北师大版（2024）九年级上册（2024）☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高学案

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高学案，共4页。学案主要包含了教材呈现，类比引申，实践探究，拓展应用，模型建立，类比探究，模型应用，问题初探等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321768" 模型运用5
\l "_Tc28484" 模型1、半角模型5
\l "_Tc18836" 14
相似三角形中的半角模型源于初中几何中利用旋转构造全等三角形的经典方法，其核心是通过角度关系推导线段之间的数量关联。这类模型通过“数形结合”的趣味性，成为几何学习的经典记忆点。
半角模型‌指一个图形中存在共顶点的两个角，其中一个角是另一个角的一半（即“半角”），且该半角的两边与二倍角的两边对应成比例。在相似三角形背景下，模型表现为：大角与小角共顶点；小角为大角的一半；涉及相似三角形的对应边比例关系。
半角模型辅助线的作法：由旋转（或翻折）构造两对全等，从而将边转化，找到边与边的关系（将分散的条件集中，隐蔽的关系显现）。
常见的考法包括：90°与45°（正方形、直角三角形）；120°与60°（等边三角形）等。
（2025·广东·校考二模）【教材呈现】（1）如图1，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形和摆放在一起，点A为公共顶点，，若固定不动，将绕点A旋转，边，与边分别交于点D，E（点D不与点B重合，点E不与点C重合），则结论是否成立 （填“成立”或“不成立”）；
【类比引申】（2）如图2，在正方形中，为内的一个动角，两边分别与，交于点E，F，且满足，求证：；
【答案】（1）成立；（2）见解析；（3）
【详解】解：（1）结论成立
理由：如图1，∵和都是等腰直角三角形，∴

∵，，∴，
又∵，∴,∴
∵, ∴, 故结论成立；
（2）证明：如图2，∵四边形是正方形，∴,
∵，∴,
∴，∴，
又∵，∴；
（3）线段的长为cm 理由：如图3，在上取一点M,使，过M作于N，
又∵四边形为菱形,且，∴，
∴，∴，∴，∴
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∴,
∵，，∴
∵,∴，∴∴,
∵菱形的边长为，∴，
∵，∴，∴，∵∴cm，
∴，∴线段的长为．
（2025·浙江杭州·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，与边交于点E，F，，连接，，．
(1)判断的形状，并说明理由．(2)求证：．(3)若，，求线段的长．
【答案】(1)为等边三角形，见解析(2)见解析(3)
【详解】（1）解：为等边三角形，理由如下：由作法得，
，为等边三角形；
（2）证明：为等边三角形，，，
，，
，，而，；
（3）解：为等边三角形，，
，，即，解得．
1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）
条件：已知，如图，在正方形ABCD中，∠EAF的两边分别交BC、CD边于M、N两点，且∠EAF＝45°

图1 图2
结论：如图1，△MDA∽△MAN∽△ABN；
证明：∵ABCD是正方形，∴∠ADM=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠ADM=∠EAF，
∵∠AMD=∠NMA，∴△MDA∽△MAN，同理：△MAN∽△ABN，∴△MDA∽△MAN∽△ABN；
结论：如图2，△BME∽△AMN∽△DFN.
证明：∵ABCD是正方形，∴∠NDF=45°，∵∠EAF＝45°，∴∠NDF=∠EAF，
∵∠DNF=∠ANM，∴△AMN∽△DFN，同理：△BME∽△AMN，∴△BME∽△AMN∽△DFN；
结论：如图3，连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；

