第五章 -5.6函数y＝Asin（ωx+φ）（课件PPT）

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5.6函数y＝Asin（ωx+φ）第五章学习目标1.了解匀速圆周运动的数学模型.2.了解y＝Asin（ωx+φ）的实际意义；能借助图象理解参数A，ω，φ的实际意义，了解参数的变化对函数图象的影响.核心素养：数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算新知学习匀速圆周运动的数学模型【解读教材】我们知道，单位圆上的点，以(1，0)为起点，以单位速度按逆时针方 向运动，其运动规律可用三角函数加以刻画。对于一个一般的匀速圆周运动可以 怎样用数学模型刻画呢？【问题】筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，如图. 假定筒车做的是匀速圆周运动，你能用一个函数模型来刻画盛水筒距离水面的高度和时间的关系吗？匀速圆周运动的数学模型【思考】因为筒车上的盛水筒运动具有周期性，可以考虑用三角函数来刻画. 如图，把筒车抽象成数学模型，设经过t秒后，盛水筒M从点P0运动到点P，易知它距离水面的高度H由以下量决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度 ，盛水筒的初始位置P0，以及时间t.     水面 以O为原点，建立坐标系如图.设t=0时，盛水筒M位于点P0，以 为始边，OP0为终边的角为 ，经过t秒后运动到点 ，于是，以 为始边，OP为终边的角为 ，并且有： 所以，盛水筒M距离水面的高度H与时间t的关系是        函数②就是要建立的数学模型，而h是常量，所以只要研究①即可     (2)函数 含有三个参数，该进行什么样的思路来研究？函数 的图像  刚才我们利用三角函数的知识构建了一个形如 的函数.显然，这个函数由参数 ， ， 所确定.因此，只要了解了这些参数的意义，知道它们的变化对于函数图像的影响，就可以搞清楚这个函数的性质.     从解析式看，函数 就是函数 在 时的特殊情况.    (1)能否借助我们熟悉的函数 的图像与性质研究参数 对 函数 的影响？     函数 的图像 ①探究 对 图像的影响   如图，取 ，动点M在单位圆O1上以单位角速度按逆时针方向运动.如果点M以Q0为起点，(此时 )，经过 秒后运动到点P，那么点P的纵坐标 就等于 .以 为坐标描点，可得正弦函数 的图像.                         函数 的图像 ①在单位圆上拖动起点Q0，使点Q0绕点O1旋转 到Q1，图像有什么变化？                  【图像向左平移 个长度】 ②如果使点Q0绕点O1旋转 个长度，又会得到什么图像呢？ 【分别能得到函数 , , 的图像】   函数 的图像  ①在一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为 时，对应的函数是 ，把正弦曲线 上的所有点向左平移 个长度，就得到函数 的图像(左加右减/作家有钱)总结     是的，我有钱！注意【1】 的变化只改变图像的左右变化，形状、大小完全不变 【2】左右平移改变的是 ，若 前面的系数不是1，则要先提取系数在再平移【3】这种变化引起的是初始位置的变换，一般称为相位变换.   向左平移 个单位向右平移 个单位也可以是任意一个函数    探索 对 图像的影响   我们通过数学实验来探索.如图，取圆的半径A=1，为了研究方便，我们令 ，当 时得到 的图像.导学                   取 时，得到函数 的图像.  取 时，得到函数 的图像.  探索 对 图像的影响   一般地，函数 的周期是 ，把 图像上所有点的横坐标缩短(当 时)或伸长(当 时)到原来的倍(纵坐标不变)，就得到 的图像.结论       注意① 的作用：引起周期 的改变，这种变换叫做横向伸缩   ② 的变化引起的横向伸缩，会导致图像形状改变(被横向拉长或缩短) ③ 时，函数 的图像相比函数 横向缩短，周期变小；   ④ 时，函数 的图像相比函数 横向伸长，周期变大；   探索 对 图像的影响   老规矩，还是通过数学实验来探索.如图，令 ， ，当A=1时，可得 的图像.导学                   的图像 的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍 一般地，函数 的图像,可以看做是把图像上所有点的纵坐标伸长(当 时)或缩短(当 时)到原来的A倍而得到(横坐标不变)，所以函数 的值域是[-A,A]结论     探索 对 图像的影响  注意①若A＞0，则函数 的值域为[-A，A] ②若A＜0，则函数 的值域为[A，-A] ③A的作用：引起值域的改变，这种变换叫做纵向伸缩④A的变化引起的纵向伸缩，会导致图像形状改变(被纵向拉长或缩短)⑤推广到一般情况：函数 的图像，可以看做是把函 数 的图像上所有点的纵坐标伸长(A＞1)或缩短(0＜A＜1)到原来的A 倍(横坐标不变)二得到的，即：  的图像的图像横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍  函数 总结  一般地，函数 的图像，可以先画出函数 的图像，再把这个正弦曲线向左(或者向右)平移 个长度，得到函数的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变)，得到函数 的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的 倍(横坐标不变)，这时的曲线就是函数 的图像.                    画出正弦曲线 横向移动 个长度 横坐标变为 倍 横坐标变为 倍    【例1】画出函数 的简图. 【解】先画出函数 的图像，再把这个曲线向右平移 个长度，得到 函数 的图像；然后把曲线上各点的横坐标变为原来的 得到函数 的图像；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来 的3倍，就可以得到 的图像。               即时巩固【例2】画出下列函数的简图.【解】如图    即时巩固随堂小测√√y＝－cos 2x课堂小结1.由y＝sin x的图象，通过变换可得到函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，其变化途径有两条：(1)y＝sin x y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ).(2)y＝sin x y＝sin ωxy＝sin[ω(x＋ )]＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ).注意　两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期变换，平移|φ|个单位.(2)是先周期变换后相位变换，平移 个单位，这是很易出错的地方，应特别注意.2.类似地，y＝Acos(ωx＋φ) (A>0，ω>0)的图象也可由y＝cos x的图象变换得到.谢 谢！