2020-2021学年第五章 三角函数本章综合与测试学案

这是一份2020-2021学年第五章 三角函数本章综合与测试学案，共6页。

1．函数y＝－2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x－\f(π,6)))的最小正周期是( )
A．3π B.eq \f(4π,3) C.eq \f(3π,4) D.eq \f(π,3)
答案 B
解析 ∵ω＝eq \f(3,2)，∴T＝eq \f(2π,\f(3,2))＝eq \f(4π,3).
2．函数y＝sin πx的图象两相邻对称轴间的距离为( )
A．π B．2π C．1 D．2
答案 C
解析 函数y＝sin πx的图象两相邻对称轴间的距离为eq \f(T,2)，
又T＝eq \f(2π,π)＝2，∴eq \f(T,2)＝1.
3．函数y＝－xcs x的部分图象是( )
答案 D
解析 令y＝f(x)，因为f(x)的定义域为R，f(－x)＝－(－x)cs(－x)＝xcs x＝－f(x)，所以函数y＝－xcs x是奇函数，它的图象关于原点对称，所以排除A，C选项；因为当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，y＝－xcs x<0，所以排除B选项．
4．若函数y＝sin(x＋φ)的一个对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，则函数y＝cs(x＋φ)的一条对称轴为( )
A．x＝－eq \f(π,3) B．x＝eq \f(π,6) C．x＝eq \f(π,4) D．x＝eq \f(π,3)
答案 B
解析 ∵函数y＝sin(x＋φ)的对称中心和y＝cs(x＋φ)的对称轴在一条直线上，
∴若y＝sin(x＋φ)的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))，
则函数y＝cs(x＋φ)的一条对称轴为x＝eq \f(π,6).
5．(多选)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，则下列关于函数f(x)说法中不正确的是( )
A．最小正周期为T＝2π
B．图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))对称
C．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,8)))上为减函数
D．图象关于直线x＝eq \f(π,8)对称
答案 ABC
解析 对于函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))，它的最小正周期为eq \f(2π,2)＝π，故A不正确；
令x＝eq \f(π,8)，可得f(x)＝1，故函数的图象关于直线x＝eq \f(π,8)对称，不满足图象关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))对称，故D正确，且B不正确；
当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,8)))时，2x＋eq \f(π,4)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，函数f(x)单调递增，故C不正确．
6．函数y＝sin(x＋π)，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))的单调递增区间为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
解析 因为y＝sin(x＋π)＝－sin x，
所以，即求y＝sin x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的单调递减区间，
易知为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
所以y＝sin(x＋π)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，π))上的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π)).
7．函数y＝2sin(3x＋φ)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(|φ|<\f(π,2)))图象的一条对称轴为直线x＝eq \f(π,12)，则φ＝________.
答案 eq \f(π,4)
解析 由y＝2sin(3x＋φ)的对称轴为x＝eq \f(π,12)(k∈Z)，
可知3×eq \f(π,12)＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，
解得φ＝kπ＋eq \f(π,4)(k∈Z)，
又|φ|所以k＝0，故φ＝eq \f(π,4).
8．设函数f(x)＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(π,6)))(ω>0)．若f(x)≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立，则f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝________，ω的最小值为________．
答案 1 eq \f(2,3)
解析 ∵f(x)≤f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))对任意的实数x都成立，
∴当x＝eq \f(π,4)时，f(x)取得最大值1.
即f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)ω－\f(π,6)))＝1，
∴eq \f(π,4)ω－eq \f(π,6)＝2kπ，k∈Z，
∴ω＝8k＋eq \f(2,3)，k∈Z.
∵ω>0，∴当k＝0时，ω取得最小值eq \f(2,3).
9．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的最小正周期为π，图象过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\r(2))).
(1)求函数f(x)图象的对称中心；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
解 (1)由已知得π＝eq \f(2π,ω)，解得ω＝2.
将点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\r(2)))代入解析式，得eq \r(2)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,4)＋φ))，
可知cs φ＝eq \f(\r(2),2)，
由0<φ<π可知φ＝eq \f(π,4)，于是f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).