图3 图4
证明：∵ABCD是正方形，∴∠BAC=∠ABC=∠ACF=45°，，∴∠BAM+∠MAC=45°，
∵∠EAF＝45°，∴∠FAC+∠MAC=45°，∴∠BAM=∠FAC，∴△AMB∽△AFC，∴。
同理：△AND∽△AEC，；即。
结论：如图4，△AMN∽△AFE且．
证明：∵ABCD是正方形，∴AB∥CD，∴∠DFA=∠BAN；∵∠AFE=∠AFD，∠BAN=∠AMD，∴∠AFE=∠AMN；
又∠MAN=∠FAE，∴△AMN∽△AFE，由图3证明知：，∴。
2）半角模型（含120-60°半角模型）
图1
条件：如图1，已知∠BAC＝120°，；
结论：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③ （）。
证明：∵，∴∠ADE=60°，∴∠ADB=120°，∵∠BAC＝120°，∴∠ADB=∠BAC，
∵∠ABD=∠CBA，∴△ABD∽△CBA；∴，即：，
同理：△CAE∽△CBA，∴，即：，即：△ABD∽△CAE∽△CBA；，
∴，∵AD=AE=DE，∴
模型1.半角模型
例1（2026九年级上·福建漳州·阶段练习）如图，在正方形中，、分别是、上的点，且，、分别交于、，连接、，有以下结论：
①；②是等腰直角三角形；③当时，；④；
其中正确的结论是 ．
【答案】①②④
【详解】解：∵四边形是正方形，∴．
∵，，∴，∴，∴，
∵，∴，故①正确，∴，
∴，∴是等腰直角三角形，故②正确，
在和中，，∴，∴．
∵，∴，假设正方形边长为1，设，则，如图1，连接交于O，

∵，∴是的垂直平分线，∴，
在中，，在中，，
又∵，，∴，∴，
∴，∴，∴，∴，故③不正确；
④如图2，∴将绕点A顺时针旋转得到，
则，，．∵．
∵，∴H、B、E三点共线，
在和中，，∴，
∴，故④正确．故答案为：①②④．
例2（2026九年级上·河北张家口·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．
(1)图1中阴影部分的面积与的面积比为______；
(2)若将固定不动，把绕点A逆时针旋转，此时线段，射线分别与射线交于点M，N．①当旋转到如图2所示的位置时，求证：∽；②如图2，若，求的长；③在旋转过程中，若，请直接写出的长（用含d的式子表示）．
【答案】(1)(2)①见解析；②；③的长为或
【详解】（1）解：∵、都是等腰直角三角形，
∴，，∴∽，
∴，∴阴影部分的面积与的面积比为，故答案为：．
（2）解：①证明：∵，，∴∽；
②解：在中，，，则，∴，
∵，，∴，
∵，∴∽，∴，即,解得：；
③解：如图2，当点N在线段上时，由②可知：∽，
∴，即解得：，∴，
如图3，当点N在线段的延长线上时，
综上所述：的长为或．
例3（2025·湖北武汉·一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，点E，F分别在BC，CD上．若BE＝3，∠EAF＝45°，则DF的长是 ．
【答案】3
【详解】如图，作正方形ABNM，MN与AF交于点G，连接EG，延长EB至H，使BH＝MG，连接AH，

∵在正方形ABNM中，∴∠AMG＝∠ABH，AM＝AB，
在△AMG和△ABH中，∵，∴△AMG≌△ABH（SAS），
∴∠BAH＝∠GAM，AG＝AH，∴∠GAH＝90°，∴∠EAG＝∠EAH＝45°，
在△GAE和△HAE中，∵，∴△GAE≌△HAE（SAS），
∴EG＝HE＝BE+HB，∴EG＝BE+MG，设MG＝x，则NG＝6﹣x，EG＝x+3，
在Rt△GEN中，EG2＝NG2+NE2，即（x+3）2＝（6﹣x）2+32，解得，x＝2，即MG＝2，
∵MN∥CD，∴△AGM∽△AFD，∴，即，解得，DF＝3，故答案为3
例4（2026九年级上·安徽滁州·期中）如图，在中，，点是上的点，且是等边三角形．(1)求证：；(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析(2)
【详解】（1）证明：是等边三角形，．
，，．
．．
（2）解：是等边三角形，．
，，即．
，，，即（负值舍去）．
例5（海南三亚·一模）如图1，在正方形中，点、分别为边、上的动点，且，、分别交对角线于点、．
(1)如图2，当时，①求证；②当时，求的值；(2)求的值；
(3)如图3，连接，当在上移动时是否发生变化？如果不发生变化，求出的值；如果发生变化请说明理由．
【答案】(1)①见解析；②(2)(3)不发生变化，
【详解】（1）①证明：正方形，
，，，，
，，，
为等腰直角三角形，，．
在和中，．
②如图，连接交于点，则，

