初中数学1 探索勾股定理随堂练习题

专题1.1探索勾股定理

一、选择题（本大题共14个小题，每题2分，共28分，在每个小题的四个选项中只有一项是符合题目要求的）

1．（2020·天津初一期末）如图，在中，已知，，，则的大小有可能是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】D

【解析】解：在中，已知，

由勾股定理，得

，

故选：D．

2．（2020·四川东辰国际学校初二月考）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中SA=10，SB=8，SC=9，SD=4，则S=（　 　）

A．25 B．31 C．32 D．40

【答案】B

【解析】根据勾股定理的几何意义，可知：

S=SF+SG=SA+SB+SC+SD=10+8+9+4=31．

故选B．

3．（2020·湖北江夏一中初二期中）如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分以的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（ ）

A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤l3

【答案】A

【解析】解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：=13．

即a的取值范围是12≤a≤13．

故选A．

4．（2020·广西初二期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，若AB＝15cm，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积之和为（   ）

A．150cm2 B．200cm2 C．225cm2 D．无法计算

【答案】C

【解析】解：正方形ADEC的面积为AC2，

正方形BCFG的面积为BC2；

在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2，AB＝15，

则AC2＋BC2＝225cm2．

故选：C．

5．（2020·广西初三一模）如图，在中，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，作直线交于点，交于点，连结．若，则的长为（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】解：由作法得垂直平分，

，，

，

，

，

为斜边上的中线，

，

．

故选：．

6．（2020·福建初一期末）在平面直角坐标系中，，，其中，则下列对长度判断正确的是（    ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【解析】解：∵在平面直角坐标系中，A（a，a），B（2-b，4-b），a+b=2，

∴AB==，

故选：C．

7．（2020·广西中考真题）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃(读，门槛的意思)一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2(图2为图1的平面示意图)，推开双门，双门间隙的距离为寸，点和点距离门槛都为尺(尺寸)，则的长是（  ）

A．寸 B．寸 C．寸 D．寸

【答案】C

【解析】设OA=OB=AD=BC=，过D作DE⊥AB于E，

则DE=10，OE=CD=1，AE=．
在Rt△ADE中，
，即，
解得．
故门的宽度（两扇门的和）AB为101寸．
故选：C．

8．（2020·湖南初二期末）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90˚，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为（　　）

A．6 B．5 C．4 D．3

【答案】C

【解析】解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9-x，
∵D是BC的中点，
∴BD=3，
在Rt△NBD中，x2+32=（9-x）2，
解得x=4．
即BN=4．
故选：C．

9．（2019·黑龙江初二期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（    ）

A．6 B．8 C．10 D．12

【答案】C

【解析】解：由四边形ABCD为矩形以及折叠可得，AD′=AD=BC，∠D=∠D′=∠B，

又∠AFD′=∠CFB，

∴△AFD′≌△CFB（AAS），

∴D′F＝BF，

设D′F＝BF＝x，则AF＝8﹣x，

在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，

解得：x＝3，

∴AF＝8-x＝8﹣3＝5，

∴S△AFC＝•AF•BC＝10．

故选：C．

10．（2020·江苏初二期末）如图，已知在△ABC中， ，将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，且，连接CD，且△ACD的面积为（   ）

A．24 B．30 C．36 D．40

【答案】B

【解析】解：如图，过点D作DE⊥AC于E，

∵∠ABC=90°，AB=8，BC=6，
∴AC=，
∵将线段AC绕点A顺时针旋转得到AD，
∴AD=AC，
又∵∠DAC=∠BAC，∠ABC=∠DEA=90°，
∴△ABC≌△AED（AAS）
∴DE=BC=6，
∴S△ACD=AC×DE=30，
故选：B．

