初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 相似三角形的性质导学案及答案

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）4 相似三角形的性质导学案及答案，共4页。

A．B．C．D．
2.（2026八年级下·山东济南·期末）如图，在中，，，，以点为圆心，的长为半径画弧，与交于点，再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点、，作直线，分别交、于点、，则的长度为（ ）
A．B．C．D．
3．（2026翠屏区八年级上学期期末数学试题）在Rt△ABC中，，AC=BC，D为BC的中点，过C作CE⊥AD于点E，延长CE交AB于点F，，连接FD；若AC=4，则CF+FD的值是（ ）
A．B．5C．D．
4．（2026九年级下·广东·专题练习）如图，在中，，高，正方形一边在上，点E，F分别在，上，交于点N，则的长为（ ）
A．15B．20C．25D．30
5．（2026·成都市·九年级期中）如图所示，在中，，，在中，，点P在上，交于点E，交于点F．当时，的值为（ ）．
A．1B．2C．3D．4
6．（2026山西·九年级校考期中）如图，在正方形中，点、分别是、边上的两点，且，、分别交于、．下列结论：①；②平分；③；④．其中正确的结论是（ ）
A．①②④B．①④C．①②③D．①②③④
7．（湖北黄石·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．

8．（广东深圳·校考模拟预测）如图，已知等边三角形绕点顺时针旋转得，点、分别为线段和线段上的动点，若，则下列结论：①四边形为菱形；②；③为等边三角形；④；⑤若，，则．正确的有（填序号） ．
9．（四川成都·中考真题）如图，在中，，是的一条角平分线，为中点，连接．若，，则 ．

10．（2026八年级下·上海青浦·期末）如图，点在矩形的边上，过点作的垂线，与边交于点，若，，，点分别是、的中点，则线段的长为 ．
11．（2026九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，在等边三角形中，分别是边上的点，将沿折叠，点恰好落在边上的点处，若，则为 （用含m的式子表示）．
12．（2026八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．

13．（2026九年级上·浙江·课后作业）如图，在中，，，．将线段绕点B顺时针旋转得到线段，过点D作交的延长线于点E，连接交于点N，则 ．
14.（2026·南通·模拟预测）如图，已知是等边内的一点，且，延长，，分别交，于点D，E．若，，则的周长等于 ．

15.(2025九年级重庆·专题练习）如图，已知在梯形中，，且，P为上的一点，，求的长．
16．（2026·福建福州·九年级校考阶段练习）如图1，中，，，，在上取一点，使得，过点作交于点，将绕点顺时针旋转得,连接 ．(1)若点恰好落在线段上，请在图1中补全图形，并证明；(2)如图2，若点不在线段上，连接并延长，与的延长线交于点，当时，求的长．

17．（2026·广东九年级课时练习）如图，点C、D在线段AB上，且△PCD是等边三角形．∠APB＝120°．
（1）求证：△ACP∽△PDB；（2）当AC＝4，BD＝9时，试求CD的值．
18．（2025·广西南宁·校联考一模）在等边中，点D是边上一点，点E是直线上一动点，连接，将射线绕点D顺时针旋转，与直线相交于点F．(1)若点D为边中点．①如图1，当点E在边上，且时，请直接写出线段与的数量关系________；②如图2，当点E落在边上，点F落在边的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请结合图2说明理由；(2)如图3，点D为边上靠近点C的三等分点．当时，直接写出的值．
19．（2026·福建泉州·九年级校考期末）
问题背景：（1）如图①，已知，求证：；
尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长．
20．（2026九年级·山东东营·阶段练习）（1）问题：如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：．
（2）探究：若将角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）应用：如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，则的长．
21．（山西·二模）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
有趣的布罗卡尔点和布罗卡尔角
1816年法国数学家和数学教育家克雷尔首次发现了“布罗卡尔点”，但是他的发现并未被当时的人们所注意．1875年，这一特殊点被一个数学爱好者——法国军官布罗卡尔重新发现，并用他的名字将其命名．他的这一发现引起一大批数学家的兴趣，一时形成了一股研究“三角形几何”的热潮．关于布罗卡尔点的研究与推广以代数计算为主，充分体现了代数与几何的联系．
定义：如图1，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角．
人们研究发现，等边三角形只有一个布罗卡尔点．
任务：(1)等边三角形的布罗卡尔点是这个三角形的______心；
(2)若设等边三角形的面积为S，边长为a，布罗卡尔角为，求证：；
(3)如图2，在等腰直角三角形ABC中，，若P是它的一个布罗卡尔点，满足，，求的值．
22．（湖北武汉·校考模拟预测）如图1，中，，D为上一点，．

