北师大版（2024）九年级上册正方形的性质与判定课前预习ppt课件

这是一份北师大版（2024）九年级上册正方形的性质与判定课前预习ppt课件，共28页。PPT课件主要包含了你能证明这个猜想吗，平行四边形，对角线垂直，对角线相等，对角线不垂直也不相等，对角线垂直且相等，正方形，跟踪训练等内容，欢迎下载使用。
1.探索并证明正方形的判定定理，会进行相关的证明与计算，进一步发展推理能力。2.了解中点四边形。3.体会探索与证明过程中所蕴含的抽象、推理等数学思想。
正方形的定义：有一组 相等，并且有一个角是 的 四边形叫作正方形。类比平行四边形、矩形和菱形，正方形的定义也是判定正方形的一种方法。
正方形的判定：定义法：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形。几何语言：∵四边形ABCD是平行四边形， AB=AD，∠B=90°，∴四边形ABCD是正方形。
知识点1 正方形的判定
问题1 满足什么条件的矩形是正方形?
你能证明这两个猜想吗?
平行四边形四个角为90°对角线相等
邻边相等（利用正方形的定义猜想）
对角线垂直（利用正方形的性质猜想）
猜想：有一组邻边相等的矩形是正方形； 对角线互相垂直的矩形是正方形。
求证：有一组邻边相等的矩形是正方形。如图，四边形ABCD是矩形，AB=BC。求证：四边形ABCD是正方形。
证明： ∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°。∵AB=BC，∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。
求证：对角线互相垂直的矩形是正方形。如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，且AC⊥BD。求证：四边形ABCD是正方形。
证明: ∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD是平行四边形，∠BAC=90°，OB=OD。∵AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴AB=AD。∴平行四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。
正方形的判定定理定理1：有一组邻边相等的矩形是正方形。几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AB=AD， ∴四边形ABCD是正方形。定理2：对角线互相垂直的矩形是正方形。几何语言：∵四边形ABCD是矩形，AC⊥BD， ∴四边形ABCD是正方形。
问题2 满足什么条件的菱形是正方形?
平行四边形四边相等对角线互相垂直
有一个角是直角（利用正方形的定义猜想）
对角线相等（利用正方形的性质猜想）
猜想：有一个角是直角的菱形是正方形； 对角线相等的菱形是正方形。
求证:有一个角是直角的菱形是正方形。如图，已知四边形ABCD是菱形，∠A=90°。求证:四边形ABCD是正方形。
证明: ∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形，AB=BC。∵∠A=90°，∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。
求证：对角线相等的菱形是正方形。如图，已知菱形ABCD的对角线为AC，BD，AC=BD。求证：四边形ABCD是正方形。
证明: ∵四边形ABCD是菱形，∴四边形ABCD是平行四边形，AD=BC=AB，AD∥BC。∵AB=BA，BD=AC，∴△ABD≌△BAC，∴∠DAB=∠CBA。
∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA=180°，∴∠DAB=∠CBA=90°，又∵四边形ABCD是平行四边形，AD=AB，∴四边形ABCD是正方形(正方形的定义)。
正方形的判定定理定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。几何语言：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=90°， ∴四边形ABCD是正方形。定理4：对角线相等的菱形是正方形。几何语言：∵四边形ABCD是菱形，AC=BD， ∴四边形ABCD是正方形。
已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE。求证：四边形BECF是正方形。
在△EBC中，∵∠EBC=45°，∠ECB=45°，∴∠BEC=180°- ∠EBC- ∠ECB= 180°- 45°- 45°=90°。∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)。
知识点2 中点四边形
思考 (1)如图，四边形ABCD是正方形，以它四边的中点为顶点的四边形，是一个怎样的四边形?如果四边形ABCD是矩形呢？
猜测：任意画一个正方形，以四边的中点为顶点组成的图形是正方形。
M N
∴四边形A1MON是平行四边形，∴∠MA1N=∠AOB=90°。∴四边形A1B1C1D1是正方形（正方形的定义）。
猜测：任意画一个矩形，以四边的中点为顶点组成的图形是菱形。
思考 (2)类比上述问题，你还能提出什么问题?
以菱形各边的中点为顶点可以组成一个什么图形？如果以平行四边形各边的中点为顶点呢？
中点四边形：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形叫作中点四边形。如图，在四边形ABCD中，若E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则四边形EFGH是中点四边形。
思考 (3)以四边形各边中点为顶点所组成的新四边形的形状与哪些线段有关系?有怎样的关系?
以菱形各边的中点为顶点可以组成一个矩形。
以矩形各边的中点为顶点可以组成一个菱形。
以平行四边形各边的中点为顶点可以组成一个平行四边形。
中点四边形的形状取决于原四边形两条对角线的位置关系和数量关系，具体如下表所示。
如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得到四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A. AB∥DC B. AC=BD C. AC⊥BD D. AB=DC
1.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形 B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形 C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形 D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
2.如图，将长方形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE，若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学依据是（　　）A. 邻边相等的矩形是正方形B. 对角线相等的菱形是正方形C. 两个全等的直角三角形构成正方形D. 轴对称图形是正方形
3.如图，任意画一个四边形，再以四边的中点为顶点画一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征?请证明你的结论。
解：这个新的四边形是平行四边形。证明如下:连接AC，BD，∵点E，F分别是AB，BC的中点，∴EF是△ABC的中位线， ∴ EF//AC。同理可证HG//AC，EH//BD，FG//BD，∴EF//HG，EH//FG， ∴四边形EFGH是平行四边形。
4.如图，在四边形ABCD中， AB=BC ，对角线BD平分ABC ， P是BD上一点，过点P作PMAD ， PNCD ，垂足分别为M，N。(1) 求证：ADB=CDB；(2) 若ADC=90，求证：四边形MPND是正方形。
证明： (1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∵AB = BC，DB=DB，∴△ABD≌△CBD (SAS)，∴∠ADB=∠CDB。
证明： (2) ∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD=∠PND=90°。又∵∠ADC=90°，∴四边形NPMD是矩形。 ∵∠ADB=∠CDB，∴∠ADB=∠CDB=45°。
∴∠MPD=45°，∴∠ADB=∠MPD，∴DM=PM。∴四边形NPMD是正方形。
有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形
边：有一组邻边相等的矩形是正方形
角：有一个角是直角的菱形是正方形
对角线：对角线互相垂直的矩形是正方形