北师大版（2024）九年级上册（2024）☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高导学案及答案

这是一份北师大版（2024）九年级上册（2024）☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高导学案及答案，共4页。学案主要包含了问题发现，类比探究，拓展应用，初步感知，变式探究，拓展延伸，问题呈现，特例感知等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321767" 模型拓展4
\l "_Tc201321768" 模型运用4
\l "_Tc28484" 模型1.手拉手（旋转）模型4
\l "_Tc18836" 14
“手拉手”模型名称源于几何图形的动态特征：当两个具有‌公共顶点‌的相似三角形通过旋转或缩放后，连接对应顶点形成的图形如同两人“手拉手”。民间数学爱好者根据此特征命名，使其成为几何解题中的通用术语。虽模型归类为现代教学成果，但其数学思想早有体现：7世纪印度数学家‌婆罗摩笈多‌研究的圆内接四边形定理中，对角线交点与边的垂足关系隐含手拉手结构。
“手拉手”模型有以下特点：1）两个三角形相似；2）这两个三角形有公共顶点，且绕顶点旋转并缩放后2个三角形可以重合；3）图形是任意三角形(只要这两个三角形是相似的)。
（2025·广东东莞·二模）点C为和的公共顶点，将绕点C顺时针旋转，连接， (1)【问题发现】如图1所示，若和均为等边三角形，求证：；
(2)【类比探究】如图2所示，若，，其他条件不变，请写出线段与线段的数量关系是______；
(3)【拓展应用】如图3所示，若，，，，当点B，D，E三点共线时，求的长．
1.手拉手相似模型（任意三角形） 条件:如图1，∠BAC=∠DAE=，；
图1 图2
结论：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC.
证明：∵，∴，∵∠BAC=∠DAE=，∴△ADE∽△ABC，
∵∠BAC=∠DAE=，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，
∵，∴△ABD∽△ACE，∴，∠ABD=∠ACE，∴∠BFC=∠BAC=∠DAE=，
2.手拉手相似模型（直角三角形） 条件:如图2，，；
结论：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.
证明：∵，∴∠AOB-∠BOC=∠COD-∠BOC，∴∠AOC=∠BOD，
∵，∴△AOC∽△BOD，∴，∠OAB=∠OBD，
∴∠AEB=∠AOB=90°，∴AC⊥BD，∴.
3.手拉手相似模型（特殊的等边三角形与等腰直角三角形）
图3 图4
条件:M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点； 结论：△BME∽△CMF；.
证明：∵M为等边三角形ABC和DEF的边AC和DF的中点，∴，∠BMC=∠EMF=90°，
∴∠BMC-∠EMC=∠EMF-∠EMC，∴∠BME=∠CMF，∴△BME∽△CMF，∴，
条件:△ABC和ADE是等腰直角三角形； 结论：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.
证明：∵△ABC和ADE是等腰直角三角形，∴，∠BAC=∠DAE=45°，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD∽△ACE，
∴，∠ACE=∠ABD=90°
手拉手相似证明题一般思路方法:
①由线段乘积相等转化成线段比例式相等；
②分子和分子组成一个三角形、分母和分母组成一个三角形；
③第②步成立，直接从证这两个三角形相似，逆向证明到线段乘积相等；
④第②步不成立，则选择替换掉线段比例式中的个别线段，之后再重复第③步。
模型1.“手拉手”模型（旋转模型）
例1（山东东营·中考真题）在中，，，．
(1)问题发现：如图1，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，，线段与的数量关系是______，与的位置关系是______；
(2)类比探究：将绕点按逆时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的数量关系、位置关系与（1）中结论是否一致？若交于点N，请结合图2说明理由；
(3)迁移应用：如图3，将绕点旋转一定角度得到，当点落到边上时，连接，求线段的长．
例2（2025·江西新余·三模）【初步感知】（1）如图1，和相交于点，且，，
①则______（填“＜”“＞”或“＝”）；
②如图2，将图1中的绕点旋转，当点在外部，点在内部时，求证：；
【变式探究】（2）如图3，在与中，，．猜想，之间的数量关系，并说明理由；
【拓展应用】（3）如图4，在四边形中，，，若，求，两点间的最大距离．

