高中数学人教A版 (2019)必修 第一册基本不等式第2课时教案

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1．内容要求：熟练运用基本不等式求解最值；能结合生产生活情境建立数学模型，解决实际最大、最小值问题，解题时落实一正、二定、三相等.
2．学业要求：提升数学建模、逻辑推理素养，规范应用题完整解题步骤，结合实际定义域验证等号可取性.
3．教学提示：以矩形、造价等典型实际例题为主，总结标准化解题流程，强调实际变量取值限制.
二、教学设计依据
（一）教材分析
本节课在上一课时掌握公式、最值定理的基础上，侧重实际应用.教材以矩形围栏、蓄水池造价等经典生活问题为载体，引导学生将实际最值问题转化为＂和定、积定＂的数学模型，总结出审题、建模、求解、验证、作答五步解题流程.本节内容是基本不等式知识的落地应用，衔接纯代数计算与实际场景，是高考常考题型.解题核心依旧遵循一正、二定、三相等原则，同时额外要求结合实际意义确定变量取值范围、验证等号成立条件，对学生数学建模能力提出更高要求.
（二）学情分析
学生已经掌握基本不等式公式、最值定理，能解决简单代数式最值问题，但面对实际问题时存在明显不足：一是难以从文字情境中提取数量关系、合理设置变量；二是建立函数模型后，容易忽略实际背景对变量的限制；三是解题步骤不规范，忘记验证等号成立条件.本节课通过典型例题帮助学生突破建模难点.
三、教学目标与重难点
（一）教学目标
1．回顾基本不等式(a>0，b>0)及其使用条件，熟练运用＂和定积最大、积定和最小＂求解函数最值.
2．掌握利用基本不等式解决实际应用问题的解题流程，能将生活、生产中的最值问题转化为数学模型.
（二）教学重难点
教学重点：利用基本不等式求解函数最值；运用基本不等式解决实际应用题．
教学难点：实际问题中变量设定、函数模型建立；结合实际限制条件验证等号能否成立．
四、教学准备
教师准备：准备好课件，利用课件动态展示教学内容．
学生准备：提前预习教材46-48页内容
五、教学过程设计
（一）新课导入
教师活动
1．复习提问：回顾基本不等式，说出使用的三大条件，以及＂和定积最大、积定和最小＂两个结论.
2．引导过渡：基本不等式不只是代数公式，在围栏修建、工程造价、交通规划等实际场景中都能用来求解最大、最小值.今天我们就学习利用基本不等式解决函数最值与实际应用问题.
学生活动
1．集体回答基本不等式的使用条件和最值定理.
2．结合教师引导，进入新课学习.
（二）新课讲授
例题讲评：
例3（1）用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
分析：（1）矩形菜园的面积是矩形的两邻边之积，于是问题转化为：矩形的邻边之积为定值，边长多大时周长最短．
（2）矩形菜园的周长是矩形两邻边之和的2倍，于是问题转化为：矩形的邻边之和为定值，边长多大时面积最大．
解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为x m，y m，篱笆的长度为2(x+y)m．
（1）由已知得xy=100．由，可得，所以，当且仅当x=y=10时，上式等号成立．因此，当这个矩形菜园是边长为10m的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为40m．
（2）由已知得2(x+y)=36，矩形菜园的面积为xy m2．由，可得，当且仅当x=y=9时，上式等号成立．因此，当这个矩形菜园是边长为9m的正方形时，菜园的面积最大，最大面积是81 m2．
例4某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800 m3，深为3m．如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：贮水池呈长方体形，它的高是3m，池底的边长没有确定．如果池底的边长确定了，那么水池的总造价也就确定了．因此，应当考察池底的边长取什么值时，水池的总造价最低．
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为x m，y m，水池的总造价为z元．根据题意，有．由容积为4800 m3，可得3xy=4800，
因此xy=1600．所以，当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600．所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元．
（四）课堂小结与练习
课堂练习
1.单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系，其中为安全距离，v为车速.当安全距离取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为( )
A.135B.149C.165D.195
2.石室中学“跳蚤市场”活动即将开启，学生们在该活动中的商品所卖款项将用来支持慈善事业.为了在这次活动中最大限度地筹集资金，某班进行了前期调查.若商品进货价每件10元，当售卖价格（每件x元）在时，本次活动售出的件数.若想在本次活动中筹集的资金最多，则售卖价格每件应定为__________元.
3.某蔬菜公司需要分装一批蔬菜.已知这批蔬菜只由一名男员工分装时，需要12天完成，只由一名女员工分装时，需要18天完成.为了让市民尽快吃到这批蔬菜，要求一天内分装完毕.由于现有的男、女员工人数都不足以单独完成任务，所以需要若干名男员工和若干名女员工共同分装.已知分装这种蔬菜时会不可避免地造成一些损耗.根据以往经验，这批蔬菜分装完毕后，参与任务的所有男员工会损耗蔬菜共80千克，参与任务的所有女员工会损耗蔬菜共30千克.为了让分装蔬菜的男员工的平均损耗蔬菜量（千克）与女员工的平均损耗蔬菜量（千克）之和最少，该公司应安排___________名男员工，___________名女员工共同分装这批蔬菜.
课堂小结
1．核心依据：基本不等式(a>0，b>0)，牢记一正、二定、三相等.
2．最值模型：积定和最小，和定积最大.
3．实际应用题解题五步流程：审题→设变量→建立函数模型→利用基本不等式求解→验证等号成立条件并作答.
（五）作业布置
教材第48页，1-4题