(1)求证：；(2)如图2，过点A作于M，交于点E，若，求的值；
(3)如图3，N为延长线上一点，连接、，若，，则 的值为____．
23．（宁夏银川·二模）综合与实践：莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．
教材重现：
（1）初步观察：连接，则与的数量关系是：________；
（2）初步探究：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由；
（3）拓展探究：①请帮助莹莹求出的面积；②连接，求线段的长度．
24．（2025·湖北随州·模拟预测）[初步尝试]（1）如图①，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，则与的数量关系为________；
[思考说理]（2）如图②，在三角形纸片中，，将折叠，使点B与点C重合，折痕为，求的值；
[拓展延伸]（3）如图③，在三角形纸片中，，将沿过顶点C的直线折叠，使点B落在边上的点处，折痕为．①求线段的长；②若点O是边的中点，点P为线段上的一个动点，将沿折叠得到点A的对应点为点与交于点F，求的取值范围．
25．（2025·新疆·中考真题）如图，在等腰直角三角形中，，，，点M是的中点，点D和点N分别是线段和上的动点．
(1)当点D和点N分别是和的中点时，求a的值；(2)当时，以点C，D，N为顶点的三角形与相似，求的值；(3)当时，求的最小值．
26．（2025·山东青岛·模拟预测）某校一数学兴趣小组在一次合作探究活动中，将两块大小不同的等腰直角三角形和等腰直角三角形，按如图1的方式摆放，，随后保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接．该数学兴趣小组进行如下探究，请你帮忙解答：
(1)【初步探究】如图2，当时，则_____；
(2)【初步探究】如图3，当点E，F重合时，请直接写出，，之间的数量关系：_________；
(3)【深入探究】如图4，当点E，F不重合时，（2）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由．
(4)【拓展延伸】如图5，在与中，，若，（m为常数）．保持不动，将绕点C按逆时针方向旋转（），连接，，延长交于点F，连接，如图6．试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
27．（2025广东深圳三模试题）（1）【探究发现】如图1，正方形的对角线相交于点，在正方形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．证明：；

（2）【类比迁移】如图2，矩形的对角线相交于点，且，．在矩形绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．若，求的长；
（3）【拓展应用】如图3，四边形和四边形都是平行四边形，且，，，是直角三角形．在绕点旋转的过程中，边与边交于点，边与边交于点．当与重叠部分的面积是的面积的时，请直接写出的长．

28．（2026山东九年级期末）（1）如图1，在正方形中，点，分别是，上的两点，连接，，若，则的值为_________；
（2）如图2，在矩形中，，，点是上的一点，连接，，若，则的值为_________；
【类比探究】（3）如图3，在四边形中，，点为上一点，连接，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点，求证：
【拓展延伸】（4）如图4，在中，，，，将沿翻折，点落在点处，得到，点，分别在边，上，连接，，若，则的值为_________．
29.（2026九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）四边形是平行四边形，连接，于点E，交边于点F．(1)如图1，，，求的长．
(2)如图2，，，猜想线段与的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，，．①求证：；②将沿直线翻折得到，连接交边于点P，连接，求的长．
30.（辽宁朝阳·中考真题）如图，在RtABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点O在线段AB上（点O不与点A，B重合），且OB＝kOA，点M是AC延长线上的一点，作射线OM，将射线OM绕点O逆时针旋转90°，交射线CB于点N．（1）如图1，当k＝1时，判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由；
（2）如图2，当k＞1时，判断线段OM与ON的数量关系（用含k的式子表示），并证明；
（3）点P在射线BC上，若∠BON＝15°，PN＝kAM（k≠1），且＜，请直接写出的值（用含k的式子表示）．
31.（2025·河南周口 校考一模）（1）问题发现：如图1，在中，，将边绕点C顺时针旋转得到线段，在射线上取点D，使得，线段与的数量关系是______；
（2）类比探究：如图2，若，作，且，其他条件不变，写出变化后线段与的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形的边长为6，点E是边上一点，且，把线段逆时针旋转得到线段，连接，直接写出线段的长．
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？

在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（）如图，是的边上的中线．