11．（2020·湖南广益实验中学初三一模）如图，△ABC中，AC＝4，BC＝3，AB＝5，AD为△ABC的角平分线，则CD的长度为（　　）

A．1 B． C． D．

【答案】D

【解析】解：∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，

∴BC2+AC2＝32+42＝52＝AB2，

∴∠C＝90°，

过D作DP⊥AP于P，

∵AD平分∠BAC，

∴∠CAD＝∠BAD．

又∵DC⊥AC、DP⊥AB，

∴∠C＝∠APD．

在△ACD与APD中，

∵

∴△ACD≌APD（AAS），

∴AP＝AC＝4，CD＝PD，

设DP=x，则CD＝x，BD＝3﹣x，

在Rt△DPB中，∠DPB＝90°，

∴DP2+PB2＝DB2，

即x2+12＝（3﹣x）2，

解得

∴

故选：D．

12．（2019·广东深圳外国语学校初一期末）如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝3，则CE2+CF2的值为(　　)

A．6 B．9 C．18 D．36

【答案】D

【解析】平分，平分，

，，即，

又，平分，平分，

，，

，，

由勾股定理可知.

故选：.

13．（2020·浙江初三其他）如图所示，已知在三角形纸片ABC中，BC＝9，AC＝12，∠BCA＝90°，在AC边上取一点E，以BE为折痕，使AB的一部分与BC重合，A与BC延长线上的点D重合，则DE的长度为（　　）

A．7.5 B．8 C．8.5 D．9

【答案】A

【解析】解：∵BC＝9，AC＝12，∠BCA＝90°，

∴AB＝＝＝15，

由翻折的性质得，AE＝DE，AB＝BD＝15，

∴CD＝BD﹣BC＝6，

在Rt△CDE中，CD2+CE2＝DE2，

即62+（12﹣DE）2＝DE2，

解得DE＝7.5．

故选：A．

14．（2020·山东初二期中）如图，直线L上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为（ ）

A．8 B．9 C．10 D．11

【答案】C

【解析】解：由于a、b、c都是正方形，所以AC=CD，∠ACD=90°；

∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，即∠BAC=∠DCE，

在△ABC和△CED中，

，

∴△ACB≌△CDE（AAS），

∴AB=CE，BC=DE；

在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，

即Sb=Sa+Sc=1+9=10，

∴b的面积为10，

故选C．

二、填空题（本题共4个小题；每个小题3分，共12分，把正确答案填在横线上）

15．（2020·广西初二期中）已知直角三角形两直角边长为3cm，4cm，那么这个直角三角形斜边上的高为_____．

【答案】

【解析】∵直角三角形两直角边长为3cm，4cm，∴斜边5（cm）．

设这个直角三角形斜边上的高为h，则h（cm）．

故答案为：cm．

16．（2020·山东初一期末）有一个三角形的两边长是9和12，要使这个三角形成为直角三角形，则第三条边长的平方是__________．

【答案】225或63．

【解析】解：当第三边是斜边时，第三边的长的平方是：92+122=225；
当第三边是直角边时，第三边长的平方是：122-92=144-81=63；
故答案是：225或63．

17．（2020·溧阳市南渡初级中学初三二模）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾，弦，则小正方形ABCD的面积是____.

【答案】4

【解析】∵勾，弦，

∴股b=，

∴小正方形的边长＝，

∴小正方形的面积

故答案为：4

18．（2020·广东惠州一中初三二模）如图，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则的值为________．

【答案】

【解析】解：在图中标上字母E，如图所示．

∵正方形ABCD的边长为2，△CDE为等腰直角三角形，
∴DE2+CE2=CD2，DE=CE，
∴S2+S2=S1．

观察，发现规律：S1=22=4，，，，…，

.

当n=2020时，.

三、解答题（本题共8道题，19-21每题6分，22-25每题8分，26题10分，满分60分）

19．（2020·山西初二期中）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竹竿高多少米？

【答案】5米

【解析】解：竹竿长x米，则门高（x-1）米，

根据题意得：，

解得：x=5

答：竹竿高5米．

20．（2020·广东初二期中）如图，小明和小方分别在处同时出发，小明以每小时40千米的速度向南走，小方以每小时30千米的速度向西走，2小时后，小明在处，小方在处，请求出的距离．

【答案】100km

【解析】解：由题意可得：，，

则，

答：的距离为．

21．（2020·宁夏固原市原州区三营中学初二月考） 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边的长分别为a，b，c．                                         

