高一数学第5章 三角函数（单元测试·培优卷）（答案及评分标准）高一数学同步培优学案（人教A版2019必修第一册）

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2025-2026学年高一数学单元测验卷第5章 三角函数参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12． / 2013． 0 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）【答案】(1)(2)【分析】（1）利用辅助角公式化简函数式，结合三角函数的周期性可计算参数并求值；（2）根据三角函数图像变换先得解析式，再利用正弦函数的性质计算值域即可.【详解】（1）易知，又最小正周期为，所以，即，则.........................6分（2）的图象向右平移个单位长度得到，因为时，，根据正弦函数的单调性可知即时，，时即，，即，则........................13分16．（15分）【答案】(1)(2)【分析】（1）根据二倍角的正弦、余弦公式，结合辅助角公式，可得，利用周期公式，求得，代入即可得答案,（2）根据平移、伸缩变换的原则，可得的解析式，参变分离可得在区间上有解，设，根据函数的单调性，分析求解，即可得答案.【详解】（1），因为函数的最小正周期为，所以，即，所以；......................7分（2）将曲线向右平移个单位长度后得到，再将曲线上各点的横坐标变为原来的2倍，得到，即.问题转化为关于x的方程在区间上有解，参变分离得：在区间上有解.设，则，由于在上单调递减，所以，此时对于中的每个m，都存在，使得，所以m的取值范围为..........................15分17．（15分）【答案】(1)，，(2)【分析】（1）利用两角和与差的余弦公式展开解方程组即可求解； （2）利用同角的平方关系求得，利用商数关系可求，展开运算即可.【详解】（1）因为，①，②由②①，得，由①②，得，故..........................7分（2）因为，，所以，因为，所以，故，原式，..........................15分18．（17分）【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由扇形的面积公式建立方程，即可求出圆心角的大小；（2）由（1）知，代入条件得到的值，由平方和关系求得，然后由和差角公式求得，从而求得的长；（3）设，由直角三角形边角的关系分别表示出边长，然后表示出矩形的面积，利用二倍角公式和辅助角公式化简，再利用正弦函数性质求出最大值.【详解】（1）设扇形的圆心角，由扇形的面积，得，所以........................3分（2）由（1）知，，则，由，得，因此，所以.........................9分（3）设，在中，，，在中，，则，因此矩形的面积，由，得，则当，即时，矩形的面积取得最大值.........................17分19．（17分）【答案】(1)(2)（i）；（ii）【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，结合正弦函数的对称性运算求解；（2）（i）由题意结合辅助角公式得．其中，利用正弦函数的值域求得答案；（ii）当时，利用正弦函数的对称性得，利用诱导公式和二倍角公式运算得解；当时，利用正弦函数的对称性得，利用诱导公式和二倍角公式运算得解.【详解】（1）.令，解得，所以图象的对称轴方程为..........................4分（2）（i）由，得，化简整理得，则．其中，所以在内有两个不同的根，当且仅当，即时，满足题意，故实数的取值范围为..........................10分（ii）当时，，则，所以，又，所以，由（i）知，所以，故；当时，，则，所以，又，所以，因为，所以，故..........................17分12345678ABBDDBAB91011BCACDABD