第一章 勾股定理 - 初中数学八年级上册 单元测试卷（北师大版2024）

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第一章 勾股定理单元测试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：120分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．勾股数，又名毕达哥拉斯三元数，是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．下列各组数中是勾股数的是（   ）A．0.3，0.4，0.5B．2，3，5C．D．5，12，13【答案】D【分析】本题考查了勾股数，掌握勾股数的定义是解题关键．根据勾股数的定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数．再逐项判断即可．【详解】解：A．，，，三个数均为小数，不是正整数，不符合勾股数定义．B．，不满足勾股定理．C．，不满足勾股定理．D．，满足勾股定理且均为正整数．故选：D．2．如图，用面积分别为1，4和S的三个正方形围成，则S的值为（   ）A．5B．4C．3D．1【答案】A【分析】本题考查勾股定理及其应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；根据勾股定理，结合正方形面积与边长的关系求解．【详解】解：设面积为、、的正方形的边长分别为、、．∴，， ．∵是直角三角形，，∴ ．∵为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，为面积是的正方形的边长，∴；； ．∴ ．故选：A．3．下列说法正确的是（    ）A．若，，是的三边，则B．若，，是的三边，则C．若，，是的三边，，则D．若，，是的三边，，则【答案】C【分析】本题考查勾股定理．勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理依次进行判断即可．【详解】解：A、当是直角三角形且时，，故此选项不符合题意；B、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意；C、若，，是的三边，，则，故此选项符合题意；D、若，，是的三边，，则，故此选项不符合题意．故选：C．4．如图，下列三角形是直角三角形的是（    ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解∶A．∵，∴该三角形不是直角三角形；B．∵，∴该三角形不是直角三角形；C．∵，∴该三角形不是直角三角形；D．∵，∴该三角形不是直角三角形；故选∶D．5．在中，，若，，点P是边上的动点，则的长不可能为（   ）A．2.5B．3.5C．4D．4.5【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，垂线段最短的性质，求出的取值范围是解题的关键．利用勾股定理列式求出，然后根据求出的范围，再选择答案即可．【详解】解：如图，∵，，，∴，∴，纵观各选项，只有2.5不在此范围内．故选：A．6．图1中有一首古诗，根据诗中的描述可以计算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图2，其中于点，尺，尺，则的长度为（    ）A．3尺B．3.75尺C．4尺D．4.25尺【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：设的长度为尺，则尺，在中，由勾股定理得：，即，解得：，即的长度为3.75尺，故选：B．7．对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ）A．20B．16C．18D．25【答案】A【分析】本题主要考查了勾股定理，证明，再由勾股定理得，，然后证明，即可解决问题．【详解】解：∵，∴，由勾股定理得：，，∴，∵，∴．故选：A．8．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ）A．72B．52C．80D．76【答案】D【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质，根据题意得：，，利用勾股定理求出的长，进而求出的值即可得到答案．【详解】解：如图，根据题意得：，，∴，∴，∴这个风车的外围周长，故选：D．9．在学习勾股定理时，甲同学用两个相同的直角三角形和一个等腰三角形构成如图甲所示的直角梯形；乙同学用四个相同的直角三角形构成如图乙所示的大正方形，中间是一个小正方形，甲、乙两位同学给出的构图方案，可以证明勾股定理的是（   ）A．甲B．乙C．甲，乙都可以D．甲，乙都不可以【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的证明，面积转化法，完全平方公式，掌握方法是解题的关键．由图形中的面积关系：梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，化简即可求解．【详解】解：甲同学的方案：由题意得等腰三角形的直角三角形；梯形的面积直角三角形的面积等腰三角形的面积，，整理得，因此甲同学的方案可以证明勾股定理．乙同学的方案：大正方形的面积小正方形的面积直角三角形的面积，，，，因此乙同学的方案可以证明勾股定理；故选：C．10．某数学兴趣小组开展了笔记本电脑的张角大小的实践探究活动．如图，当张角为时，顶部边缘处离桌面的高度为，此时底部边缘处与处间的距离为，小组成员调整张角的大小继续探究，最后发现当张角为时（是的对应点），顶部边缘处到桌面的距离为，则底部边缘处与之间的距离为（    ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查勾股定理求线段长，根据题意得，先在中，由勾股定理求出的长，后在中，由勾股定理即可求出的长即可得到答案．熟练运用勾股定理求线段长是解决问题的关键．【详解】解：由题意得：，在中，由勾股定理得，∴，在中，由勾股定理得，故选：A．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．在中，，，则斜边的长为 ．