，，由①知，，，
又，，
在和中，． ，
，．
（2）如图，连接，，，
又，， ．
（3）不发生变化，理由如下： 如图，连接，
由（2）知，，
又，为等腰直角三角形，．
例6（2025·湖北·一模）如图1，在菱形ABCD中，E是BC边上的动点，将射线AE绕点A逆时针方向旋转，交直线CD于点F，射线AF、AE分别交BC、DC的延长线于点H、G，连接AC，．
(1)求证：；(2)如图2，若，，求的值；(3)如图3，连接GH，若，当为等腰三角形时，直接写出的值（可用含n的式子表式）．
【答案】(1)见解析，(2)(3)或1或
【详解】（1）证明：∵菱形ABCD，∴ADBC，ABDC，∠BAC=∠DAC，
∵∠EAF=∠BAD，∴∠EAF=∠DAC=∠BAC，
∴∠EAC+∠CAF=∠CAF+∠HAD=∠BAE+∠EAC，∴∠EAC=∠HAE，∠CAF=∠BAE，
∵ADBC，即ADCH，∴∠H=∠HAD，∴∠GAC=∠H，
∵ABDC，即ABCG，∴∠G=∠CAH，∴△ACG∽△HCA．
（2）解：∵ABDC，即ABCG，∴△ABE∽△GCE, ∴==2，∴CG=AB，
∵△ACG∽△HCA，∴，∵，∴AC=AB，∴，∴，
∵ADBC，即ADCH，∴△ADF∽△HCF,∴，
∵菱形ABCD，∴AD=AB，∴，∴；
（3）解：由（1）知：，∴，
分两种情况：①当AH=GH时，∴∠HGA=∠HAG，∵AB=CB，∴∠BAC=∠BCA，
∵∠HAG=∠BAC，∴∠HAG=∠BCA，∠HAG=∠BAC，∴△HAG∽△BAC，
∴，∴，∴，∴CG=nAC，
∵CGAB，∴△ABE∽△GCE，∴=；
②当AG=HG时，∴∠GAH=∠GHA，∵∠GAH=∠EAF=∠BAC
∵AB=BC，∴∠BAC=∠BCA，∴∠GHA=∠BCA，∠GAH=∠BAC，∴△GAH∽△BAC，
∴，∴，∴，∴CG=AC=AB，
∵CGAB，∴△AEB∽△GEC，∴=1，即=1；
③当AG=AH时，∵△ACG∽△HCA，∴=1，∴AC=CG，
∵=n，,∴=n，∵CGAB，∴△AEB∽△GEC，∴综上，=或1或．
例7（山东烟台·一模）如图①，在正方形中，点N、M分别在边、上，连结、、．，将绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到．易证：，从而得．

