北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理优秀同步达标检测题

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理优秀同步达标检测题，共10页。试卷主要包含了利用勾股定理，作出长为的线段，掌握勾股定理和它的简单应用等内容，欢迎下载使用。

知识点01 勾股定理
直角三角形两直角边的 等于斜边的 .
如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.
注意：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：，， .
运用：1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2.用于解决带有平方关系的证明问题；
3.利用勾股定理，作出长为的线段
【即学即练】
1．如图，中，．以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（ ）
A．18B．20C．22D．25
2．若一个直角三角形的两条边的长分别为、，则第三条边的长是 ．
3．如图，在中，∠B=90°，，，将折叠，使点C与点A重合，折痕为，
(1)求的长；
(2)求点B到斜边的距离；
知识点02 勾股定理验证

（1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以.
【即学即练】
1．如图，在长方形中，点在上，点在上，，，，且．
(1)请用两种不同的方法计算梯形的面积，探究、、三者之间的等量关系（结果化成最简）；
(2)请运用（1）中得到的结论，解决下列问题：
①当，时，长方形的面积是______；
②当，时，求面积．
题型01 以直角三角形三边为边长的图形面积
【典例1】如图字母所代表的正方形的面积是（ ）
A．12B．13C．144D．194
【变式1】如图是一棵勾股树，它是由正方形和直角三角形排成的，若正方形的面积分别是，则最大正方形E的面积是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】如图，在中，，分别以，，为边向外作半圆，并分别记它们的面积为，，，若，，则（ ）
A．B．C．D．
【变式3】如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，其面积分别记为，，，．若，，，则的长为（ ）
A．7B．5C．4D．6
题型02 已知直角三角形的两边，求第三边长
【典例1】已知一个直角三角形的两直角边长分别为3和4，则第三边长的平方是 ．
【变式1】直角三角形的两条直角边长分别是6，8，则第三边长是 ．
【变式2】计算图中线段的长： ， ．
【变式3】在中，已知其中两边分别为6和8，则第三边为 ．
题型03 等面积法求直接斜边上的高问题
【典例1】若直角三角形的两直角边长分别为6，12，则该直角三角形的斜边上的高为 ．
【变式1】直角三角形两直角边长分别为3和，则斜边上的高为 ．
【变式2】如图，在中，是斜边上的高，如果，，那么 ．
【变式3】睿明同学在学习勾股定理后深入思考发现求一个三角形面积的方法：如图，是的高，高是和的公共直角边，由勾股定理得，，设，可建立关于的方程，求得，进而通过计算就可求出的面积．根据睿明同学的方法，若，，，则的面积为 ．
题型04 勾股定理与网格问题
【典例1】如图所示的网格是正方形网格，则 °（点A，B，C是网格线交点）．
【变式1】在的方格中，小正方形的边长是1，点A、B、C都在格点上，则边上的高为 ．
【变式2】如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点均在小正方形的顶点上．以点为圆心，长为半径画弧，圆弧交于点，则的长为 ．
【变式3】在边长为1的正方形网格中，均为格点，
(1)___________，___________
(2)求中边上的高
题型05 勾股定理与折叠问题
【典例1】如图，在中，，，，把折叠，使落在直线上，则 的长为 ．
【变式1】如图，小明用一张长方形纸片进行折纸，已知该纸片宽为，长为．当小明折叠时，顶点落在边上的点处（折痕为）．则此时的面积为 ．
【变式2】如图，三角形纸片，，将纸片沿过点C的直线折叠，使点A落在边上点D处，再折叠纸片使点B与点D重合，折痕交于点E．若，，则的长为 ．
【变式3】在四边形中，．
(1)若P为边上一点，如图①将沿直线翻折至的位置，当点B落在边上点E处时，求的长；
(2)如图②，点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点D恰好落在直线上的点处，求的长．
题型06 利用勾股定理求两条线段的平方和（差）
【典例1】对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点，若，，则 ．
【变式1】中，斜边，则的值是 ．
【变式2】如图，四边形的对角线，相交于点．若，则 ．
【变式3】如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则 ．
题型07 利用勾股定理证明线段平方关系
【典例1】如图，和都是等腰直角三角形，，D为边上一点，
求证：
(1)；
(2)．
【变式1】如图，在中，．
(1)求证：；
(2)当，，时，求的值．
【变式2】如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．

