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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时教案
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册2.2 基本不等式第1课时教案，共7页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。
第1课时 基本不等式
一、教学目标
1.能从实际情境中抽象归纳出算术平均数和几何平均数的概念；发现基本不等式；
2.探索基本不等式的证明过程，学生会用比较法、综合法、分析法证明基本不等式；
3.会正确地运用基本不等式解决简单的求最大值和最小值问题；
4.通过对基本不等式从感性到直观，再到理论的认识过程，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，培养数学的理性精神.
二、教学重难点
重点：掌握基本不等式的定义，几何解释.
难点：会用基本不等式求简单的最值问题.
三、教学过程
创设情境
一顾客购买5g黄金,商家用两臂不相等的天平秤黄金（两臂长分别为m和n).售货员先将5g砝码放在右盘, ag黄金放在左盘,使天平平衡；再将5g砝码放在左盘, bg黄金放在右盘,使天平平衡；最后将两次秤的黄金的重量的算数平均数a+b2作为黄金的重量交给顾客,请问顾客是赚还是亏,还是不赚不亏?为什么?
（杠杆平衡条件：动力乘动力臂等于阻力乘阻力臂，即：am=5n，bn=5m）
师生活动：教师提问学生两次测得的黄金重量a、b如何表示？两次重量的平均重量与5比较孰大孰小？学生进行计算并回答.
设计意图：依据情境认知理论，通过生活中的称黄金问题实例设置悬念来引入，增加学生学习的兴趣，挖掘学生的好奇心和求知欲，从而顺利引入本节课.
（二）探究新知
任务1：构建基本不等式.
思考：阅读教材，完成下列问题
(1)什么是基本不等式，它是如何得到的？
(2)在基本不等式中，a、b的取值范围是多少？
(3)什么是算数平均数？什么是几何平均数？大小关系如何？
(4)根据以上问题，可以得到基本不等式的含义是什么？
答：(1)在重要不等式a2+b2≥2ab的基础上，如果a>0，b>0，用a代替a，用b代替b，则得到ab≤a+b2，当且仅当a=b时取等号.
(2)a>0，b>0.
(3)算数平均数：a+b2，几何平均数：ab；a+b2≥ab
(4)两个正数的算术平均数不小于几何平均数，即a+b2≥ab.
师生活动：教师提出问题，组织学生阅读材料独立思考，引导学生总结分析.教师可随机点名提问，其他学生进行补充、评价，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解基本不等式的构建过程.
设计意图：检查学生的变换能力，使学生了解基本不等式的形式，理解其不等号和等号成立的条件.
任务2：证明基本不等式.
思考：上面通过考察a2+b2≥2ab的特殊形式得到了基本不等式，能否直接利用不等式的性质直接推导基本不等式呢？(课件展示比较法、分析法和综合法.)
此处只展示分析法证明：
答：要证ab≤a+b2 = 1 \* GB3 ①
只要证2ab≤a+b②
要证 = 2 \∗ GB3 ②，只要证2ab−a−b≤0 = 3 \* GB3 ③
要证 = 3 \* GB3 ③，只要证−(a−b)2≤0 = 4 \* GB3 ④
要证 = 4 \* GB3 ④，只要证(a−b)2≥0 = 5 \* GB3 ⑤
显然， = 5 \* GB3 ⑤成立，当且仅当a=b时取等号，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了.
师生活动：教师引导学生体会分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.
设计意图：根据不等式的性质，利用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理与证明提供更丰富的策略方法.
思考：以上方法均是从代数角度证明不等式成立，能否从几何角度进一步解释基本不等式？
任务3：基本不等式的几何解释.
探究：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.
思考：(1)线段OD，CD长为多少？
(2)如何利用这个图形得到基本不等式的几何解释？
要求：先独立思考，再合作交流.
答：(1)由图可知，OD=a+b2，又因为△ADC~△DBC，所以利用相似比可得CD=ab.
(2)根据直角三角形三边关系可知，OD>CD，当且仅当点O与点C重合时，OD=CD，综上，所以a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立.