【实践探究】（1）在图①条件下，若，，则正方形的边长是_________．
（2）如图②，点M、N分别在边、上，且．点E、F分别在、上，，连接，猜想三条线段、、之间满足的数量关系，并说明理由．
【拓展应用】（3）如图③，在矩形中，，，点M、N分别在边、上，连结，，已知，，求的长．
【答案】（1）12；（2），见解析；（3）4
【详解】（1）解法提示：∵四边形是正方形，
∴，.由旋转得，
∴，，，，
∴，∴E，B，N在同一条直线上.
∵，，∴，
∴，∴，∴.
在与中，∴，∴.
∵，∴
∴.
在中，由勾股定理得∴.∴；
（2）三条线段，，之间满足的数量关系为，理由如下：
图（1）
如图（1），过点D作，且，连接，，
则，∴.∵四边形是正方形，∴，
∵，∴四边形是平行四边形，∴，∴.
在与中，∴，∴，.
∵，，∴
在和中，∴，∴，
在中，由勾股定理得，∴；
（3）如图（2），把矩形补成正方形，延长交于G，连接，则.
∵四边形是矩形，∴，∴，∴，
∴，∴， 设，则.
∵四边形是正方形，，∴由（1）中证明知，.
在中，由勾股定理得，
即，解得，∴的长为4．
1．（2026九年级上·广东深圳·期中）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45°，AE、AF分别交BD于M、N，连按EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE=AF时，；④BE+DF=EF；⑤若点F是DC的中点，则CECB．
其中正确的个数是( )
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【详解】如图，∵四边形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．
∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，
∴，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正确，
∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正确，
在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF．
∵BC=CD，∴CE=CF，假设正方形边长为1，设CE=x，则BE=1﹣x，如图2，连接AC，交EF于H，

∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分线，∴AC⊥EF，OE=OF，
Rt△CEF中，OCEFx，在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE．
∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴ACAO+OC，
∴1x，∴x=2，∴，故③不正确，
③如图3，∴将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABH，则AF=AH，∠DAF=∠BAH．
∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三点共线，
在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正确，
如图4中，设正方形的边长为2a，则DF=CF=a，AFa，
∵DF∥AB，∴，∴AN=NEAFa，∴AEANa，
∴BEa，∴ECaBC，故⑤正确．故选：C．
2．（2026九年级上·辽宁丹东·期末）如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿对折至，延长交边于点，连接．下列结论：①点是的中点，②，③，④，其中正确的是（ ）
A．①②④B．②③④C．①③D．①②③
【答案】C
【详解】解：①如图1，∵四边形是正方形，∴，

∵，∴，∴，由折叠得：，，∴，
，∴，
设，则，，由勾股定理得：，
， 解得：， ，，
∴．∴点G是的中点；所以①正确；
②如图2，过F作于H，∵，∴，
由①得∴，所以②不正确；
③∵，∴，由折叠性质得，
∴，所以③正确；
④ 若，则，，
∵，∴，∴，与矛盾；所以④错误．故选C．
3．（2026九年级上·四川宜宾·期末）如图，点E、F分别为正方形ABCD的便BC、CD上的动点，连接AE、AF分别交正方形对角线BD于点H、G，满足∠EAF=45°，下列四个结论：①BE+DF=EF；②；③△AEG是等腰直角三角形；④．其中正确的结论有 （写出所有正确结论的序号）．
【答案】①②③④．
【详解】解： 正方形ABCD，，
如图1，把顺时针旋转得到，

三点共线，

故①正确，
如图2， 正方形

即： 故②正确，
如图2， 正方形


为等腰直角三角形，故③正确，
如图1， 正方形

故④正确，综上：正确的有①②③④．
4．（2025·四川达州·校考二模）如图，在正方形中，，E，F分别是，上的一点，且，，将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，连接，过点B作，交于点M，则以下结论：①，②，③，④，其中正确的是 ．

【答案】①②④
【详解】解：∵四边形为正方形，∴，
∵将绕点A沿顺时针方向旋转后与重合，∴，
∴，，，∴点B、G、C三点共线，
∵，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵∴，故①正确；
∵，，∴，设，则，，
在中，解得：，即，故②正确；
∵，∴，
∵，∴，∴，故③错误；
∵，∴ ，∵，
∴，故④正确；综上分析可知，正确的是①②④．故答案为：①②④．
5．（福建泉州·二模）如图，在正方形中，，点、分别是边、上的动点（不与正方形的端点重合），连接、，现给出以下结论：
①若，则；②若，则可能为直角；
③若，则平分；④若，则的最大值为1.5．
其中正确的是 ．（写出所有正确结论的序号）
【答案】①③
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=DA=4，
∵BD是正方形ABCD的对角线，∴∠
①如图，设CE与BD交于点M，CF与BD交于点N，

