人教版（2024）九年级上册一元二次方程教学设计

这是一份人教版（2024）九年级上册一元二次方程教学设计，共6页。教案主要包含了知识技能类作业，综合拓展类作业等内容，欢迎下载使用。

第二课时《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
课型
新授课√ 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析
《一元二次方程的根与系数的关系》是人教版初中数学九年级上册第二十一章21.2.4的内容,一元二次方程根与系数的关系(也称韦达定理)，该内容是在学习了一元二次方程的解法和根的判别式之后引入的。它深化了两根与系数之间的关系，是今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，是方程理论的重要组成部分。利用这一关系可以解决许多问题，同时在高中数学的学习中有着更加广泛的应用。
学习者分析
从学生心理特征来看，他们有一定的分析问题、归纳问题的能力。因此本节课，注重激发学生的求知欲，让他们真正成为学习的主人。所以在教学中我抓住这些特点一方面运用色彩绚丽的图片课件，激发学生的学习兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上;另一方面，我创造机会和条件，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，充分体现新课程所倡导的以学生为本的理念。
教学目标
1.熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系.
2.灵活运用一元二次方程的根与系数的关系解决实际问题.
3.经历探索一元二次方程的根与系数的关系，发展学生的逻辑推理和数学运算的核心素养，培养学生观察、分析、归纳和判断的能力.
教学重点
一元二次方程根与系数关系
教学难点
让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系，能运用根与系数的关系解决待定字母及代数式求值问题。
学习活动设计
教师活动
学生活动
环节一：引入新课
教师活动1：
【提问】
1. 一元二次方程的一般形式？
2. 一元二次方程有实数根的条件是什么？
3. 一元二次方程的求根公式是什么？
学生活动1：
学生思考，回忆回答问题
活动意图说明：
先回顾解一元二次方程的相关知识，为本节课学生学习一元二次方程根与系数关系做好铺垫。
环节二：新知探究
教师活动2：
思考：
从因式分解法可知，方程(x-x1)(x-x2)=0(x1，x2为已知数)的两根为x1和x2，将方程化为x2+px+q=0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗？
把方程(x-x1)(x-x2)=0的左边展开，化成一般形式，得方程x2-(x1+x2)x+x1x2=0
这个方程的二次项系数为1，一次项系数p=-(x1+x2)，常数项q=x1x2.
于是，上述方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： (x1+x2)=-p，x1x2=q.
学生活动2：
先由学生思考，再由教师给出答案
学生积极回答，允许学生有不同的观点
通过引导，学生得出：可以将方程10x-4.9x2=0，通过因式分解变形为：x(10-4.9x)=0。
学生积极思考，学生板演
学生积极思考，教师引导与总结
活动意图说明：通过求解一元二次方程的过程，锻炼学生选择合适方法解一元二次方程的能力。再通过小组讨论环节，引导学生通过观察，得出一元二次方程根与系数关系的猜想。教师通过适当引导，培养学生解决问题的能力，激发学生的主动性和求知欲
环节三：新知探究
教师活动3:
思考： 一般的一元二次方程ax2+bx+c=0中，二次项系数a未必是1，它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢？
根据求根公式可知，x1=-b+b2-4ac2a，x2=-b-b2-4ac2a
由此可得
x1+x2=-b+b2-4ac2a+-b-b2-4ac2a=-2b2a=-ba
x1x2=-b+b2-4ac2a×-b-b2-4ac2a
=b2-(b2-4ac)4a2=ca
一元二次方程根与系数的关系
一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根与系数的关系为：x1+x2=-ba，x1x2=ca.