师生活动：学生思考后回答，教师引导学生总结：从条件和基本不等式发现圆的半径长等于a+b2，CD=ab.所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”或者说“圆中半径不小于任意一条半弦”，当且仅当弦过圆心时，二者相等.
设计意图：引导学生对图形进一步分析，发现几何平均数和算术平均数的大小关系，让学生体会不仅能以数形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论，提升逻辑推理、直观想象素养.
（三）应用举例
例1：已知x>0，求x+1x的最小值.
解：因为x>0，所以x+1x≥2x×1x=2，
当且仅当x=1x，即x2=1，x=1时，等号成立.因此所求的最小值是2.
追问1：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当x=1x，x2=1，x=1时，等号成立”？
师生活动：学生讨论后回答.
教师总结：这是为了说明“2”是x=1x的一个取值.
追问2：当y0<2，x+1x≥y0,成立吗？这时能说y0是x+1xx>0的最小值吗？
师生活动：学生思考后回答.
教师总结：不能，因为x+1x的最小值，就是要求出一个y0=x0+1x0，∀x>0，x+1x≥y0，恒成立，如果y0<2找不到对应的x可以取到y0.
追问3：通过本例的解答，满足什么条件能够利用基本不等式求最小值呢？
师生活动：学生讨论后回答.根据学生实际情况，适当的引导总结：一正二定三相等.
变形：已知x<0，则x+1x有没有最值？最值是多少？
解：根据基本不等式的应用条件，原多项式可变形为x+1x=−−x+1−x，
因为x<0，所以−x>0，
所以有−x+1−x≥2−x×1−x=2，
所以−−x+1−x≤−2，
当且仅当−x=1−x，x=−1时取等号，
所以x+1x有最大值−2.
设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断能否应用基本不等式解决问题，再次强调基本不等式求最值的适用范围是：一正二定三相等，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.
例2：已知x、y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P
（2）如果x+y和等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2
解：因为x、y都是正数，所以x+y2≥xy
当积xy等于定值P时，x+y2≥P
当且仅当x=y时，上式等号成立.于是当x=y时，和x+y有最小值2P
当x+y等于定值S时，xy≤x+y2=S2，所以xy≤14S2，
当且仅当x=y时，上式等号成立. 于是当x=y时，积xy有最大值14S2.
追问：根据上述例题可以得到什么结论？
师生活动：学生思考后回答.
教师总结：积定和最小，和定积最大.
例3：若0解：因为00，
所以y=x(2−x)≤x+2−x22=1,
当且仅当x=2−x时等号成立，
所以y=x(2−x)有最大值−1.
设计意图：进一步巩固求最大值的原则——和定积最大.
例4：若x>3，求函数y=x+9x−3的最值.
解：因为x>3，所以x−3>0，
所以y=x+9x−3=x−3+9x−3+3≥2x−39x−3+3=2×3+3=9，
当且仅当x−3=9x−3，即x=6时等号成立，
所以函数的最小值为9.
设计意图：让学生明确利用基本不等式求最小值要求两个正数的乘积为定值，如果不满足，不能直接使用基本不等式，可以进行配凑.
情境探究：解决开篇情境问题，请问顾客是亏还是赚？还是不亏不赚？为什么？
解：根据所学的基本不等式的知识可知，两次称重的平均重量a+b2为a、b的算术平均数，而实际重量ab为a、b的几何平均数，根据基本不等式的含义，可知a+b2≥ab， 即a+b2=125nm+5mn≥12×25nm×5mn=12×2×5=5=ab，当且仅当m=n时取等号，因为m≠n，所以a+b2>5，所以顾客赚了.
设计意图：利用刚学习的基本不等式来求解引入中的情境问题，体会整体替换的思想，灵活应用，培养学生的解题能力.