在△和△中，∴△
∵∠
又∠∴∠
又∠,∴∴∠,∴故①正确;
②当 且则可得
此时,点E与点A重合,点F与点D重合,与题设矛盾,故②错误;
③
，，，
在中，，，过点E作垂足为G，如图,
又，
，，
且∠，∴CE是∠的平分线，故③正确；
④设则，，∴∠，∴∠
又∠，∴∠又∠∴△
∴即，∴，
∴抛物线开口向下，有最大值，∴当时，y有最大值，为1，
所以，当时，有最大值，为1，故④错误；综上，正确的结论是①③，故答案为①③．
6．（贵州遵义·三模）如图，在矩形中，点E，F分别是边上的点，，，，，则的长是 ．
【答案】
【详解】解：∵四边形是矩形，∴，，，
如图：作于， 则，设，
在中，，则，，
在，，则，∴，
作于，作于，延长交于，则，
∴四边形为矩形，∴，
∵，，∴，
∵，，∴，
∴，∴四边形为正方形，
∵，，∴，
∴，∴，∴，
同理可得：四边形、为矩形，∴，
∴，∴，即，
∴，∴，故答案为：．
7．（2026九年级上·河北唐山·阶段练习）在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在的延长线上，，．若将固定不动，把绕点A逆时针旋转a（），此时线段，射线分别与射线交于点M，N．

(1)当旋转到如图2所示的位置时，①求证：；
②在图2中除外还有哪些相似三角形，直接写出；③如图2，若，求的长；
(2)在旋转过程中，若，请直接写出的长_________（用含d的式子表示）．
【答案】(1)①见详解；②，；③；(2)或．
【详解】（1）①证明：∵

②，，∵，∴，
∵、都是等腰直角三角形，∴，，
∴，；
③在中，，，则，，
，，，
，，，即，解得：；
（2）如图2，当点在线段上时，

由②可知：，，即，解得：，
；
如图3，当点在线段的延长线上时，，
综上所述：的长为或．
8．（2026九年级上·陕西汉中·期末）如图，中，，，点为边上一点．
(1)如图1，若，．①求证：；②若，求的值．
(2)如图2，点为线段上一点，且，，，求的长．
【答案】(1)①见解析，②(2)
【详解】（1）证明：①∵，，
∴，即，
在和中，，∴，∴；
②∵，，∴，
由①可得：，∴，∴，
∵，∴在中，，
∴，整理得：，由①可得，∴．
（2）过点A作于点F，过点E作于点G，
∵，，∴，
∵，，∴，
在中，根据勾股定理可得：，
∵，∴，∵，，∴，
在中，根据勾股定理可得：，∴，
∵，，，∴，
∵，∴，即，
∵，∴，∴，即，
解得：，∴．
9．（2025·辽宁·校考二模）在菱形中，．点，分别在边，上，且．连接，．（1）如图1，连接，求证：是等边三角形；（2）平分交于点．
①如图2，交于点，点是的中点，当时，求的长．
②如图3，是的中点，点是线段上一动点（点与点，点不重合）．当，时，是否存在直线将分成三角形和四边形两部分，其中三角形的面积与四边形的面积比为1∶3．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析；（2）①；②或
【详解】解：（1）四边形是菱形， ，
∵，∴△ABC是等边三角形，∴，，
，；，，，是等边三角形；
（2）①连接，点是的中点，，
，，，
由（1）知，是等边三角形，，平分，，
，，即，
，，

