初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）2 一定是直角三角形吗优秀练习

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知识点01：勾股数
像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的 ，称为勾股数.
勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数
【即学即练1】
1．下列数组中，是勾股数的是（ ）
A．5，12，13B．1，1，1C．D．，，
2．下列各组数中，是勾股数的是（ ）
A．9，40，41B．5，12，15C．1.5，2，2.5D．13，14，15
知识点02：勾股定理逆定理
1.定义：如果三角形的三条边长，满足 ，那么这个三角形是直角三角形.
注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形.
（2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形.
2.如何判定一个三角形是否是直角三角形
（1）首先确定 （如）.
（2）验证与是否 .若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.
注意：当时，此三角形为 ；当时，此三角形为 ，其中为三角形的最大边.
【即学即练2】
1．在中，，则下列不能作为判定△ABC是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，是一个三角形的三条边，且满足，请判断这个三角形的形状是 ．
3．如图，在中，，，点在边上，且，．
(1)求的长；
(2)判断的形状，并说明理由．
题型01 勾股树（数）的判定
【典例1】下列几组数是勾股数的是（ ）
A．1，2，3B．5，12，13C．0.3，0.4，0.5D．1，，
【变式1】下列各组数是勾股数的是（ ）
A．B．1，，
C．16，12，20D．8，15，19
【变式2】下列各组数据不是勾股数的是（ ）
A．2，3，4B．3，4，5C．5，12，13D．6，8，10
【变式3】下列各组数中，属于勾股数的是（ ）
A．，2，B．，，C．8，15，19D．9，40，41
题型02 判断三边能否构成直角三角形
【典例1】已知，，是的三条边，则下列条件能判定为直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式1】已知，，，，则下列条件不能判定是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．，，D．
【变式2】下列条件中，不能判定为直角三角形是（ ）
A．，，B．
C．D．
【变式3】满足下列条件的，不是直角三角形的是（ ）
A．B．
C．D．
题型03 在网格中判断直角三角形
【典例1】如图，在边长为1的小正方形网格中，点，，均在网格的格点上，下列结论不正确的是（ ）
A．B．C．D．
【变式1】如图，小正方形的边长均为，、、在小正方形的格点上，连接，，，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
【变式2】如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点，，都在格点上，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．的面积为10D．点到直线的距离是2
【变式3】如图所示的网格是正方形网格，点、、、、都是网格线交点，则（ ）
A．B．C．D．
题型04 利用勾股定理的逆定理求解
【典例1】如图，已知在中，，，，平分，则的面积为 ．

【变式1】如图，在中，点D为边上的中点，，，，则边上的高的长为 ．
【变式2】在中，，，，点D为外一点，，，则、、、围成的四边形的面积为 ．
【变式3】如图，中，为边上的一点，连接并延长，过点作，垂足为，若，，，．
(1)________；
(2)记的面积为，的面积为，则的值为________．
题型05 勾股定理逆定理的实际应用
【典例1】如图，一架无人机旋停在空中点A处，点A与地面上点B之间的距离米，点A与地面上点C（点B，C处于同一水平面上）的距离米，且米．
(1)求的度数；
(2)现这架无人机沿所在直线向下飞行至点D处，若点D恰好在边的垂直平分线上，连接，求这架无人机向下飞行的距离（的长）．
【变式1】劳动教育能够提升学生的创造力，强壮学生的体格．实验中学为了给学生提供合适的劳动教育场地，在校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长为24米，边长为7米，蔬菜区的边长为20米，边长为15米，．
(1)求小路的长；
(2)求的度数和蔬菜区的面积．
【变式2】如图，某景区内有一个露营区，湖边上原有两个观景台和，且，为了方便游客观赏，现计划在湖边新建一个观景台（、、在同一直线上），并铺设了步道，同时测量了，，，请解决以下问题：
(1)试判断步道是否是露营区到湖边的最短路径，并说明理由；
(2)求观景台与观景台之间距离的长．
【变式3】如图，四边形为某工厂的平面图，经测量，，且．
(1)求的度数．
(2)若直线为工厂的车辆进出道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个摄像头观察车辆进出工厂的情况，已知摄像头能监控的最远距离为，求被监控到的道路长度为多少米？（精确到1m，参考数据，）
题型06 勾股定理逆定理的拓展问题
【典例1】阅读下列内容：
设，，是一个三角形的三条边的长，且是最长边，我们可以利用，，三边长间的关系来判断这个三角形的形状：若，则该三角形是直角三角形；若，则该三角形是钝角三角形；若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，由于，由结论可知该三角形是锐角三角形．请解答以下问题：
(1)若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是________三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）；
(2)若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为________．
【变式1】定义：如图，点M，N（点M在N的左侧）把线段AB分割成AM，MN，NB．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的购股分割．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM，MN，BN，若，，，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若，，求BN的长．
【变式2】定义：a，b，c为正整数，若，则称c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 如，则13是“完美勾股数”，5，12是13的“伴侣勾股数”．
(1)数10________“完美勾股数”（填“是”或“不是”）；
(2)已知的三边a，b，c满足． 求证：c是“完美勾股数”．
(3)已知m，且，，，，c为“完美勾股数”，a，b为c的“伴侣勾股数”． 多项式有一个因式，求该多项式的另一个因式．
【变式3】在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）．
(1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形；
(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“