第五章　三角函数 单元测试-试题（含答案）-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

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第五章　三角函数全卷满分150分　考试用时120分钟一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知扇形的弧长为2,面积为1,则扇形的圆心角的弧度数是(　　)A.4　　B.2　　C.14　　D.122.函数f(x)=ex+e-x4·sin πx在区间[-3,3]上的图象大致为(　　)　　　　3.已知函数f(x)=tanπ4-2x,则下列说法正确的是(　　)A.函数f(x)的单调递增区间是-π8+kπ2,3π8+kπ2(k∈Z)B.函数f(x)的图象的对称中心是π8+kπ2,0,k∈ZC.∀a∈R,直线y=a与函数y=f(x)图象的两个相邻交点之间的距离是πD.函数y=|f(x)|的图象的对称轴是直线x=π8+kπ4,k∈Z4.将函数f(x)=sinωx+π3(ω>0)的图象上所有的点向右平移π4个单位长度,或者向左平移3π4个单位长度,两者的图象完全重合,则ω的最小值是(　　)A.12　　B.1　　C.2　　D.35.已知sinα+π6=35,那么cos2α-2π3=(　　)A.-45　　B.45　　C.-725　　D.7256.已知f(x)=sin ωx+cos ωx,ω>0.若存在x1,x2∈0,π2,且x10)的图象与直线y=32相邻的三个交点,且BC-AB=π3, f-π12=0,则(　　)A.ω=4B. f9π8=12C.函数f(x)在π3,π2上单调递减D.若将函数f(x)的图象沿x轴平移θ个单位长度,得到一个偶函数的图象,则|θ|的最小值为π24三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)12.方程lg(3sin x)=lg(cos x)的解构成的集合为　　　　　　　. 13.《九章算术》是中国古代的数学名著,其中《方田》一章涉及弧田面积的计算问题,如图所示,弧田是由弧AB和弦AB所围成的阴影部分.若弧田所在扇形的圆心角为2π3,扇形的弧长为2π,则此弧田的面积为　　　　. 14.已知ω∈N*,函数f(x)=sinωx+π6在π4,π3上单调递减,则ω的可能取值的个数为　　　　. 四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15.(13分)已知　　　　.请从下列两个条件中任选一个作答. 条件①:角α的顶点在坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边与圆心在原点的单位圆交于点Mx,55;条件②:角α满足3sin2α-2cos2α+1=0.(1)求tan α的值;(2)求sin αcos α-sin2α的值.注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.16.(15分)某地区近几年每年的生猪收购价格每四个月会重复出现,但生猪养殖成本逐月递增.下表是今年1月到4月的统计情况:现打算从以下两个函数模型:①y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0,-π0,|φ|3时, f(x)>2.(1)求fcosπ2025+fcos2π2025+fcos3π2025+…+ fcos2024π2025的值;(2)证明: f(x)在R上单调递增;(3)设θ为锐角,求12f(12+4cos 4θ)-f12+14tan2θ+tan2θ4的最大值.参考答案1.B　设扇形的圆心角为α rad,则半径为2α,所以扇形的面积为12×2×2α=1,可得α=2.2.B　∀x∈[-3,3],都有-x∈[-3,3],且f(-x)=e-x+ex4·sin(-πx)=-ex+e-x4·sin πx=-f(x),所以函数y=f(x),x∈[-3,3]为奇函数,其图象关于原点对称,排除A和C;当20,所以f(x)=ex+e-x4·sin πx>0,排除D.3.D　对于A,函数f(x)=tanπ4-2x=-tan2x-π4,因为tan2x-π4在每个单调区间内是递增的,所以f(x)在每个单调区间内是递减的,不存在单调递增区间,因此A错误;对于B,令2x-π4=kπ2,k∈Z,得x=π8+kπ4,k∈Z,所以函数f(x)的图象的对称中心是π8+kπ4,0,k∈Z,因此B错误;对于C,函数f(x)的最小正周期T=π2,所以直线y=a与函数y=f(x)图象的两个相邻交点之间的距离是π2,因此C错误;对于D,易知y=|tan x|的图象的对称轴方程是x=kπ2,k∈Z,令2x-π4=kπ2,k∈Z,得x=π8+kπ4,k∈Z,因此D正确.4.C　将函数f(x)的图象上所有的点向右平移π4个单位长度,可得y1=sinωx-π4+π3=sinωx-ωπ4+π3的图象,将函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度,可得y2=sinωx+3ωπ4+π3的图象,两个函数图象完全重合,即sinωx-ωπ4+π3=sinωx+3ωπ4+π3,可得ωx+3ωπ4+π3-ωx-ωπ4+π3=2kπ,k∈Z,解得ω=2k,k∈Z,因为ω>0,所以当k=1时,ωmin=2,即ω的最小值是2.考场速决　依题意得3π4+π4=π是函数f(x)的最小正周期的整数倍,即k×2πω=π,k∈Z,因此ω=2k(k∈Z),又ω>0,所以ω的最小值是2.5.C　解法一:因为sinα+π6=sinπ2+α-π3=cosα-π3=35,所以cos2α-2π3=cos2α-π3=2cos2α-π3-1=2×352-1=-725.解法二:设β=α+π6,则α=β-π6,且sin β=35,因此cos2α-2π3=cos2β-π6-2π3=cos(2β-π)=-cos 2β=-(1-2sin2β)=-725.6.B　f(x)=sin ωx+cos ωx=2sinωx+π4,∴f(x)max=2, f(x)min=-2,若存在x1,x2∈0,π2,且x10,∴tan Btan C-1>0,∴10时,y=f(x)与y=λln x的图象至少有4个交点.画出函数y=f(x)的图象,如图所示.由图可知,当λ>0时,只需λln 5≤1,解得00,所以f(x2)>f(x1),所以f(x)在R上单调递增.(8分)(3)设u(θ)=f(12+4cos 4θ)-2f12+14tan2θ+tan2θ4,由f(x)+f(y)=f(x+y+1)得2f12+14tan2θ+tan2θ4=f2+12tan2θ+tan2θ2,所以u(θ)=f(12+4cos 4θ)-f2+12tan2θ+tan2θ2=f4cos4θ-12tan2θ-tan2θ2+9,(11分)设h(θ)=4cos 4θ-12tan2θ-tan2θ2+9,则h(θ)=4cos 4θ-cos2θ2sin2θ-sin2θ2cos2θ+9=4cos 4θ-sin4θ+cos4θ2sin2θcos2θ+9=4cos 4θ-(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ2sin2θcos2θ+9=4cos 4θ-12sin2θcos2θ+10=4(1-2sin22θ)-2sin22θ+10=14-24sin22θ+1sin22θ,因为θ为锐角,所以θ∈0,π2,所以2θ∈(0,π),所以sin 2θ∈(0,1].由基本不等式可得4sin22θ+1sin22θ≥24sin22θ·1sin22θ=4,当且仅当sin 2θ=22,即θ=π8或θ=3π8时取“=”,所以h(θ)≤14-2×4=6.(14分)由于f(x)单调递增,所以u(θ)=f(h(θ))≤f(6),故u(θ)的最大值为f(6),由已知得f(5)=f(1+3+1)=f(1)+f(3)=1+2=3,所以f(2)+f(2)=f(2+2+1)=f(5)=3,则f(2)=32,所以f(6)=f(2+3+1)=f(2)+f(3)=32+2=72,所以u(θ)的最大值为72,所以12f(12+4cos 4θ)-f12+14tan2θ+tan2θ4的最大值为74.(17分)月份1234收购价格(元/斤)8987养殖成本(元/斤)55.5866.32