②如图，当点H为AG中点时，即；∵是的中点，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC,
∵，∴，即；
同理，如图所示，当点N为EC中点时， ON∥AE，；
连接FG，作FP⊥BC，交BC延长线与点P，∵，，∴,
∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2，，
∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG，
设EG=x,CG=8-x，PG=10-x，，解得，，∵EN=CN=4，；
综上，的值为：或．
10．（2026·湖北·九年级专题练习）折一折：将正方形纸片ABCD折叠，使边AB、AD都落在对角线AC上，展开得折痕AE、AF，连接EF，如图1．
(1)∠EAF＝ °，写出图中两个等腰三角形： （不需要添加字母）；
(2)转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转，使它的两边分别交边BC、CD于点P、Q，连接PQ，如图2．线段BP、PQ、DQ之间的数量关系为 ；
(3)连接正方形对角线BD，若图2中的∠PAQ的边AP、AQ分别交对角线BD于点M、点N，如图3，则 ；
(4)剪一剪：将图3中的正方形纸片沿对角线BD剪开，如图4．求证：BM2＋DN2＝MN2．
【答案】(1)45；△AEF，△CEF，(2)PQ＝BP＋DQ(3)(4)见解析
【详解】（1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAD＝90°，∴ABC，△ADC都是等腰三角形，
∵∠BAE＝∠CAE，∠DAF＝∠CAF，∴∠EAF（∠BAC＋∠DAC）＝45°，
∵∠BAE＝∠DAF＝22.5°，∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∴△BAE≌△DAF（ASA），∴BE＝DF，AE＝AF，
∵CB＝CD，∴CE＝CF，∴△AEF，△CEF都是等腰三角形，故答案为：45，△AEF，△EFC．
（2）解：结论：PQ＝BP＋DQ．理由：如图2中，延长CB到T，使得BT＝DQ．
∵AD＝AB，∠ADQ＝∠ABT＝90°，DQ＝BT，
∴△ADQ≌△ABT（SAS），∴AT＝AQ，∠DAQ＝∠BAT，
∵∠PAQ＝45°，∴∠PAT＝∠BAP＋∠BAT＝∠BAP＋∠DAQ＝45°，∴∠PAT＝∠PAQ＝45°，
∵AP＝AP，∴△PAT≌△PAQ（SAS），∴PQ＝PT，
∵PT＝PB＋BT＝PB＋DQ，∴PQ＝BP＋DQ．故答案为：PQ＝BP＋DQ．
（3）解：如图3中，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠ACQ＝∠BAC＝45°，ACAB，
∵∠BAC＝∠PAQ＝45°，∴∠BAM＝∠CAQ，∴△CAQ∽△BAM，∴，故答案为：．

（4）证明：如图4中，将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABR，连接RM．
∵∠BAD＝90°，∠MAN＝45°，∴∠DAN＋∠BAM＝45°，
∵∠DAN＝∠BAR，∴∠BAM＋∠BAR＝45°，∴∠MAR＝∠MAN＝45°，
∵AR＝AN，AM＝AM，∴△AMR≌△AMN（SAS），∴RM＝MN，
∵∠D＝∠ABR＝∠ABD＝45°，∴∠RBM＝90°，∴RM2＝BR2＋BM2，
∵DN＝BR，MN＝RM，∴BM2＋DN2＝MN2．
11．（湖南怀化·九年级统考期末）如图,等腰三角形ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上点,且满足AB2=DB·CE.
（1）求证:△ADB∽△EAC；（2）若∠BAC=40°，求∠DAE的度数.
【答案】（1）见解析；（2）∠DAE=110︒
【详解】证明：（1）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，
∵AB2=DB•CE∴， ∵AB=AC，∴∴△ADB∽△EAC．
（2）∵△ADB∽△EAC，∴∠BAD=∠E，∠D=∠CAE，
∵∠DAE=∠BAD+∠BAC+∠CAE，∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC，
∵∠BAC=40°，AB=AC，∴∠ABC=70°，∴∠D+∠BAD=70°，
∴∠DAE=∠D+∠BAD+∠BAC=70°+40°=110°．
12．（江西南昌·模拟预测）【模型建立】
(1)如图1，在正方形中，，分别是边，上的点，且，探究图中线段，，之间的数量关系．
小明的探究思路如下：延长到点，使，连接，先证明，再证明．①，，之间的数量关系为________；
②小亮发现这里可以由经过一种图形变换得到，请你写出这种图形变换的过程________．像上面这样有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等的几何模型称为半角模型．
【类比探究】(2)如图2，在四边形中，，与互补，，分别是边，上的点，且，试问线段，，之间具有怎样的数量关系？判断并说明理由．
【模型应用】(3)如图3，在矩形中，点在边上，，，，求的长．
【答案】(1)①BE+DF=EF，②将△ADF绕A点顺时针旋转90°(2)EF=DF+BE，理由见详解(3)5.2
【详解】（1）①BE+DF=EF，理由如下：
沿着小明的思路进行证明，在正方形ABCD中，有AD=AB，∠D=∠ABC=90°，即有∠ABG=90°，
∵BG=DF，AD=AB，∠D=∠ABG=90°，∴△ADF≌△ABG，∴AF=AG，∠DAF=∠BAG，
∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，∴∠BAE+∠DAF=45°，∴∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF，
∵AF=AG，AE=AE，∴△AEF≌△AEG，∴EG=EF，
∵EG=BG+BE，BG=DF，∴EF=BE+DF，结论得证；
②将△ADF绕A点顺时针旋转90°即可得到△ABG．
理由如下：在①已经证得△ADF≌△ABG，并得到∠BAE+∠BAG=45°=∠EAF，
∴∠GAF=∠EAG+∠EAF=45°+45°=90°，∴将△ADF绕A点顺时针旋转90°即可得到△ABG；
故答案为：①BE+DF=EF，②将△ADF绕A点顺时针旋转90°；
（2）EF=DF+BE，理由如下：延长CB至点M，使得BM=DF，连接AM，如图，

