1.作正方形ABCD的两条对角线AC、BD，交于中心O；
2.以A、B、C、D为圆心，以OA为半径画弧，分别与正方形的四条边交于两个点：
3.顺次连接这8个交点，得到正八边形EFGHIJKL．
方法二：截取等长线段法
1.设正方形边长为a，计算得角上等腰直角三角形的直角边长x=（2－2）a2；
2.以A、B、C、D为圆心，x为半径，在每条边上截取两个点；
3.顺次连接这8个点，得到正八边形．
1.若正方形边长为6，求内嵌正八边形的周长和面积．
2.如图，正八边形内嵌于正方形，已知正八边形的边长为2，求正方形的边长．






问题解决：作内嵌于正方形的正八边形
1.几何特征：轴对称、中心对称；顶点在正方形边上．
2.数量关系：设正方形边长为a，正八边形边长为（2－1）a．
3.作图步骤