人教版九年级上册第二十一章 一元二次方程21.2 解一元二次方程21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系教案设计

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课题
21.2.4一元二次方程的根与系数的关系
单元
第21章
学科
数学
年级
九年级
学习
目标
1.掌握根与系数的关系；
2.利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
重点
掌握根与系数的关系.
难点
利用根与系数的关系求方程的解或系数或含方程两根的代数式的值.
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习回顾：用适当的方法解下列方程:
x2+5x-14=0
解：(x-2)(x+7)=0
x-2=0，x+7=0
x1=2，x2= -7
其中 x1+x2= -5 , x1x2=-14
思考：（1）不解方程，你能快速求出 x1+x2与x1x2 的值吗？
（2）任意一个一元二次方程，如果不解方程，你能快速求出 x1+x2与x1x2 的值吗？
学生回忆、思考并回答问题.
提出问题，寻找解决办法，为下面推导根与系数的关系奠定基础.
讲授新课
环节一：推导根与系数的关系
一般地，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
的两根分别为x1，x2， 两根之和x1+x2、两根之积x1x2 与系数有怎样的关系呢？
根据求根公式可知：
由此可知：
因此，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根x1，x2和系数a、b、c有如下关系：
任何一个一元二次方程的根x1，x2和系数a、b、c的关系为：两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比。
注意：先把方程写成一般形式，确定a、b、c的值。
思考：把一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两边同时除以a，能否得出以下结论？
方程两边同时除以a，得：，通过解方程，依然能够得出上述结论。
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系，也叫做韦达定理。
注意：使用的前提条件为b2-4ac≥0
环节二：典例解析
例4 根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2 的和与积:
x2-6x-15=0
(2)3x2+7x-9=0
(3)5x-1=4x2
解：(1)a=1,b= -6,c= -15
x1+x2= -(-6)=6，x1x2= -15
(2)a=3,b=7,c= -9
x1+x2= ，x1x2=-3
(3)方程化为 4x2-5x+1=0
a=4,b= -5,c=1
x1+x2= ，x1x2=
小结：求根与系数的关系的步骤：
1.化：把方程化成一般形式；
2.定：确定a,b,c的值；
3.求：求出x1+x2，x1x2的值；
4.验：检验b2-4ac≥0.
环节三：课堂练习
不解方程，求下列方程两根之和与两根之积:
(1)x2-3x=15
(2)3x2+2=1-4x
(3)5x2-1=4x2+ x
(4)2x2-x+2=3x+1
解：(1)方程化为x2-3x-15=0
a=1,b=-3,c=-15
x1+x2=3，x1x2=-15
(2)方程化为3x2+4x+1=0
a=3,b=4,c=1
x1+x2=，x1x2=
(3)方程化为 x2-x-1=0
a=1,b=--1,c=-1
x1+x2=1，x1x2=-1
(4)方程化为2x2-4x+1=0
a=2,b=-4,c=1
x1+x2=2，x1x2=
2.已知 3x2+2x-9=0 的两根是x1、x2.
求：(1) (2)x12+x22
解： a=3,b=2,c=-9
x1+x2=，x1x2=-3

3.已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一个根是2, 求它的另一个根及k的值.
解：将x=2代入方程，得
22-2(k+1)+3k=0
解得 k= -2
2x1=3k=-6
x1=-3
4.设x1,x2是方程x2-2(k-1)x+k2 =0的两个实数根,且x12 +x22=4，求k的值.
解：由题意,得
x1+x2=2(k-1)
x1x2=k2
x12+x22=4
Δ=4(k-1)2-4k2≥0
解得：k1=0, k2=4.
k≤0.5
∴k=0
师生合作，借用求根公式推导根与系数的关系.
借助典型例题,展示求解两根之和与两根之积的步骤，并进行总结.
学生练习，师生互评订正.
推导根与系数的关系.
培养学生计算能力以及熟练根与系数的关系.
通过练习，使学生熟练掌握方程根与系数的关系.
课堂小结
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根与系数的关系(韦达定理)：

注意：能用根与系数的关系的前提条件：b2-4ac≥0
师生共同梳理本节课的知识点.
强化本节课的知识点.
板书
21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
根与系数的关系(韦达定理)：
例4 练习
教师展示本节课的内容.
展示本节课的内容.