（四）课堂练习
1.若a+b=2，则3a+19⋅3b的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 243
解：∵a+b=2，∴3a+19⋅3b≥2 3a⋅3b−2=2 3a+b−2=2×1=2，当且仅当a=0，b=2时取得“=”，所以3a+19⋅3b的最小值是2.故选B．
2.下列函数最小值为4的是( )
A. y=x+4x(x<0)B. y=x+1x−2(x>2)
C. y=x2+10 x2+6D. y=x+9x−2
解：当x=−1时，y=x+4x=−5，故排除A．
对于B，当x>2时，x−2>0，则y=x+1x−2=x−2+1x−2+2⩾2+2=4，
当且仅当x=3时，取等号，故B正确；
令y=x2+10 x2+6=4，解得x不存在，故排除C．
对于D ，当x=−1时，y=x+9x−2=−12，显然D错误．
故选B．
3.当x>1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,3]B. [3,+∞)C. [72,+∞)D. (−∞,72]
解：令y=x+1x−1(x>1)，则x−1>0，
所以y=x−1+1x−1+1⩾2 x−1·1x−1+1=2+1=3，
当且仅当x=2时，等号成立，
由题意知a≤ymin，
所以a≤3，即a的取值范围是(−∞,3]．
故选：A．
4.已知函数f(x)=3−x−2x，则当x<0时，f(x)有( )
A. 最大值3+2 2B. 最小值3+2 2C. 最大值3−2 2D. 最小值3−2 2
解：由题意当x<0时，−x>0，
故f(x)=3+[(−x)+(−2x)]⩾3+2 2，等号成立当且仅当x=− 2；
又因为当x→−∞时，fx→+∞，故fx无最大值．
故选：B．
5.已知x>15，则5x+45x−1的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
解：因为x>15，所以5x−1>0，
所以5x+45x−1=5x−1+45x−1+1≥2 5x−1⋅45x−1+1=5，
当且仅当5x−1=45x−1，即x=35时，等号成立．
故选：B
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
（1）回顾本节课的内容，你都学到了什么？
研究代数性质的一般流程
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
第1课时 基本不等式
一、教学目标
1.能从实际情境中抽象归纳出算术平均数和几何平均数的概念；发现基本不等式；
2.探索基本不等式的证明过程，学生会用比较法、综合法、分析法证明基本不等式；
3.会正确地运用基本不等式解决简单的求最大值和最小值问题；
4.通过对基本不等式从感性到直观，再到理论的认识过程，体会从特殊到一般、数形结合的数学思想方法，培养数学的理性精神.
二、教学重难点
重点：掌握基本不等式的定义，几何解释.
难点：会用基本不等式求简单的最值问题.
三、教学过程
创设情境
一顾客购买5g黄金,商家用两臂不相等的天平秤黄金（两臂长分别为m和n).售货员先将5g砝码放在右盘, ag黄金放在左盘,使天平平衡；再将5g砝码放在左盘, bg黄金放在右盘,使天平平衡；最后将两次秤的黄金的重量的算数平均数a+b2作为黄金的重量交给顾客,请问顾客是赚还是亏,还是不赚不亏?为什么?
（杠杆平衡条件：动力乘动力臂等于阻力乘阻力臂，即：am=5n，bn=5m）
师生活动：教师提问学生两次测得的黄金重量a、b如何表示？两次重量的平均重量与5比较孰大孰小？学生进行计算并回答.
设计意图：依据情境认知理论，通过生活中的称黄金问题实例设置悬念来引入，增加学生学习的兴趣，挖掘学生的好奇心和求知欲，从而顺利引入本节课.
（二）探究新知
任务1：构建基本不等式.
思考：阅读教材，完成下列问题
(1)什么是基本不等式，它是如何得到的？
(2)在基本不等式中，a、b的取值范围是多少？
(3)什么是算数平均数？什么是几何平均数？大小关系如何？
(4)根据以上问题，可以得到基本不等式的含义是什么？
答：(1)在重要不等式a2+b2≥2ab的基础上，如果a>0，b>0，用a代替a，用b代替b，则得到ab≤a+b2，当且仅当a=b时取等号.
(2)a>0，b>0.
(3)算数平均数：a+b2，几何平均数：ab；a+b2≥ab
(4)两个正数的算术平均数不小于几何平均数，即a+b2≥ab.
师生活动：教师提出问题，组织学生阅读材料独立思考，引导学生总结分析.教师可随机点名提问，其他学生进行补充、评价，教师可适当总结补充，并引导学生进一步理解基本不等式的构建过程.
设计意图：检查学生的变换能力，使学生了解基本不等式的形式，理解其不等号和等号成立的条件.