∵∠ABC与∠D互补，∴∠D+∠ABC=180°，∵∠ABC+∠ABM=180°，∴∠ABM=∠D，
∵AB=AD，BM=DF，∴△ABM≌△ADF，∴∠DAF=∠BAM，AM=AF，
∵∠EAF=∠BAD，∴∠BAE+∠FAD=∠BAD，∴∠BAE+∠FAD=∠EAF，
∵∠DAF=∠BAM，∴∠BAM+∠BAE=∠EAF，∴∠MAE=∠EAF，
∵AM=AF，AE=AE，∴△MAE≌△FAE，∴ME=EF，
∵ME=BE+MB，MB=DF，∴EF=DF+BE，结论得证；
（3）过E点作EN⊥AC于N点，如图，
∵AD=6，AB=4，∴在矩形ABCD中，AD=BC=6，AB=DC=4，∠D=∠B=90°，
∴设EC=x，则有x＜6，∴BE=BC-EC=6-x，在Rt△ABE中，，
在Rt△ADC中，，
∵∠CAE=45°，EN⊥AC，∴∠ANE=90°=∠ENC，∴∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，
∴，∴，即：
∵∠ENC=90°=∠B，∠ACB=∠ECN，∴Rt△ABC∽Rt△ENC，∴，
∵AB=4，AC=，EC=x，∴，∴，
∵，∴，∴结合x＜6，解得x=5.2，∴CE=5.2．
13．（2026九年级上·辽宁大连·期末）【问题初探】（1）数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，，，，D，E为上两点，连接，，．李老师引导学生分析，发现图形中存在哪些结论．①小东发现，．②小红发现，．
请你选择一名同学发现的结论，写出证明过程．

图1 图2
【问题再探】（2）李老师引导学生们继续分析，当满足一定度数时，线段与具有一定的数量关系．小亮根据李老师的分析，提出下面问题，请你解答．如图2，，，，D，E为上两点，连接，，．若，求证：．
【学以致用】（3）如图3，，，，，D，E为上两点，连接，，若，且，求的长．
图3
【答案】（1）选小东发现的结论，证明见解析、（2）证明见解析、（3）
【详解】证明：（1）选小东发现的结论．理由如下：
∵，，∴．
∵，，∴．
选小红发现结论，同理可得：．