令2x＋eq \f(π,4)＝kπ(k∈Z)，解得x＝eq \f(kπ,2)－eq \f(π,8)(k∈Z)，
于是函数f(x)图象的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)－\f(π,8)，0))(k∈Z)．
(2)令－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，
解得－eq \f(3π,8)＋kπ≤x≤eq \f(π,8)＋kπ(k∈Z),
于是函数f(x)的单调递增区间为
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(3π,8)＋kπ，\f(π,8)＋kπ))(k∈Z)．
10．已知sin x＋sin y＝eq \f(1,3)，求M＝sin x－cs2y的取值范围．
解 由题意，得sin x＝eq \f(1,3)－sin y．由sin x∈[－1,1]，
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－1≤\f(1,3)－sin y≤1，,－1≤sin y≤1.))解得－eq \f(2,3)≤sin y≤1.
所以M＝eq \f(1,3)－sin y－cs2y＝sin2y－sin y－eq \f(2,3)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin y－\f(1,2)))2－eq \f(11,12)，则当sin y＝eq \f(1,2)时，Mmin＝－eq \f(11,12)；
当sin y＝－eq \f(2,3)时，Mmax＝eq \f(4,9).
故所求取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(11,12)，\f(4,9))).
11．函数f(x)＝eq \f(sin x1－sin x,1－sin x)是( )
A．奇函数
B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数
D．非奇非偶函数
答案 D
解析 由题意，知sin x≠1，即f(x)的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))，此函数的定义域不关于原点对称，∴f(x)是非奇非偶函数．
12．下列函数中，周期为π，且在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减的是( )
A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2))) B．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))
C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2))) D．y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,2)))
答案 A
解析 周期为π，排除C，D，
y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝cs 2x，令t＝2x，∴y＝cs t，当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，t∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，又y＝cs t在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递减，
故y＝cs 2x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))上单调递减，故A正确．
13．已知函数y＝sin ωx(ω>0)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为( )
A.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，1)) B.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(1,3)))
C.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3))) D.eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,6)，\f(2,3)))
答案 A
解析 由题意知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(π,2ω)≥\f(π,2)，,3ωπ＝kπ，))即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(0<ω≤1，,ω＝\f(k,3)，))其中k∈Z，则ω＝eq \f(1,3)，ω＝eq \f(2,3)或ω＝1，即ω的取值集合为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)，\f(2,3)，1)).
14．在(0,2π)内使sin x>|cs x|成立的x的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(3π,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,4)，\f(7π,4)))
答案 A
解析 ∵sin x>|cs x|，∴sin x>0，∴x∈(0，π)．
在同一坐标系中画出y＝sin x，x∈(0，π)与y＝|cs x|，x∈(0，π)的图象，如图．
观察图象易得使sin x>|cs x|成立的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4)))，
故x的取值范围是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(3π,4))).
15．已知y＝sin ωx(ω>0)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(π,3)))上单调，则ω的取值范围为________．
答案 eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3,2)))
解析 由y＝sin ωx(ω>0)的图象(图略)知eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(T,4)≥\f(π,4)，,\f(T,4)≥\f(π,3)，))
即T≥eq \f(4π,3)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2π,ω)≥\f(4π,3)，,ω>0，))解得0<ω≤eq \f(3,2).
16．已知函数f(x)＝.
(1)求f(x)定义域和值域；
(2)判断奇偶性与周期性；
(3)写出单调区间．
解 (1)由sin x≠0得定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，
又0<|sin x|≤1，所以值域为[0，＋∞)．
(2)由(1)知，定义域关于原点对称，
又f(－x)＝＝＝f(x)，
所以f(x)是偶函数．
又T＝π时，f(x＋T)＝＝f(x)，
所以f(x)是周期函数，且T＝π.
(3)因为y＝|sin x|的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)，单调递减区间是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)，
所以f(x)＝的单调递增区间是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)，单调递减区间是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)．