任务2：证明基本不等式.
思考：上面通过考察a2+b2≥2ab的特殊形式得到了基本不等式，能否直接利用不等式的性质直接推导基本不等式呢？(课件展示比较法、分析法和综合法.)
此处只展示分析法证明：
答：要证ab≤a+b2 = 1 \* GB3 ①
只要证2ab≤a+b②
要证 = 2 \∗ GB3 ②，只要证2ab−a−b≤0 = 3 \* GB3 ③
要证 = 3 \* GB3 ③，只要证−(a−b)2≤0 = 4 \* GB3 ④
要证 = 4 \* GB3 ④，只要证(a−b)2≥0 = 5 \* GB3 ⑤
显然， = 5 \* GB3 ⑤成立，当且仅当a=b时取等号，只要把上面的过程倒过来，就可以直接推出基本不等式了.
师生活动：教师引导学生体会分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使他成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理）为止.
设计意图：根据不等式的性质，利用分析法证明基本不等式，同时引导学生认识分析法的证明过程和证明格式，为学生高中阶段的推理与证明提供更丰富的策略方法.
思考：以上方法均是从代数角度证明不等式成立，能否从几何角度进一步解释基本不等式？
任务3：基本不等式的几何解释.
探究：如图AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，过点C做垂直于AB的弦DE，连接AD，BD.
思考：(1)线段OD，CD长为多少？
(2)如何利用这个图形得到基本不等式的几何解释？
要求：先独立思考，再合作交流.
答：(1)由图可知，OD=a+b2，又因为△ADC~△DBC，所以利用相似比可得CD=ab.
(2)根据直角三角形三边关系可知，OD>CD，当且仅当点O与点C重合时，OD=CD，综上，所以a+b2≥ab，当且仅当a=b时，等号成立.
师生活动：学生思考后回答，教师引导学生总结：从条件和基本不等式发现圆的半径长等于a+b2，CD=ab.所以基本不等式可以利用“圆中直径不小于任意一条弦”或者说“圆中半径不小于任意一条半弦”，当且仅当弦过圆心时，二者相等.
设计意图：引导学生对图形进一步分析，发现几何平均数和算术平均数的大小关系，让学生体会不仅能以数形，寻找数量关系的几何解释，还可以通过对图形的观察分析以形识数，进而完善前面的代数结论，提升逻辑推理、直观想象素养.
（三）应用举例
例1：已知x>0，求x+1x的最小值.
解：因为x>0，所以x+1x≥2x×1x=2，
当且仅当x=1x，即x2=1，x=1时，等号成立.因此所求的最小值是2.
追问1：在上述解答过程中，是否必须说明“当且仅当x=1x，x2=1，x=1时，等号成立”？
师生活动：学生讨论后回答.
教师总结：这是为了说明“2”是x=1x的一个取值.
追问2：当y0<2，x+1x≥y0,成立吗？这时能说y0是x+1xx>0的最小值吗？
师生活动：学生思考后回答.
教师总结：不能，因为x+1x的最小值，就是要求出一个y0=x0+1x0，∀x>0，x+1x≥y0，恒成立，如果y0<2找不到对应的x可以取到y0.
追问3：通过本例的解答，满足什么条件能够利用基本不等式求最小值呢？
师生活动：学生讨论后回答.根据学生实际情况，适当的引导总结：一正二定三相等.
变形：已知x<0，则x+1x有没有最值？最值是多少？
解：根据基本不等式的应用条件，原多项式可变形为x+1x=−−x+1−x，
因为x<0，所以−x>0，
所以有−x+1−x≥2−x×1−x=2，
所以−−x+1−x≤−2，
当且仅当−x=1−x，x=−1时取等号，
所以x+1x有最大值−2.
设计意图：引导学生根据所求代数式的形式，判断能否应用基本不等式解决问题，再次强调基本不等式求最值的适用范围是：一正二定三相等，同时强调代数式的最值必须是代数式能取到的值，为学生求解代数式的最值问题提供示范.
