初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高学案设计

这是一份初中数学北师大版（2024）九年级上册（2024）☆ 问题解决活动：利用相似三角形测高学案设计，共4页。学案主要包含了问题背景，类比探究，拓展运用等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型3
\l "_Tc201321767" 模型拓展5
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc28484" 模型1.“A”字模型6
\l "_Tc20466" 模型2.“X”字模型（“8”字模型）9
\l "_Tc17191" 模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）14
\l "_Tc18836" 17
“(双)A字型”与“(双)8字型”作为相似三角形的重要模型，并没有明确的起源时间或历史背景。这些模型是数学教育者和研究者为了解决特定几何问题而创造的，主要用于帮助学生理解和应用相似三角形的性质和判定方法。这些模型在数学教育中被广泛使用，特别是在中学几何教学中，帮助学生在解决复杂几何问题时提供直观的思路和工具。
（2025·山东东营·中考真题）如图，在中，，，点D为中点，点E在上，当为 时，与以点A、D、E为顶点的三角形相似．
（安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（ ）

A．B．C．D．
“A”字模型：（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似。
①“A”字模型 ②反“A”字模型 ③同向双“A”字模型 ④内接矩形模型

图1 图2 图3 图4
①“A”字模型 条件：如图1，DE∥BC；结论：△ADE∽△ABC⇔eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
②反“A”字模型 条件：如图2，∠AED＝∠B；结论：△ADE∽△ACB⇔eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC)。
证明:∵∠AED＝∠B，∴∠A=∠A，（公共角） ∴△ADE∽△ACB，∴eq \f(AD,AC)＝eq \f(AE,AB)＝eq \f(DE,BC)。
③同向双“A”字模型 条件：如图3，EF∥BC；
结论：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC⇔。
证明:∵EF∥BC，∴∠AEF=∠ABC，∠AFE=∠ACB，∴△AEF∽△ABC，
同理可证：△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
④内接矩形模型 条件：如图4，△ABC的内接矩形DEFG的边EF在BC边上，D、G分别在AB、AC边上，且AM⊥BC；结论：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM⇔。
证明:∵DEFG是矩形 ∴DG∥EF，∴∠ADG=∠ABC，∠AGD=∠ACB，∴△ADG∽△ABC，
同理可证：△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM，∴。
“X”字模型（“8”字模型）：图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似。
①“8”字模型 ②反“8”字模型 ③平行双“8”字模型 ④斜双“8”字模型

图1 图2 图3 图4
①“8”字模型
条件：如图1，AB∥CD；结论：△AOB∽△COD⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD)。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D，∴△AOB∽△COD，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OC)＝eq \f(OB,OD)。
②反“8”字模型
条件：如图2，∠A＝∠D；结论：△AOB∽△DOC⇔eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC)。
证明:∵∠A＝∠D，∴∠AOB=∠DOC，（对顶角） ∴△AOB∽△DOC，∴eq \f(AB,CD)＝eq \f(OA,OD)＝eq \f(OB,OC)。
③平行双“8”字模型
条件：如图3，AB∥CD；结论：。
证明:∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠AEO=∠DFO，∴△AEO∽△DFO，
同理可证：△BEO∽△CFO，△ABO∽△DCO，∴。
④斜双“8”字模型
条件：如图4，∠1＝∠2；结论：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC⇔∠3＝∠4。
证明:∵∠1＝∠2，∠AOD=∠BOC（对顶角）， ∴△AOD∽△BOC，∴AO:BO=DO:CO，即AO:DO=BO:CO；
∵∠AOB=∠DOC（对顶角），∴△AOB∽△DOC，∴∠3＝∠4。
“AX”字模型（“A8”字模型）
①一“A”+“8”模型 ②两“A”+“8”模型（反向双“A”字模型） ③四“A”+“8”模型

