人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试精品巩固练习

这是一份人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数本章综合与测试精品巩固练习，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(时间：120分钟 满分：150分)


一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)


1．简谐运动y＝4sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(π,3)))的相位与初相是( )


A．5x－eq \f(π,3)，eq \f(π,3) B．5x－eq \f(π,3)，4


C．5x－eq \f(π,3)，－eq \f(π,3) D．4，eq \f(π,3)


答案 C


解析 相位是5x－eq \f(π,3)，当x＝0时的相位为初相即－eq \f(π,3).


2．若角600°的终边上有一点(－4，a)，则a的值是( )


A．－4eq \r(3) B．±4eq \r(3) C.eq \r(3) D．4eq \r(3)


答案 A


解析 因为tan 600°＝eq \f(a,－4)＝tan(540°＋60°)＝tan 60°＝eq \r(3)，故a＝－4eq \r(3).


3．sin 40°sin 50°－cs 40°cs 50°等于( )


A．0 B．1 C．－1 D．－cs 10°


答案 A


解析 sin 40°sin 50°－cs 40°cs 50°＝－cs(40°＋50°)＝0.


4．下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称的是( )


A．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6))) B．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)＋\f(π,6)))


C．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6))) D．y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))


答案 A


解析 ∵最小正周期为π，∴ω＝2，


又图象关于直线x＝eq \f(π,6)对称，∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝±1，故只有A符合．


5．已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))(x∈R)，下列结论错误的是( )


A．函数f(x)的最小正周期为2π


B．函数f(x)在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数


C．函数f(x)的图象关于直线x＝0对称


D．函数f(x)为奇函数


答案 D


解析 因为f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,2)))＝－cs x，


所以T＝2π，故A选项正确；


因为y＝cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是减函数，


所以y＝－cs x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上是增函数，故B选项正确；


因为f(0)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)))＝－1，


所以f(x)的图象关于直线x＝0对称，故C选项正确；


f(x)＝－cs x是偶函数，故D选项错误．


6.eq \f(cs 20°\r(1－cs 40°),cs 50°)的值为( )


A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(2),2) C.eq \r(2) D．2


答案 B


解析 依题意得eq \f(cs 20°\r(1－cs 40°),cs 50°)＝eq \f(cs 20°\r(2sin220°),cs 50°)


＝eq \f(\r(2)sin 20°cs 20°,cs 50°)＝eq \f(\f(\r(2),2)sin 40°,cs 50°)＝eq \f(\f(\r(2),2)sin 40°,sin 40°)＝eq \f(\r(2),2).


7．若函数f(x)＝(1＋eq \r(3)tan x)cs x,0≤x

A．1 B．2 C.eq \r(3)＋1 D.eq \r(3)＋2


答案 B


解析 因为f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\r(3)·\f(sin x,cs x)))cs x


＝cs x＋eq \r(3)sin x＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))，0≤x

所以当x＝eq \f(π,3)时，f(x)取得最大值2.


8．若cs 2θ＋cs θ＝0，则sin 2θ＋sin θ等于( )


A．0 B．±eq \r(3) C．0或eq \r(3) D．0或±eq \r(3)


答案 D


解析 由cs 2θ＋cs θ＝0得2cs2θ－1＋cs θ＝0，


所以cs θ＝－1或eq \f(1,2).


当cs θ＝－1时，有sin θ＝0；


当cs θ＝eq \f(1,2)时，有sin θ＝±eq \f(\r(3),2).


于是sin 2θ＋sin θ＝sin θ(2cs θ＋1)＝0或eq \r(3)或－eq \r(3).


9．函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)在一个周期内的图象如图，则此函数的解析式为( )





A．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3))) B．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))


C．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,2)－\f(π,3))) D．y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))


答案 A


解析 由已知可得函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象经过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，2))和点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5π,12)，－2))，则A＝2，T＝π，即ω＝2，则函数的解析式可化为y＝2sin(2x＋φ)，将eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,12)，2))代入得－eq \f(π,6)＋φ＝eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，即φ＝eq \f(2π,3)＋2kπ，k∈Z，


当k＝0时，φ＝eq \f(2π,3)，此时y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)))，故选A.


10．如果α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且sin α＝eq \f(4,5)，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \f(\r(2),2)cs(π－α)等于( )


A.eq \f(2\r(2),5) B．－eq \f(\r(2),5) C.eq \f(\r(2),5) D．－eq \f(2\r(2),5)


答案 B


解析 sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))－eq \f(\r(2),2)cs(π－α)＝eq \f(\r(2),2)sin α＋eq \f(\r(2),2)cs α＋eq \f(\r(2),2)cs α＝eq \f(\r(2),2)sin α＋eq \r(2)cs α.


因为sin α＝eq \f(4,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，所以cs α＝－eq \f(3,5).