例3（九年级下·湖北武汉·期中）【问题发现】
（1）如图1，在和中，，，，连接交于点M．求出的值及的度数；
【类比探究】（2）如图2，在和中，，，连接，交的延长线于点M，求出的值及的度数；
【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若，，将绕点O在平面内旋转一周．当D、C、B三点共线时时，直接写出的长为__________；
例4（2026·广东·九年级专题练习）已知在ABC中，O为BC边的中点，连接AO，将AOC绕点O顺时针方向旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接AE，CF．
（1）如图1，当∠BAC＝90°且AB＝AC时，则AE与CF满足的数量关系是 ；（2）如图2，当∠BAC＝90°且AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）如图3，延长AO到点D，使OD＝OA，连接DE，当AO＝CF＝5，BC＝6时，求DE的长．
例5（2025·安徽蚌埠·三模）将矩形绕点C按顺时针方向旋转，得到矩形．
(1)如图1，若 点E落在上，求的度数；(2)连接，，过点E作交于点M．如图2，证明：；如图3，若射线分别交，于点P，N，请探究线段，，之间的数量关系，并说明理由．
例6（浙江绍兴·中考真题）如图，在矩形中，，点E是边上的动点，连结，以为边作矩形（点D，G在的同侧），且，连结．
(1)如图1，当点E为边的中点时，点B，E，F在同一直线上，求的长．
(2)如图2，若，设与交于点K．求证：．(3)在点E的运动过程中，的长是否存在最大（小）值？若存在，求出的最值；若不存在，请说明理由．
1．（2025·福建·校考一模）如图，四边形ABCD是边长为2的菱形，且有一个内角为72°，现将其绕点D顺时针旋转得到菱形A'B'C'D，线段AB与线段B'C'交于点P，连接BB'．当五边形A'B'BCD为正五边形时，即长为（ ）
A．1B．C．D．
2．（四川绵阳·中考真题）如图，在中，，，将绕点C按逆时针方向旋转得到，满足，过点B作，垂足为E，连接，若，则的长为 ．
3．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在和中，，，．将绕点旋转，当A，D，E三点在同一条直线上时，

（1）的大小是 ；（2）的长是 ．
4.（2025·山东济南·三模）如图，在菱形中，，，点E是边上的动点（不与点A重合），连接，以为边在的上方作矩形，且，连接，则面积的最大值为 ．
5．（2026·安徽滁州·九年级校考阶段练习）如图，点A在线段上，在的同侧作等腰和等腰，与、分别交于点P、M．求证：(1)；(2)．

6．（2026·重庆市九年级阶段练习）问题提出（1）如图（1），在等边三角形ABC中，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等边三角形AMN，连接CN，则∠ACN＝ °．
类比探究（2）如图（2），在等边三角形ABC中，点M是BC延长线上的任意一点（不含端点C），其他条件不变，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．
拓展延伸（3）如图（3），在等腰三角形ABC中，BA＝BC，点M是BC上的任意一点（不含端点B、C），连接AM，以AM为边作等腰三角形AMN，使AM＝MN，连接CN．添加一个条件，使得∠ABC＝∠ACN仍成立，写出你所添加的条件，并说明理由．

7．（2026·福建泉州·九年级校考期末）
问题背景：（1）如图①，已知，求证：；
尝试应用：（2）如图②，在和中，，，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，，求的值；
拓展创新：（3）如图③，D是内一点，，，，，求AD的长．
8．（2026·江西抚州·九年级校考期中）将绕点按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的倍，得，如图①所示，，我们将这种变换记为．

