必修 第一册2.2 基本不等式第2课时教学设计及反思

这是一份必修 第一册2.2 基本不等式第2课时教学设计及反思，共8页。教案主要包含了教学目标，教学重难点，教学过程等内容，欢迎下载使用。

第2课时 基本不等式求最值问题

一、教学目标
1. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养；
2. 通过实例，掌握基本不等式及应用，通过实例探究抽象出基本不等式，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；
3. 会利用基本不等式求解实际问题中的最值，强化数学运算的核心素养；
4. 通过对基本不等式的学习，体会数学来源于生活，最终也服务于生活，提高学习数学的兴趣.

二、教学重难点
重点：利用基本不等式求最值；利用基本不等式解决实际应用问题．
难点：基本不等式的应用；基本不等式求最值．

三、教学过程
（一）创设情境
通过提问的方式依次让学生回答问题上节课学习基本不等式的内容.
师生活动：教师提问方式可以随机抽取学生点对点的回答，大众提问学生积极举手回答或者学生集体回答：1.基本不等式的内容；2.基本不等式的代数意义；3.基本不等式的几何意义；4.基本不等式解决什么问题？使用的时候主要注意什么条件？等问题，引发学生对基本不等式在解决最值问题时，什么情况有最小值，什么情况有最大值，在应用的时候需要注意什么等问题思考，学生积极讨论.
答：基本不等式：ab≤a+b2(a>0，b>0)；
已知x,y都是正数，则：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P.
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2
设计意图：回顾新知，对基本不等式的形式加强记忆以及对其使用条件的熟悉，初步了解解决问题的思路和方向, 为接下来的探究作铺垫.
（二）探究新知
任务1：探究变形构造基本不等式.
思考1：利用基本不等式解决下列问题：（1）已知0师生活动：教师可以给以提示：x和（9−3x）满足求两个正数积的最大值的条件吗？该如何变形呢？并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
说一说：变形技巧1：凑系数，由00，所以x9−3x=3x3−x
≤3×x+3−x22=3×94= 274当且仅当x=3−x，即x=32时等号成立.所以x（9−3x）的最大值为274.
思考2：利用基本不等式解决下列问题：已知x>65，求6x−2+46x−5的最小值.
师生活动：教师可以给以提示：6x−2和46x−5满足求两个正数和的最小值的条件吗？该如何变形呢？并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结.
说一说：变形技巧2：凑项法；由x>65得，6x−5>0，46x−5>0
所以6x−2+46x−5=（6x−5）+46x−5+3≥2·（6x−5）+46x−5+3=4+3=7
当且仅当6x−5=46x−5，即x=76时等号成立.所以6x−2+46x−5的最小值为7.
总结：通过变形构造定值的方法；所求式子不满足“和为定值”或“积为定值”； 变形构造定值，常见方法：凑系数法、凑项法等. 基本不等式：ab≤a+b2(a>0，b>0).
设计意图：体现以学生为主体的教育理念，让学生以小组为单位进行充分的思考与讨论，题目有针对性的考察了基本不等式的运用;通过学生展示，让学生充当小老师，从自己的角度理解和应用基本不等式，同时也锻炼了学生的语言表达能力，培养了学生逻辑推理的核心素养.
任务2：探究基本不等式的实际应用.
思考3：用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？
师生活动：教师可以给以提示：设相邻的两边长分别为xm与ym，那么题中定值、不确定的是什么呢？并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结：定值：两邻边的积为xy；不确定的：周长2x+2y的值.
教师可以根据课堂情况再继续接着提示题中问题转化为：两正数x,y的积xy是定值，求它们的和x+y的最小值.
答：设相邻的两边长分别为xm与ym，则xy=100，
所以x+y≥2xy=20，2（x+y）≥40，当且仅当x=y=10时取等号.所以当这个矩形的边长均为10m，所用篱笆最短，最短篱笆的长度是40m.
思考4：用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
师生活动：教师可以给以提示：设设相邻的两边长分别为xm与ym，那么题中定值、不确定的是什么呢？
并且分好组；学生活动合作探究：1.先独立思考；2.小组内交流讨论；3.以小组为单位进行汇报.最后老师总结：定值：周长2(x+y) ；不确定的：面积xy的值.