所以eq \f(\r(2),2)sin α＋eq \r(2)cs α＝eq \f(\r(2),2)×eq \f(4,5)－eq \r(2)×eq \f(3,5)＝－eq \f(\r(2),5).


11．(2019·全国Ⅰ)关于函数f(x)＝sin|x|＋|sin x|有下述四个结论：


①f(x)是偶函数；


②f(x)在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))上单调递增；


③f(x)在[－π，π]上有4个零点；


④f(x)的最大值为2.


其中所有正确结论的编号是( )


A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③


答案 C


解析 f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sin x|＝f(x)，∴f(x)为偶函数，故①正确；


当eq \f(π,2)

f(x)在[－π，π]上的图象如图所示，由图可知函数f(x)在[－π，π]上只有3个零点，故③不正确；





∵y＝sin|x|与y＝|sin x|的最大值都为1且可以同时取到，


∴f(x)可以取到最大值2，故④正确．综上，正确结论的编号是①④.故选C.


12．设ω>0，函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位长度后与原图象重合，则ω的最小值是( )


A.eq \f(2,3) B.eq \f(4,3) C.eq \f(3,2) D．3


答案 C


解析 方法一 函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))＋2的图象向右平移eq \f(4π,3)个单位长度后得到函数y＝sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(ω\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(4π,3)))＋\f(π,4)))＋2＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx－\f(4π,3)ω＋\f(π,4)))＋2的图象．


∵两图象重合，∴ωx＋eq \f(π,4)＝ωx－eq \f(4π,3)ω＋eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z，解得ω＝eq \f(3,2)k，k∈Z.


又ω>0，∴当k＝1时，ω的最小值是eq \f(3,2).


方法二 由题意可知，eq \f(4π,3)是函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))＋2(ω>0)的最小正周期T的正整数倍，


即eq \f(4π,3)＝kT＝eq \f(2kπ,ω)(k∈N*)，ω＝eq \f(3,2)k(k∈N*)，ω的最小值为eq \f(3,2).


二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)


13．已知扇形的圆心角为60°，所在圆的半径为10 cm，则扇形的面积是________cm2.


答案 eq \f(50π,3)


解析 根据题意得：


S扇形＝eq \f(nπR2,360)＝eq \f(60π×102,360)＝eq \f(50π,3)(cm2)．


14．已知cs(45°＋α)＝eq \f(5,13)，则cs(135°－α)＝________.


答案 －eq \f(5,13)


解析 cs(135°－α)＝cs[180°－(45°＋α)]＝－cs(45°＋α)＝－eq \f(5,13).


15．设函数f(x)＝2cs2x＋eq \r(3)sin 2x＋a，已知当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最小值为－2，则a＝________.


答案 －2


解析 f(x)＝1＋cs 2x＋eq \r(3)sin 2x＋a


＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋a＋1.


∵x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6))).


∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，1))，


∴f(x)min＝2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＋a＋1＝a.∴a＝－2.


16．给出下列命题：


①函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,2)))是奇函数；


②若α，β是第一象限角且α<β，则tan α

③y＝2sineq \f(3,2)x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,2)))上的最小值是－2，最大值是eq \r(2)；


④x＝eq \f(π,8)是函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(5,4)π))的一条对称轴．


其中正确命题的序号是________．


答案 ①④


解析 ①函数y＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x＋\f(π,2)))＝－sin eq \f(3,2)x是奇函数，正确；


②若α，β是第一象限角且α<β，取α＝30°，β＝390°，则tan α＝tan β，不正确；


③y＝2sin eq \f(3,2)x在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,3)，\f(π,2)))上的最小值是－2，最大值是2，不正确；


④sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,8)＋\f(5π,4)))＝sin eq \f(3π,2)＝－1.正确．


三、解答题(本大题共6小题，共70分)


17．(10分)已知f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α).


(1)若α＝－eq \f(13π,3)，求f(α)的值；


(2)若α为第二象限角，且cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝eq \f(3,5)，求f(α)的值．


解 (1)∵f(α)＝eq \f(sinπ－αcs2π－αcs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,2)＋α)),cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))sinπ＋α)＝eq \f(sin αcs αsin α,－sin α－sin α)＝cs α，


∴f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,3)))＝cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(13π,3)))＝cs eq \f(π,3)＝eq \f(1,2).


(2)∵cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,2)))＝eq \f(3,5)，∴sin α＝eq \f(3,5).


∵α为第二象限角，


∴f(α)＝cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5).


18．(12分)已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋a，a为常数．


(1)求函数f(x)的最小正周期；


(2)若x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，f(x)的最小值为－2，求a的值．


解 (1)f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,6)))＋a，


所以f(x)的最小正周期T＝eq \f(2π,2)＝π.