【答案】【分析】本题考查的是利用勾股定理求边长的问题，根据勾股定理来进行解答即可．【详解】解：∵中，，，为斜边，∴故答案为：．12．如图，每个小正方形的边长为1，，，是小正方形的顶点，则的度数为 ．【答案】/度【分析】本题考查的是勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，先计算，，，再进一步解答即可．【详解】解：设小正方形边长为1，连接，由勾股定理可得：，，，∴且，∴是等腰直角三角形，．故答案为：13．如图所示的是某款自动感应水龙头的示意图，在距离洗手台面的点处连接着出水口所在的水管，水管上的点处安装有红外线感应装置，已知出水口到点的距离为，出水口到点的距离为，且，则红外线感应装置距离洗手台面的高度为 ．【答案】12【分析】本题考查勾股定理解决实际问题．在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可．【详解】解：∵，∴是直角三角形 ，∵在中，，，∴ ，∵，∴ ，红外线感应装置到洗手台面的高度的长为．故答案为：12．14．如图，在中，，D为的中点，于点E，若，，则的长为 ．【答案】【分析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理和三角形的面积.连接，根据已知和等腰三角形的性质得出和，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式求出即可．【详解】解：连接，∵，D为的中点，，∴，，在中，由勾股定理得：，∵，∴，故答案为：．15．2025年中国轮滑（滑板）公开赛于5月2日在江西崇义站举行，标志着我国乡村体育发展的新突破．如图是一名滑板选手训练的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为米的半圆，其边缘米，点E在上，米，该选手从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为 米．【答案】50【分析】本题考查了平面展开最短路径问题、勾股定理，要求滑行的最短距离，需将该型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，由与型池的侧面展开图是一个长方形，此长方形的宽等于半径为的半圆的弧长，长方形的长等于，进而求解即可．【详解】解：如图是其侧面展开图，则的长为滑行最短距离，（米），（米），（米），在中，，∴，解得（负值舍去），故他滑行的最短距离约为50（米）．故答案为：50．16．如图，在中，，，，D是的中点，E是边上一动点．将沿折叠得到，连接．当是直角三角形时，的长为 ．【答案】3或6/6或3【分析】此题考查翻折变换(折叠问题)，勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形：当时，当时，由直角三角形的性质分别求解即可．【详解】解：如图，当时，∵，∴，∴点共线，∵，，∴，设，则，在中，则有，解得：，∴．如图，当时，，  ∵，∴，∴；综上所述，满足条件的的值为3或6．故答案为：3或6．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，在中，于点D，，，． (1)求的长；(2)求的长；【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了勾股定理，解题关键是熟练掌握勾股定理．（1）在中，根据勾股定理进行计算即可；（2）在中根据勾股定理进行计算即可．【详解】（1）解：在中，于点D，故在中，；（2）在中，于点D，故在中，．18．如图，在中，边的垂直平分线分别交、边于点和点，且．(1)连接，求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】该题考查了垂直平分线的性质和勾股定理，解题的关键是掌握以上知识点．（1）根据垂直平分线的性质得出，结合得出即可证明；（2）设，则，在中，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】（1）证明：边的垂直平分线为，∴，，在中，，；（2）解：设，则，在中，，即，解得：，即．19．小明在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置．当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，．(1)试说明：；(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题考查全等三角形判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．（1）利用全等三角形的判定即可证明；（2）由（1）全等可知，继而利用勾股定理即可得到本题答案．【详解】（1）证明：，，又，，，，，在和中，，；（2）解：，，在中，，．20．定义：为正整数，若，则称为“完美勾股数”，为的“伴侣勾股数”．如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．(1)判断填空：数__________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；(2)已知的三边满足．求证：是“完美勾股数”．【答案】(1)是(2)见解析【分析】本题考查了勾股数，完全平方公式．（1）根据“完美勾股数”的定义判断即可；（2）根据完全平方公式求出的值，再根据“完美勾股数”的定义判断即可．【详解】（1）解：∵，∴数是“完美勾股数”故答案为：是（2）证明：是“完美勾股数”21．如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机A，B，且A，B均位于地下管道的同侧，售卖机A，B之间的距离（）为500米，管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点，到的距离（）为240米．假设所有管道的材质相同．(1)求B，N之间的距离；(2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机B引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确．