(1)试判断与的大小关系，并说明理由；
(2)试说明三者之间的关系．
【变式3】如图，在中，已知，D是斜边的中点，交于点E，连接

(1)求证：；
(2)若，，求的周长.
题型08 勾股定理的验证方法
【典例1】（1）如图①，美丽的弦图，蕴含着四个全等的直角三角形，弦图中包含了一大，一小两个正方形，已知每个直角三角形中较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边为c，结合图①，验证勾股定理；
（2）如图②，将四个全等的直角三角形紧密地拼接在一起，形成飞镖状，已知外围轮廓的周长为24，，求该飞镖状图案的面积．
【变式1】现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为a、b，斜边长为c，将它们拼合为如图的形状．用两种不同的方法计算整个组合图形的面积，可以证明勾股定理，
(1)请将证明过程补充完整：方法一：以c为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；方法二：以a和b为边的两个小正方形的面积+两个直角三角形的面积，即最后化简为__________；根据面积相等，直接得等式__________，化简最后结果是__________．
(2)当时，求空白部分的面积．
【变式2】【材料】勾股定理的证明：两个全等的直角三角形按如图①所示的方式摆放，连接，的三边长分别为a，b，c（），四边形的面积可以表示为或，从而推导出．
【探究】（1）淇淇将从图①的位置开始沿向左移动，直到点F与点B重合时停止，如图②所示，与交于点O，下面是淇淇利用图②证明勾股定理的过程．请将淇淇的探究过程补充完整．
证明：连接，．
______；
__________________．
由，可得到______；整理得：______．
【应用】（2）在图②的基础上，若四边形的面积为200，的长为12，求的长．
【变式3】【探究发现】
我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：．
【深入思考】
如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E．
（1）求证：，；
（2）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：；
【实际应用】
（3）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积．

1．已知一个的两边长分别为和，则第三边长的平方是（ ）
A．B．或C．D．
2．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长作正方形，面积分别记为，若，则阴影部分的面积为 （ ）
A．10B．8C．6D．5
3．如图，在中，于点D，，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，在中，，．在高线所在直线上任取一点（不与点，重合），连结，，则的值为（ ）
A．6B．18C．36D．72
5．我国是最早了解勾股定理的国家之一．古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B． C． D．
6．在中，，，则 ．
7．如图，阴影部分表示以的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作和．若，，则的周长是 ．
8．如图，在的方格中，小正方形的边长是，点、、都在格点上，则边上的高为 ．
9．直角三角形的两边长，满足，则第三边长是 ．
10．有一块直角三角形纸片：
（1）如图，若两直角边，，现将直角边沿直线折叠，使恰好在斜边上，且点与点重合，则的长为 ；
（2）如图，若两直角边，，点在边上，以为折痕折叠得到，边与边交于点．若为直角三角形，则的长为 ．
11．在中，，三条边长如图所示，求的值．
12．在中，，设，，．
(1)已知，，求c；
(2)已知，，求a．
13．如图，在中，，，垂足为D．已知，．设长为x．
(1)根据勾股定理，得______．（用含x的代数式表示，结果需化简）
(2)求x的值．
14．如图，某广场有一块三角形空地，管理部门计划将这块空地分割成四边形和，分别摆放不同的花卉．经测量，，米，米．
(1)求的长；
(2)若米，米，求三角形空地的面积．
15．勾股定理是几何学中的重要定理，它描述了直角三角形三边之间的关系．我们可以从不同的角度对勾股定理进行探索．如图1，在直角三角形中，．分别以为边长向外作正方形、正方形和正方形，其面积分别记作．
(1)图1中，与之间的数量关系为______，直角三角形的三边之间的数量关系为________．
(2)如图2，若用半圆代替正方形，请求出三个半圆面积之间的数量关系．
16．在中，分别是斜边和直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是．
(1)如图①，如果点和顶点重合，求的长；
(2)如图②，如果是的中点，求的长．
17．如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．
(1)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2．若，，则空白部分的面积为 ．
(2)如图3，长方形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，求的长．
18．［核必素养］勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小明灵感，他发现，当两个全等的直角三角形如图①或图②摆放时，都可以用“面积法”来证明勾股定理．下面是小明利用图①证明勾股定理的过程．
如图①，，求证：．
证明：连接，过点作交的延长线于点，则，
则．
又，
，
．
请参照上述证法，利用图②进行证明．
将两个全等的直角三角形按图②所示摆放，其中，连接．求证：．
教学目标
1.经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
3.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯
4.掌握勾股定理和它的简单应用。
教学重难点
1.重点
（1）了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题；
（2）能熟练应用拼图法证明勾股定理。
2.难点
（1）勾股定理的发现；
（2）用面积证勾股定理。