教师可以根据课堂情况再继续接着提示题中问题转化为：题中问题转化为：两正数x,y的和x+y是定值，求它们的积xy的最大值.
答：设相邻的两边长分别为xm与ym，则2（x+y）=36，即x+y=18，所以xy≤(x+y2)2=(182)2=81，当且仅当x=y=9时取等号.所以当这个矩形的边长均为9m，菜园的面积最大,最大面积是81m2.
思考4：在上面的两个问题中？仅设一个未知数，能解出来吗？
答：（1）设一边为x，另一边为100x；（2）设一边为x，另一边为18−x. 再利用和回顾，已知x,y都是正数，则：（1）如果积xy等于定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2P.
（2）如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2，即可解答.
总结：通过对实际问题的分析与解答，尝试总结出用基本不等式解决问题的步骤.
1．列式：从实际问题中抽象出数量关系，列出代数式；
2．建模：问题是否与基本不等式的数学模型相匹配；
3．求解：用“一正、二定、三相等”的方法运算求解；
4．结论：用求得的结果解释实际问题.
设计意图： 典型的能够用基本不等式求最值的问题，通过提升演练，让学生进一步地掌握基本不等式的实际运用，体现“以学为重、以用为本”的教育教学理念.在思考和分析中，培养学生从较为复杂的实际问题情境中抽象出数学问题，并将能将问题转化为所掌握的基不等式模型求解，体会解决实际问题的方法，形成解决问题的一般思路，提升学生数学建模的素养．
（三）应用举例
例1 已知a>0,b>0,2a+b−3=0，则12a+1+1b的最小值为( )
解：因为2a+b−3=0，可得2a+14+b4=1，
且a>0，b>0，可知2a+1>0，
则12a+1+1b=(2a+14+b4)(12a+1+1b)=12+b4(2a+1)+2a+14b≥12+2 b4(2a+1)·2a+14b=1，
当且仅当b4(2a+1)=2a+14b，即a=12，b=2时，等号成立，
所以12a+1+1b的最小值为1．
总结：利用“1”的代换构造积为定值的形式，一般形如ax+by为定值，求cx+dy的最值，或已知ax+by为定值，求cx+dy的最值（其中a，b，c，d均为常参数）时可用常值代换处理.
例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m³，深为3m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，那么怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
解：设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为xm，ym，水池的总造价为z元．
根据题意，有z=150xy+120(2×3x+2×3y)=240000+720(x+y)．
由容积为4800m3，可得3xy=4800，
因此xy=1600．所以z≥240000+720×2 xy，
当x=y=40时，上式等号成立，此时z=297600．
所以，将贮水池的池底设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
设计意图：考察了学生独立完成利用基本不等式数学模型解决实际应用问题的能力, 检验学生的学习情况, 引导学生用基本不等式模型去理解和识别问题中的数量关系，时刻留意基本不等式的使用条件和注意事项，控制难度，逐步培养学生用数学模型解决问题的能力．
（四）课堂练习
1.已知x，y都是正实数，则下列结论正确的是( )
A. xy+yx≥2B. (x+y)1x+1y≥4
C. x+y≥1+xyD. x2+y2≥2(x+y−1)
解：因为x，y都是正实数，
对于A、xy+yx⩾2 xy·yx=2，当且仅当x=y时取等号，故A正确；
对于B、(x+y)(1x+1y)=2+yx+xy⩾2+2 yx·xy=4，当且仅当x=y时取等号，故B正确；
对于C、取x=y=2，则x+y=4，1+xy=5，此时x+y<1+xy，故C错误；
对于D、因为x2+y2−2(x+y−1)=x−12+y−12⩾0，故x2+y2≥2(x+y−1)，故D正确．
2.已知正数a,b满足4a+b+ab=5，则下列结论正确的是( )
A. ab的最大值为1B. 4a+b的最小值为4
C. 16a2+b2的最小值为9D. 1a+1+1b的最小值为109
解：A选项：由题意得：4a+b=5−ab (a>0,b>0)，
由基本不等式得：4a+b⩾4 ab，
当且仅当4a=b时，等号成立．
∴5−ab⩾4 ab，
即( ab+5)( ab−1)⩾0，
解得： ab⩾1，故A选项正确;
B选项：由题意得：5−4a−b=ab (a>0,b>0)，
由基本不等式得：