（1）a＝6，b＝8，求c及斜边上的高；                  

（2）a∶b＝3∶4，c＝15，求a和b．                                                 

【答案】（1），斜边上的高为4.8；（2），．

【解析】解：（1）根据勾股定理，得：，

斜边上的高等于：；

（2）由，根据勾股定理，得，

又，则，．

22．（2020·安徽省庐江第三中学初二期中）你一定玩过荡秋千的游戏吧，小明在荡秋千时发现：如图，当秋千在静止位置时，下端离地面0.5米，当秋千荡到位置时，下端距静止时的水平距离为4米，距地面2.5米，请你计算秋千的长.

【答案】秋千的长为.

【解析】解：∵，

，米，

由勾股定理得，

∴，

，

解得，

∴秋千的长为.

23．（2020·河南初二期末）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，E为CD边上一点，将△ADE沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．

（1）求BF的长；

（2）求CE的长．

【答案】（1）BF长为6；（2）CE长为3，详细过程见解析．

【解析】解：（1）∵四边形ABCD为矩形，

∴∠B=90°，且AD=BC=10，

又∵AFE是由ADE沿AE翻折得到的，

∴AF=AD=10，

又∵AB=8，

在ABF中，由勾股定理得：，

故BF的长为6．

（2）设CE=x ，

∵四边形ABCD为矩形，

∴CD=AB=8，∠C=90°，DE=CD-CE=8-x，

又∵△AFE是由△ADE沿AE翻折得到的，

∴FE=DE=8-x，

由（1）知：BF=6，故CF=BC-BF=10-6=4，

在CEF中，由勾股定理得：，

∴，解得：x=3，

故CE的长为3．

24．（2019·广东深圳外国语学校初一期末）已知锐角△ABC，∠ABC＝45°，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，交AD于F．

（1）求证：△BDF≌△ADC；

（2）若BD＝4，DC＝3，求线段BE的长度．

【答案】（1）见解析；（2）BE＝.

【解析】解：（1）∵AD⊥BC，∠ABC＝45°

∴∠ABC＝∠BAD＝45°，

∴AD＝BD，

∵DA⊥BC，BE⊥AC

∴∠C+∠DAC＝90°，∠C+∠CBE＝90°

∴∠CBE＝∠DAC，且AD＝BD，∠ADC＝∠ADB＝90°

∴△BDF≌△ADC（ASA）

（2）∵△BDF≌△ADC

∴AD＝BD＝4，CD＝DF＝3，BF＝AC

∴BF＝ ＝5

∴AC＝5，

∵S△ABC＝×BC×AD＝×AC×BE

∴7×4＝5×BE

∴BE＝.

25．（2020·枣阳市吴店镇清潭第一中学初二期末）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，D、E分别是斜边AB和直角边CB上的点，把△ABC沿着直线DE折叠，顶点B的对应点是B′．

（1）如图（1），如果点B′和顶点A重合，求CE的长；

（2）如图（2），如果点B′和落在AC的中点上，求CE的长．

【答案】(1);  (2)

【解析】（1）如图（1），设CE＝x，则BE＝8﹣x；

由题意得：AE＝BE＝8﹣x，

由勾股定理得：x2+62＝（8﹣x）2，

解得：x＝，

即CE的长为：．

（2）如图（2），

∵点B′落在AC的中点，

∴CB′＝AC＝3；

设CE＝x，类比（1）中的解法，可列出方程：x2+32＝（8﹣x）2

解得：x＝．

即CE的长为：．

26．（2020·合肥一六八中学初二月考）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则．

（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

（2）如图③，在中，是边上的高，，，，设，求的值．

（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图4的网格中，并标出字母所表示的线段．

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析

【解析】解：（1）梯形的面积为，

也可以表示为，

，

即

（2）

在中，

在中，

所以，

解得

（3）∵图形面积为：(a+b)(a+2b)=a²+3ab+b²

∴边长为：(a+b)，(a+2b)

由此可画出的图形为：