(2)当x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))时，2x－eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，\f(5π,6)))，


所以x＝0时，f(x)取得最小值，


即2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)))＋a＝－2，


故a＝－1.


19．(12分)已知函数f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2ωx＋\f(π,6)))＋1(其中0<ω<1)，若点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，1))是函数f(x)图象的一个对称中心，


(1)试求ω的值；


(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．





解 (1)因为点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,6)，1))是函数f(x)图象的一个对称中心，


所以－eq \f(ωπ,3)＋eq \f(π,6)＝kπ，k∈Z，


所以ω＝－3k＋eq \f(1,2)，k∈Z，


因为0<ω<1，所以k＝0，ω＝eq \f(1,2).


(2)由(1)知f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))＋1，x∈[－π，π]，


列表如下，





则函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象如图所示．





20．(12分)已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))，g(x)＝2sin2eq \f(x,2).


(1)若α是第一象限角，且f(α)＝eq \f(3\r(3),5)，求g(α)的值；


(2)求使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合．


解 f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,6)))＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(π,3)))


＝eq \f(\r(3),2)sin x－eq \f(1,2)cs x＋eq \f(1,2)cs x＋eq \f(\r(3),2)sin x


＝eq \r(3)sin x，


g(x)＝2sin2eq \f(x,2)＝1－cs x，


(1)由f(α)＝eq \f(3\r(3),5)，得sin α＝eq \f(3,5)，


又α是第一象限角，所以cs α>0.


从而g(α)＝1－cs α＝1－eq \r(1－sin2α)＝1－eq \f(4,5)＝eq \f(1,5).


(2)f(x)≥g(x)等价于eq \r(3)sin x≥1－cs x，


即eq \r(3)sin x＋cs x≥1.


于是sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,6)))≥eq \f(1,2).


从而2kπ＋eq \f(π,6)≤x＋eq \f(π,6)≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，


即2kπ≤x≤2kπ＋eq \f(2π,3)，k∈Z.


故使f(x)≥g(x)成立的x的取值集合为


eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(x\b\lc\|\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ≤x≤2kπ＋\f(2π,3)，k∈Z)))).


21．(12分)点P在直径为AB＝1的半圆上移动，过点P作圆的切线PT，且PT＝1，∠PAB＝α，问α为何值时，四边形ABTP的面积最大？


解 如图，作TC⊥PB于C，





因为AB为直径，


PT切圆于P点，PT＝1，


所以∠APB＝90°，PA＝cs α，


PB＝sin α，TC＝sin α，


S四边形ABTP＝S△PAB＋S△TPB


＝eq \f(1,2)PA·PB＋eq \f(1,2)TC·PB


＝eq \f(1,2)sin αcs α＋eq \f(1,2)sin2α＝eq \f(1,4)sin 2α＋eq \f(1－cs 2α,4)


＝eq \f(1,4)(sin 2α－cs 2α)＋eq \f(1,4)


＝eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α－\f(π,4)))＋eq \f(1,4).


因为0<α

所以当2α－eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，即α＝eq \f(3π,8)时，


四边形ABTP的面积最大．


22．(12分)为迎接夏季旅游旺季的到来，某旅行社单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：


①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；


②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；


③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．


(1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系；


(2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？


解 (1)设该函数为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0,0<|φ|<π)，根据条件①，可知这个函数的周期是12；


由②可知，f(2)最小，f(8)最大，且f(8)－f(2)＝400，故该函数的振幅为200；


由③可知，f(x)在[2,8]上单调递增，且f(2)＝100，


所以f(8)＝500.


根据上述分析可得，eq \f(2π,ω)＝12，故ω＝eq \f(π,6)，


且eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－A＋B＝100，,A＋B＝500，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(A＝200，,B＝300.))


根据分析可知，当x＝2时f(x)最小，


当x＝8时f(x)最大，


故sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋φ))＝－1，且sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(8×\f(π,6)＋φ))＝1.


又因为0<|φ|<π，故φ＝－eq \f(5π,6).


所以入住客栈的游客人数与月份之间的关系式为


f(x)＝200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300.


(2)由条件可知，200sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))＋300≥400，


化简得sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(5π,6)))≥eq \f(1,2)，


即2kπ＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,6)x－eq \f(5π,6)≤2kπ＋eq \f(5π,6)，k∈Z，


解得12k＋6≤x≤12k＋10，k∈Z.


因为x∈N*，且1≤x≤12，故x＝6,7,8,9,10.


即只有6,7,8,9,10五个月份要准备400份以上的食物．x＋eq \f(π,6)
－eq \f(5,6)π
－eq \f(π,2)
0
eq \f(π,2)
π
eq \f(7,6)π
x
－π
－eq \f(2,3)π
－eq \f(π,6)
eq \f(π,3)
eq \f(5,6)π
π
y
0
－1
1
3
1
0