例2：已知x、y都是正数，求证：
（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P
（2）如果x+y和等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2
解：因为x、y都是正数，所以x+y2≥xy
当积xy等于定值P时，x+y2≥P
当且仅当x=y时，上式等号成立.于是当x=y时，和x+y有最小值2P
当x+y等于定值S时，xy≤x+y2=S2，所以xy≤14S2，
当且仅当x=y时，上式等号成立. 于是当x=y时，积xy有最大值14S2.
追问：根据上述例题可以得到什么结论？
师生活动：学生思考后回答.
教师总结：积定和最小，和定积最大.
例3：若0
所以y=x(2−x)≤x+2−x22=1,
当且仅当x=2−x时等号成立，
所以y=x(2−x)有最大值−1.
设计意图：进一步巩固求最大值的原则——和定积最大.
例4：若x>3，求函数y=x+9x−3的最值.
解：因为x>3，所以x−3>0，
所以y=x+9x−3=x−3+9x−3+3≥2x−39x−3+3=2×3+3=9，
当且仅当x−3=9x−3，即x=6时等号成立，
所以函数的最小值为9.
设计意图：让学生明确利用基本不等式求最小值要求两个正数的乘积为定值，如果不满足，不能直接使用基本不等式，可以进行配凑.
情境探究：解决开篇情境问题，请问顾客是亏还是赚？还是不亏不赚？为什么？
解：根据所学的基本不等式的知识可知，两次称重的平均重量a+b2为a、b的算术平均数，而实际重量ab为a、b的几何平均数，根据基本不等式的含义，可知a+b2≥ab， 即a+b2=125nm+5mn≥12×25nm×5mn=12×2×5=5=ab，当且仅当m=n时取等号，因为m≠n，所以a+b2>5，所以顾客赚了.
设计意图：利用刚学习的基本不等式来求解引入中的情境问题，体会整体替换的思想，灵活应用，培养学生的解题能力.
（四）课堂练习
1.若a+b=2，则3a+19⋅3b的最小值是( )
A. 1 B. 2 C. 2 3 D. 243
解：∵a+b=2，∴3a+19⋅3b≥2 3a⋅3b−2=2 3a+b−2=2×1=2，当且仅当a=0，b=2时取得“=”，所以3a+19⋅3b的最小值是2.故选B．
2.下列函数最小值为4的是( )
A. y=x+4x(x<0)B. y=x+1x−2(x>2)
C. y=x2+10 x2+6D. y=x+9x−2
解：当x=−1时，y=x+4x=−5，故排除A．
对于B，当x>2时，x−2>0，则y=x+1x−2=x−2+1x−2+2⩾2+2=4，
当且仅当x=3时，取等号，故B正确；
令y=x2+10 x2+6=4，解得x不存在，故排除C．
对于D ，当x=−1时，y=x+9x−2=−12，显然D错误．
故选B．
3.当x>1时，不等式x+1x−1≥a恒成立，则实数a的取值范围是( )
A. (−∞,3]B. [3,+∞)C. [72,+∞)D. (−∞,72]
解：令y=x+1x−1(x>1)，则x−1>0，
所以y=x−1+1x−1+1⩾2 x−1·1x−1+1=2+1=3，
当且仅当x=2时，等号成立，
由题意知a≤ymin，
所以a≤3，即a的取值范围是(−∞,3]．
故选：A．
4.已知函数f(x)=3−x−2x，则当x<0时，f(x)有( )
A. 最大值3+2 2B. 最小值3+2 2C. 最大值3−2 2D. 最小值3−2 2
解：由题意当x<0时，−x>0，
故f(x)=3+[(−x)+(−2x)]⩾3+2 2，等号成立当且仅当x=− 2；
又因为当x→−∞时，fx→+∞，故fx无最大值．
故选：B．
5.已知x>15，则5x+45x−1的最小值为( )
A. 4B. 5C. 6D. 7
解：因为x>15，所以5x−1>0，
所以5x+45x−1=5x−1+45x−1+1≥2 5x−1⋅45x−1+1=5，
当且仅当5x−1=45x−1，即x=35时，等号成立．
故选：B
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固所学知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
（1）回顾本节课的内容，你都学到了什么？
研究代数性质的一般流程
设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识.
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