(1)如图①，对作变换得到，则_________；直线与直线所夹的锐角为_________度；
(2)如图②，中，，对作变换得到，使点B、C、在同一直线上，连接且，求和的值；
(3)如图③，中，，对作变换得到，便点在同一直线上，且，求和的值．
9．（2026·湖北·校考一模）图形的旋转变换是研究数学相关问题的重要手段之一，小丽和小亮对等腰只角形的旋转变换进行研究．
(1)[观察猜想]如图1，△ABC是以AB、AC为腰的等腰三角形，点D、点E分别在AB、AC上．且DE∥BC，将△ADE绕点A逆时针旋转a（0°≤a≤360°）．请直接写出旋转后BD与CE的数量关系 ；

(2)[探究证明]如图2，△ACB是以∠C为直角顶点的等腰直角三角形，DE∥BC分别交AC与AB两边于点E、点D．将△ADE绕点A逆时针旋转至图中所示的位置时，（1）中结论是否仍然成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
(3)[拓展延伸]如图3，BD是等边△ABC底边AC的中线，AE⊥BE，AE∥BC．将△ABE绕点B逆时针旋转到△FBE，点A落在点F的位置，若等边三角形的边长为4，当AB⊥BE时，求出DF2的值．
10．（2025·山东枣庄·校考二模）综合实践
问题背景：借助三角形的中位线可构造一组相似三角形，若将它们绕公共顶点旋转，对应顶点连线的长度存在特殊的数量关系，数学小组对此进行了研究，如图1，在中，，，分别取，的中点D，E，作．如图2所示，将绕点A逆时针旋转，连接，．
(1)探究发现：旋转过程中，线段和的长度存在怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明．
(2)性质应用：如图3，当所在直线首次经过点B时，求的长．
11．（2026·湖北黄冈·九年级专题练习）【问题呈现】和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．

(1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________；
(2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．
【拓展应用】(3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长．
12．（2026九年级上·陕西西安·开学考试）（1）问题呈现：如图1，和都是等边三角形，连接、易知________；
（2）类比探究：如图2，，和都是直角三角形，，且，连接，求 的值；
（3）拓展提升：如图3，是等腰直角三角形，，将绕点A逆时针旋转得到，连接，延长交于点F，设，求的长．

13．（2026·山东济南·九年级统考期中）问题背景：一次小组合作探究课上，小明将一个正方形和等腰按如图所示的位置摆放（点、、在同一条直线上），其中．小组同学进行了如下探究，请你帮助解答：初步探究（1）如图，将等腰绕点按顺时针方向旋转，连接，．请直接写出与的关系；（2）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成菱形和等腰，其中，，其他条件不变，求证：；
深入探究：（3）如图，将（1）中的正方形和等腰分别改成矩形和，其中且，其它条件不变．①探索线段与的关系，说明理由；
②连接，若，，直接写出________．
14．（2025·河南·模拟预测）如图1，已知矩形分别为中点，连接．
(1)____，与的位置关系为___；(2)如图2，若把绕点逆时针旋转与之间的数量关系和位置关系是否会发生变化，请说明理由；(3)在（2）的条件下，如图3，直线与交于点，当旋转至时，请直接写出的长．
15．（2025·江西宜春·模拟预测）在综合实践课上，同学们以“图形的旋转与位似”为主题开展数学活动．
(1)如图，已知点E在矩形的对角线上，，将绕点A顺时针旋转后，以点A为位似中心放大两倍得到，连接．①证明：；②求，，的数量关系．
(2)如图，点E是直角三角形外一点，连接，，，，，求的长．

16．（2025·陕西榆林·三模）综合与实践
【特例感知】（1）在学习了“平行四边形”后，奋发数学兴趣小组的同学发现：如图1，已知点是正方形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，连接，通过观察图形，可得与之间的位置关系是___________，数量关系是___________；
【类比迁移】（2）奋进数学兴趣小组的同学发现：如图2，已知点是矩形的对角线上的动点（点不与点重合），以为直角边在的右侧构造，，猜想与之间的位置关系和数量关系，并证明猜想；
【拓展应用】（3）在（2）的条件下，若，点在矩形的对角线上运动（点不与点重合），当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长度．