ab=14·4a·b⩽14(4a+b2)2
当且仅当4a=b时，等号成立．
∴5−4a−b⩽ 14(4a+b2)2，
即(4a+b+20)(4a+b−4)⩾0，
解得：4a+b⩾4，故选项B正确；
C选项：16a2+b2=(4a+b)2−8ab
⩾(4a+b)2−8·14(4a+b2)2
=(4a+b)22⩾8,
当且仅当4a=b时，等号成立．
故选项C错误；
D选项：由题意得：(a+1)(b+4)=9 (a>0,b>0)，
所以1a+1= b+49，
所以1a+1+1b=b+49+1b
=b9+1b+49
⩾23+49=109，
当且仅当b9=1b，即b=3时，等号成立，故D正确．
故选ABD．
3.若正实数x，y满足3x+12y−2xy=0，则2x+y的最大值为( )
A. 427B. 13C. 227D. 127
解：∵x>0，y>0，3x+12y−2xy=0，
∴ 3y+12x=2，
∴ x+y=(x+y)(3y+12x)×12
=(3xy+12+3+12yx)×12
⩾(2 3xy×12yx+15)×12=272，
当且仅当3xy=12yx，即x=9，y=92时等号成立，
∴ 2x+y⩽427．
故选：A．
4. (1)已知x>0，求4−2x−2x的最大值；
(2)已知a，b>0，a+2b=1，求1a+1b的最小值．
解：(1)当x>0时，4−2x−2x=4−2(x+1x)≤4−2×2 x⋅1x=0，当且仅当x=1时取等号，
所以当x=1时，4−2x−2x取得最大值0；
(2)由a，b>0，a+2b=1，得1a+1b=(a+2b)(1a+1b)=3+2ba+ab≥3+2 2ba⋅ab=3+2 2，
当且仅当2ba=ab，即a= 2b= 2−1时取等号，
所以当a= 2−1,b=1− 22时，1a+1b取得最小值3+2 2．
5.设矩形ABCD(AB>AD)的周长为20cm，把△ABC沿AC向ΔADC折叠，AB折过去后交DC于点P，设AB=x cm, DP=y cm
(Ⅰ)用x的代数式表示y，并写出x的取值范围；
(Ⅱ)求△ADP的最大面积及相应x的值．
解： (Ⅰ)如图
∵AB=xcm，由矩形ABCD(AB>AD)的周长为20cm，
可知AD=(10−x)cm.设PC=acm，则DP=(x−a)cm，
∵∠APD=∠CPB'，∠ADP=∠CB'P=90∘，AD=CB'，
∴Rt△ADP≌Rt△CB'P，
∴AP=PC=acm．
在Rt△ADP中，由勾股定理得A∩2+DP2=AP2，
即(10−x)2+(x−a)2=a2，
解得a=x2−10x+50x
所以y=DP=x−a=x−x2−10x+50x=10x−50x(5 即y=10x−50x(5 (Ⅱ)△ADP的面积为S=12AD⋅DP=12(10−x)⋅10x−50x=5[−x2+15x−50x=5[−(x+50x)+15]由基本不等式与不等式的性质，得S≤5×(−2 x⋅50x+15)=75−50 2，当且仅当x=50x时，即当x=5 2时，△ADP的面积最大，面积的最大值为(75−50 2)cm2
6.某单位决定投资3200元建一长方体仓库，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米造价40元，两侧墙砌砖，每米造价45元，顶部每平方米造价20元，设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米．
(1)写出x与y的关系式；
(2)求出仓库面积S的最大允许值是多少？为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？
解：(1)由于铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，由题意可得40x+2×45y+20xy=3200，
即4x+9y+2xy=320，化简得y=320−4x2x+9，由x>0且y>0，可得0所以x与y的关系式为y=320−4x2x+9(0 (2)S=xy=x⋅320−4x2x+9=x⋅338−2(2x+9)2x+9=x⋅(3382x+9−2)=338x2x+9−2x
=169(2x+9)−169×92x+9−2x=169−2x−169×92x+9=178−(2x+9)−169×92x+9
=178−[(2x+9)+169×92x+9]≤178−2 (2x+9)⋅169×92x+9=100，
当且仅当2x+9=169×92x+9，即x=15，y=203时，等号成立．
因此，仓库面积S的最大允许值是100平方米，此时正面铁栅长应设计为15米.
设计意图：通过课堂练习，让学生反复巩固基本不等式的相关知识，能够灵活运用.
（五）归纳总结
【课堂小结】回顾本节课所学内容，回答下列问题：
设计意图：通过对之前知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点知识内容.