图1 图2 图3
①一“A”+“8”模型 条件：如图1，DE∥BC；
结论：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，⇔。
证明:∵DE∥BC，∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，∴△ADE∽△ABC，∴eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(DE,BC)。
∵DE∥BC，∴∠FDE=∠FCB，∠DEF=∠CBF，∴△DEF∽△CBF，∴。
∴。
②两“A”+“8”模型 条件：如图2，DE∥AF∥BC；
结论：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，⇔。
证明:∵AF∥BC，∴∠DAF=∠B，∠DFA=∠DCB，∴△DAF∽△DBC，∴。
∵DE∥AF，∴∠CAF=∠E，∠CFA=∠CDE，∴△CAF∽△CED，∴。
两式相加得到：，即，故。
③四“A”+“8”模型3 条件：如图3，DE∥GF∥BC；结论：AF=AG，。
证明:同②中的证法，易证：，，
∴，即AF=AG，故。
A字型和8（X）字型的应用难点在于过分割点（将线段分割的点）作平行线构造模型，有的是直接作平行线，有的是间接作平行线（倍长中线就可以理解为一种间接作平行线），这一点在模考中无论小题还是大题都是屡见不鲜的。
模型1.“A”字模型
例1（2025·四川宜宾·中考真题）如图，一张锐角三角形纸片，点、分别在边、上，，沿将剪成面积相等的两部分，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
例2（2026八年级下·福建·期末）如图，在中，，，，点是上的一点，，，垂足为，求的长．
例3（2025·广东广州·模拟预测）如图，正方形内接于，点，在上，点，分别在和边上，且边上的高，，则正方形的面积为 ．
例4（湖南永州·模拟预测）如图：中，，，，把边长分别为，，，…的n个正方形依次放在中；第一个正方形的顶点分别放在的各边上；第二个正方形的顶点分别放在的各边上，其他正方形依次放入，则第2024个正方形的边长为 ．
例5（2026八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，平行四边形的对角线与相交于点，在的延长线上取一点，使，连结，交于点，若，则的长为（ ）
A．14B．7C．16D．8
模型2.“X”字模型（“8”字模型）
例1（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，已知在中，是上一点，且的面积与的面积比是，，则四边形的面积为 ．
例2(2025九年级下·重庆·专题练习）如图，在中，是的中点，是的中点，的延长线交于，求．
（1）解：过作，交于．请继续完成解答过程：
（2）创新求解：利用“杠杆平衡原理” 解答本题：（如图）设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为；则端所挂物体质量为，点承受质量为；当点为杠杆的支点，则A端所挂物体质量为；再以为杠杆的支点时，；
应用：如图，在中，是上一点，是上一点，的延长线交于，且，，求
解：设点为杠杆的支点，端所挂物体质量为，则端所挂物体质量为 ，点承受质量为 ；当点为杠杆的支点，则端所挂物体质量为 ；再以为杠杆的支点时， ．
例3（2026九年级上·浙江杭州·期中）如图，与交于点O，过点O，交于点E，交于点，．（1）求证：．（2）若，求．
例4（2025·山东青岛·模拟预测）
性质应用：
(1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________；
(2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________．
(3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________．
模型3.“AX”字模型（“A8”字模型）
例1（2026九年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在平行四边形中，E为边上一点，，交于点F，连接并延长交于点G．若，则的长为（ ）
A．B．1C．D．2
例2（2026八年级下·吉林长春·阶段练习）如图，相交于点M，过点M作垂直于交于点H，已知，则的值为 ．

例3（湖北·模拟预测）（1）【问题背景】如图1，，与相交于点E，点F在上．求证：；

小雅同学的想法是将结论转化为来证明，请你按照小雅的思路完成原题的证明过程．
（2）【类比探究】如图2，，，，与相交于点G，点H在上，．求证：．
（3）【拓展运用】如图3，在四边形中，，连接，交于点M，过点M作，交于点E，交于点F，连接交于点N，过点N作，交于点G，交于点H，若，，直接写出的长．
例4（浙江·九年级期中）如图，中，中线，交于点，交于点．（1）求的值．（2）如果，，请找出与相似的三角形，并挑出一个进行证明．
1.（四川内江·中考真题）如图，在中，点D、E为边的三等分点，点F、G在边上，，点H为与的交点．若，则的长为（ ）