（2）作于F，则．
∵，∴．∴．
∵，∴．∴．∴．
设，，在中，根据勾股定理．∴．
在中，根据勾股定理．
∵，，∴．
∴．∴．∴．
∴．∴．∴．
（3）作交延长线于G，则．
∵，∴．∴．
∴．∴，
在中，∵，∴．
在中，根据勾股定理得．
∵，，∴是正三角形．∴．∴．
∵，∴．∴．
∵，∴，
∴．∴．∴．∴．
14（山东泰安·一模）如图，在正方形中，M、N分别是射线和射线上的动点，且始终．(1)如图1，当点M、N分别在线段、上时，请直接写出线段、、之间的数量关系；(2)如图2，当点M、N分别在、的延长线上时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，给予证明，若不成立，写出正确的结论，并证明；(3)如图3，当点M、N分别在、的延长线上时，若，设与的延长线交于点P，交于Q，直接写出、的长．

【答案】(1)(2)（1）中的结论不成立，，详见解析(3)；
【详解】（1）；理由：延长到点E，使得，

∵四边形是正方形，∴，
∵,∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，
∵，∴，∴，∵，∴；
（2）（1）中的结论不成立，正确结论为：．
理由：如图2，在上截取，连接，则，
在和中，，∴，∴，，
∴，即，
∵，∴，
在和中，，∴，
∴，∴，∴．
（3）连接，∵四边形是正方形，，
∴
∴，，，
∵∴，∴，
∴，∴，解得；∵四边形是正方形，
∴，，，∴，
∵，∴∴，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，∴．
15.（江苏宿迁·中考真题）在综合实践活动课上，同学们以折叠正方形纸片展开数学探究活动
【操作判断】操作一：如图①，对折正方形纸片，得到折痕，把纸片展平；
操作二：如图②，在边上选一点E，沿折叠，使点A落在正方形内部，得到折痕；
操作三：如图③，在边上选一点F，沿折叠，使边与边重合，得到折痕把正方形纸片展平，得图④，折痕与的交点分别为G、H．
根据以上操作，得________．
【探究证明】（1）如图⑤，连接，试判断的形状并证明；
（2）如图⑥，连接，过点G作的垂线，分别交于点P、Q、M．求证：．
【深入研究】若，请求出的值（用含k的代数式表示）．
【答案】[操作判断]45；[探究证明]（1）等腰直角三角形，理由见详解；（2）见详解；[深入研究]
【详解】[操作判断] 解：如图，由题意得，，

∵四边形是正方形，∴，∴，
∴，∴，即，故答案为：45；
[探究证明] 解：（1）如图，∵四边形是正方形，∴，，
∵，∴，∵，∴，
∴，∴，∵，∴，
∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形；
（2）如图，由翻折得，，∵四边形是正方形，∴，即，
∵，∴，∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∴，∴，∴；
[深入研究] 解：如图，连接，
∵四边形是正方形，∴，，，
∵是对角线，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
在中，，∴，∴,
∵，∴设，∴，
∵，∴，∴，∴，∴，
∴，∴，
∴，∴．
16.（2025·辽宁·模拟预测）（1）如图，等腰中，，，、在线段上，且，，，求的长．
（2）如图，在中，，如果，在直线上，在上，在的右侧，，若，，求的长．
（3）如图，在中，若，、是线段上的两点，，若，，探究与的数量关系．
【答案】（1）；（2）或；（3）
【详解】（1）如图，过点作，且使得，连接，，
，，，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
在中，，，解得：，；
（2）①当点在点的左侧时，作，，连接，作交于点，
，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
，，，
，，
，
在中，，即，解得：，；
②当点在点的右侧时，作，，连接，作交的延长线于点，
，，，，，
在和中，，，
，，，，，
在和中，，，，
设，则，
，，，，，
，在中，，即，
解得：，；综上所述，或；
（3）作，且令，连接，，
，，，，
， ，，，
，，，
，，，，
，，
，
，，，．