【答案】(1)180米(2)珍珍的观点正确【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，垂线段最短．（1）根据勾股定理计算即可；（2）根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理求出，根据垂线段最短即可证明．【详解】（1）解：∵管道分叉口M与B之间的距离为300米，于点，∴米，，∴米；（2）解：正确．理由如下：∵米，米，∴米，∵，米，∴，∵，，∴，∴，∴是这些分叉管道中最省材料的．22．实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边．素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离；步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边．解决问题：(1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？(2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明．【答案】(1),理由见解析(2)见解析【分析】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理逆定理是解题的关键.（1）根据勾股定理进行检验即可；（2）在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出的长即可得出结论.【详解】（1）,理由：∵厘米, 厘米，厘米, ，∴是直角三角形,∴；（2）能, 在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出厘米, 则,证明： 如图，∵厘米, 厘米, 厘米, ，∴是直角三角形,∴．23．【问题呈现】（1）如图①，在凸四边形中，，，连接，，某数学小组在进行探究时发现、和之间存在一定的数量关系；小明同学给出了如下解决思路：以为边作等边，连接，则易证，且，此时，，进而推导出、和之间的数量关系为 ．【类比探究】（2）如图②，在凸四边形中，，，，连接，（1）中的结论是否改变？若不改变，请说明理由；若改变，请写出新的数量关系并证明．【答案】（1）；（2）改变，，证明见解析【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）根据等边三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理即可得到结论．【详解】解：（1）∵，，∴是等边三角形，∴，，∵以为边作等边，连接，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，故答案为：；（2）（1）中的结论改变，；证明：∵，，∴是等腰直角三角形，如图②，以为直角边作等腰直角三角形，使，，连接，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∴．24．我们规定：三角形任意一条边的“边高差”等于这条边与这条边上高的长度之差．如图1，中，为边上高，边的“边高差”等于，记为．(1)如图2，若中，，，，则 ；(2)若中，，，求的值；(3)若中，，边上的高为15，求的值．【答案】(1)1(2)(3)13或【分析】本题主要考查了新定义下的三角形边高的数量关系，等腰三角形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是理解题意，掌握勾股定理．（1）根据条件判定等腰三角形，利用等腰三角形的性质求出底边，然后根据新定义即可得出结果；（2）画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可；（3）分两种情况画出示意图，利用勾股定理求出相关边长，最后根据新定义求解即可．【详解】（1）解：∵，∴为等腰三角形，∵，根据等腰三角形的三线合一，∴，，∴为底边上的高，∴，故答案为：1；（2）解：如图所示，是边上的高，由勾股定理得，利用等面积法可得，∴；（3）解：①如图所示，是边上的高，由勾股定理得，，，∴，∴；②如图所示，是边上的高，同①可得，此时，∴．综上，的值为13或．25．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，我国最早的数学著作《周髀算经》就有记载．千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，我国数学教育工作者向常春老师，在1994年构造发现了一个简洁优美的新证法．【证法再现】如图，把两个全等的直角三角形和如图1放置，其三边长分别为a，b，c．显然，，．请用a，b，c分别表示出梯形ABCD，．四边形AECD的面积：______，______，______，探究这三个图形面积之间的关系，可证得勾股定理，完成以上证明过程；【知识运用】如图2，河道上A，B两点(看作直线上的两点)相距160米，C，D为两个菜园(看作两个点)，，，垂足分别为A，B，米，米，现在菜农要在AB上确定一个抽水点P，使得抽水点P到两个菜园C，D的距离和最短．(1)请在图2中确定点P的位置，并说明理由；(2)该最短距离和为多少米？【答案】证法再现：， ，证明见解析；知识运用：（1）见解析（2）200米【分析】本题考查了用数形结合来证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称-最短路线问题，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，本题锻炼了同学们数形结合的思想方法．证法再现：根据三角形的面积和梯形的面积就可表示出．知识运用：（1）作点C关于的对称点F，连接交于点P，连接，点P即为所求．（2）运用勾股定理求出，就是代数式的最小值，【详解】证法再现：由题意，，，．满足关系式：．整理得：；故答案为：， ，．知识运用：(1)作点关于的对称点，连接，，，如图．∴又,当三点共线时，的最小值为，的最小值为，此时点到两个菜园C，D的距离和最短．（2）作交的延长线于E．在中，∵米，米，∴（米）．故答案为：200．