A．1B．C．2D．3
2．（2025·广东深圳·一模）如图，在平行四边形中，，点E是上的点且，延长至点F使，连接并延长交于点H交于点，则的长为（ ）
A．2B．3C．D．
3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图，在矩形中，按以下步骤作图：①以点B为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点M，N；②分别以点M，N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点O；③作射线，交于点E，交的延长线于点F；④连接交于点G．若，，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
4.（山东东营·中考真题）如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A．B． C． D．
5．（2025·山东德州·二模）如图，将沿边向右平移2个单位长度得到．若，阴影部分的面积为2，则的面积为 ．
6.（2026九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，，点为上一点，过点作的垂线交的延长线于点，若，则线段的长为 ．

7.（辽宁·中考真题）如图，，与相交于点，且与的面积比是，若，则的长为 ．
8．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，点D，E分别在，边上，，且，则的值为 ．
9．（2025·上海杨浦·模拟预测）如图，若平行于，为中点，，则 ．
10.（四川眉山·中考真题）如图，菱形的边长为6，，过点作，交的延长线于点，连结分别交，于点，，则的长为 ．
11．（2026九年级上·湖南·阶段练习）已知如图，，若，则的值为

A．1B．C．2D．
12．（2026九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，一块材料的形状是锐角三角形，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上，若、、的面积分别为4、6、3，则求这个正方形零件的边长是 ．
13．（宁夏·中考真题）如图，在中，点在边上，，连接并延长交的延长线于点，连接并延长交的延长线于点F．求证：．小丽的思考过程如下：
参考小丽的思考过程，完成推理．
14．（浙江杭州·中考真题）在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点．(1)若，求的长．(2)求证：．
(3)以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长．
15．（2025·河南·校考三模）综合与实践：莹莹复习教材时，提前准备了一个等腰三角形纸片，如图，．为了找到重心，以便像教材上那样稳稳用笔尖顶起，她先把，点B与点C重叠对折，得折痕，展开后，她把点B与点A重叠对折，得折痕，再展开后连接，交折痕于点O，则点O就是的重心．
教材重现：

(1)初步观察：连接，则与的数量关系是：________；(2)初步探究：请帮助莹莹求出的面积；
(3)猜想验证：莹莹通过测量惊奇地发现．她的发现正确吗？请说明理由；
(4)拓展探究：莹莹把剪下后得，发现可以与拼成四边形，且拼的过程中点不与点重合，直接写出拼成四边形时的长．
16．（2025·四川广安·中考真题）已知的面积是1．
（1）如图1，若D，E分别是边和的中点，与相交于点F，则四边形的面积为 ．
（2）如图2，若M，N分别是边和上距离C点最近的6等分点，与相交于点G，则四边形的面积为 ．
17．（2025·浙江衢州·一模）在矩形中，点，分别是，边上的动点，连接，交于点．
(1)如图（1），当点，分别是，的中点时，求证：；
(2)若，点是边上的点，连接交于点，点是的中点，
如图（2），若，求的长；如图（3），连接，当，且时，求的值．
18．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，在中，M，N分别为边，上的点，．
(1)求证：；(2)如图（2），已知，延长到，使，延长交于点．①若设，探究m，n之间的等量关系；②连接，若平分，直接写出的值．
三角形的重心
定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心．
三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的．
下面是小亮证明此性质的过程：
已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点．求证：．
证明：连接．分别是边、的中点，
，，
，．
如图，用铅笔可以支起一张均匀的三角形卡片．你知道怎样确定这个点的位置吗？

在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）如图，是的边上的中线．