学生活动3：
学生思考，利用求根公式解方程。
教师通过多媒体展示具体推导过程。
活动意图说明：推导韦达定理的方法不难，但是重在学生理解推导方法。第一种推导方法是利用求根公式，从而得出一元二次方程两个根的和与积的关系。第二种方法已知一元二次方程两个根x1、x2，先利用因式分解法将方程变形为a(x-x1)(x-x2)，再通过化简得到：a[x2-(x1+x2)x+x1x2] 而 ax2+bx+c=a(x2+ba+ca)，所以a(x2+ba+ca) =a[x2-(x1+x2)x+x1x2]，从而得出一元二次方程两个根的和与积的关系。使用韦达定理需要特别注意：首先将一元二次方程化为一般式，再验证Δ是否大于等于0。以一元二次方程根与系数的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力。
环节四：典例精析
教师活动3：
例：根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：
(1) x2－6x－15＝0;
(2) 3x2＋7x－9＝0;
(3) 5x－1＝4x2.
例、设x1、x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则:
（1）x1+x2= ,
（2) x1·x2= ,
（3) x12+x22= ,
（4) (x1+1)(x2+1)= ，
学生活动3：
请学生板演，然后师生共同纠错
解：(1)x1+x2 =-ba=32 x1x2 = ca = 12
(2)x1+x2 =-ba=3 x1x2 = ca = -8
(3) x1+x2 =-ba=17 x1x2 = ca = -137
答案：4,1，14,6
活动意图说明：加深学生对因式分解法求解一元二次方程的理解与掌握。
环节四：归纳总结
教师活动4：
知识拓展
常见的求值:
(1)(x1+1)(x2+1)=x1+x2+x1x2+1
(2)1x1+1x2=x1+x2x1x2
(3)x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2
(4)(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
步骤:1.根据方程的系数求出两根之和与两根之积；
把代数式化成只含两根之和与两根之积的形式;
代入数值进行计算.
学生活动4：
先由学生尝试化简，老师最后订正归纳
活动意图说明：考查一元二次方程根与系数关系的题目中，利用韦达定理直接求方程的根是基础题，通常还会遇到已知一元二次方程，求代数式值或已知式子的值求未知数的题目，本环节我们就展示如何通过韦达定理求这些常见代数式的值，再次加深学生对一元二次方程根与系数的关系理解与掌握。
板书设计
1.一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=-ba，x1x2=ca.
2.根与系数关系的应用
课堂练习
【知识技能类作业】
必做题：
1.已知a、b满足a2﹣6a+2＝0，b2﹣6b+2＝0，则ba+ab＝（ ）
A．﹣6 B．2 C．16 D．16或2
2.若α，β是方程x2+2x﹣2005=0的两个实数根，则α2+3α+β的值为（ ）
A．2005 B．2003 C．﹣2005 D．4010
3.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个根是___，m =____.
4.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .
选做题：
5.已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它的另一个根及m的值.
6.当k为何值时，方程2x2-(k+1)x+k+3=0的两根差为1.
【综合拓展类作业】
7.已知x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根，
且x12 +x22 =4，求k的值.
课堂总结
作业设计
【知识技能类作业】
必做题：
1.若方程3x2+6x-4=0的两个根为x1,x2,则x1+x2的值为( )
A.6 B .-6 C.2 D.-2
2.已知x1,x2是一元二次方程1-4x=-12x2的两个根，则x1x2= ， x1+x2= 。
选做题：
3.已知关于x的一元二次方程x2-x-1=0的两根分别为x1,x2,试求下列代数式的值：
(1)1x1+1x2；(2)x12+x22
【综合拓展类作业】
4．已知关于 x 的一元二次方程 x2＋5x－p2＝0 的两个实数根为 x1，x2，当 x1＋x2＝x1x2 时，求 p 的值．
教学反思
1．一元二次方程根与系数的关系的推导是在求根公式的基础上进行。它深化了两根的和与积同系数之间的关系，是我们今后继续研究一元二次方程根的情况的主要工具，必须熟记，为进一步使用打下基础。
2．以一元二次方程根与系数的关系的探索与推导，向学生展示认识事物的一般规律，提倡积极思维，勇于探索的精神，借此锻炼学生分析、观察、归纳的能力及推理论证的能力
3．使学生体会解题方法的多样性，开阔解题思路，优化解题方法，增强择优能力。力求让学生在自主探索和合作交流的过程中进行学习，获得数学活动经验，教师应注意引导。