第一章 勾股定理 - 初中数学八年级上册 考点梳理+题型强化练习（北师大版2024）

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第一章 勾股定理 知识点01 勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么.知识点02 勾股定理证明 （1）邹元治证法（内弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.图（1）中，所以.（2）赵爽弦图（外弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.图（2）中，所以.　（3）总统证法：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. ，所以.知识点03 勾股定理逆定理1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形.2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如）.（2）验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形.知识点04 勾股数像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数.勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数知识点05 勾股定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.知识点06 平面展开图-最短路径问题 几何体中最短路径基本模型如下： 基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用勾股定理求解 题型01 勾股数的判断【典例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）下列各组数中，是勾股数的是（    ）A．，，B．，，1C．4，5，6D．9，40，41【答案】D【分析】此题考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义，如果a，b，c为正整数，且满足，那么，a、b、c叫做一组勾股数．根据勾股数的定义逐一判断即可．【详解】解：A． ，，，不是整数，不是勾股数；B． ，，不是整数，不是勾股数；C． ，不是勾股数；D． ，是勾股数；故选：D【变式1】（24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ）A．3，3，5B．4，5，6C．7，24，25D．2，3，【答案】C【分析】本题考查的是勾股数定义，满足的三个正整数，称为勾股数．根据勾股数的概念判断即可．【详解】解：A、，，3，5不是勾股数，不符合题意；B、，，5，6不是勾股数，不符合题意；C、，，24，25是勾股数，符合题意；D、，3，不全是正整数，，3，不是勾股数，不符合题意；故选：C．【变式2】（25-26九年级上·河南信阳·开学考试）下列各组数中，是勾股数的是（    ）A．9，16，25B．，，2C．，2，D．5，12，13【答案】D【分析】本题考查的是勾股数，根据勾股数的概念对各选项进行逐一分析即可．熟知满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．【详解】解：A、，不能构成勾股数，不符合题意；B、不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；C、，不是整数，不能构成勾股数，不符合题意；D、，且5，12，13都是正整数，能构成勾股数，符合题意．故选：D．【变式3】（24-25八年级下·广东江门·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（　　）A．4，5，6B．5，12，13C．6，8，11D．5，12，23【答案】B【分析】本题考查勾股定理，根据勾股数的定义，即三个正整数满足，逐一验证各选项即可．【详解】解：选项A：4，5，6最大数为6，验证：，，和为，而，不满足勾股定理．选项B：5，12，13最大数为13，验证：，，和为，而，满足勾股定理．5、12、13均为正整数，符合勾股数定义．选项C：6，8，11最大数为11，验证：，，和为，而，不满足勾股定理．选项D：5，12，23最大数为23，验证：，，和为，而，不满足勾股定理．综上，只有选项B符合条件，故选B．题型02 以直角三角形三边为边长的图形面积【典例2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图所示，直线上有三个正方形，若的面积分别为2和4，则正方形的面积为（    ）A．2B．4C．6D．10【答案】C【分析】本题考查了勾股定理几何意义的理解能力，根据三角形全等找出相等的量是解答此题的关键．根据已知及全等三角形的判定可得到，从而得到，进而得到，即可求解．【详解】解：如图，根据题意得：，，∵，∴，∴在与中，∵，∴，∴，∴，∵的面积分别为2和4，∴，，∴，即正方形的面积为6．故选：C．【变式1】（25-26八年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的面积分别为2，5，1，2，则最大的正方形E的面积是（   ）A．7B．10C．20D．34【答案】B【分析】本题主要考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，则由勾股定理可得及正方形面积公式可得正方形F的面积为7，同理可求解问题．【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形F的边长为c，如图，由勾股定理可得，∴正方形F的面积为，同理可得正方形H的面积为，∴正方形E的面积为．故选：B．【变式2】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，分别以各边为直径作半圆．若，则图中阴影部分的面积为（    ）A．4B．6C．8D．12【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据，得，根据阴影面积等于两个较小的半圆面积加上直角三角形的面积再减去最大的半圆面积进行列式计算，即可作答．【详解】解：∵，∴，∵∴阴影部分的面积．故选B．【变式3】（24-25八年级下·广东深圳·开学考试）如图1，分别以直角三角形三边为边向外作正三角形，面积分别为，，，如图2，分别以直角三角形三边长为直径向外作半圆，面积分别为，，，其中，，，，则（　　）A．10B．9C．8D．7【答案】C【分析】本题考查勾股定理、等边三角形的面积、圆的面积，根据图形和勾股定理，可以得到，同理可得，然后根据，，，即可得到的值，本题得以解决．【详解】解：如图1，，，，∵，∴，如图2，同理可得，，∵，，，，∴，故选：C．题型03 用勾股定理解三角形【典例3】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，在中，，a、b、c分别表示、、的对边．(1)已知，，求c；(2)已知，，求b．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；（1）根据勾股定理可进行求解；（2）根据勾股定理可进行求解．【详解】（1）解：∵，，，∴，即，∴；（2）解：∵，，，∴，即，∴．【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）如图，已知直角三角形一直角边，斜边，求这个直角三角形的周长．（2）在中，，，，求边上的高的长．【答案】（1）；（2）【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据勾股定理求得，即可求得三角形的周长；（2）先根据勾股定理求出，再根据面积列方程求解即可．【详解】解：（1）在直角三角形中，因为，，，，，直角三角形的周长为（）；（2）在中，因为，，，，，，，．故边上的高的长为．【变式2】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）如图，在中，，、、是的三边长．(1)已知，，求的值；(2)若，，求，的值．【答案】(1)(2)，【分析】本题考查了勾股定理；（1）直接利用勾股定理计算即可；（2）设，，然后利用勾股定理列式求出，进而可得答案．【详解】（1）解：在中，；（2）∵，∴设，，在中，，∴（负值已舍去），∴，．【变式3】（2025八年级上·全国·专题练习）我们规定：三角形任意一条边的“线高差”等于这条边与这条边上高的差．如图①，在中，为边上的高，边的“线高差”等于，记为．(1)若中，，则________；(2)如图②，在中，，求的值．【答案】(1)(2)【分析】考查三角形综合题、勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．（1）过点作于点，求出高即可解决问题；（2）过点作于点，设，则，由勾股定理求出即可解决问题；【详解】（1）解：如图①，过点作于点．因为，，∴由勾股定理得．因为，∴，∴．（2）解：如图②，过点作于点．设，则．因为，∴，解得，∴，∴．题型04 勾股定理与网格问题【典例4】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，按要求完成下列各题．(1)试判断的形状并说明理由；(2)在网格中以为边向右作直角三角形，令点在格点上，且使是等腰三角形，则的长为 ．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)或5【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，准确地做出图形是解题的关键．（1）先根据勾股定理求边长，再根据勾股定理的逆定理判定；（2）画出图形，分类讨论，再求解．【详解】（1）解：是直角三角形．理由：由勾股定理，得，，，是直角三角形．（2）解：点的位置有两处，如图所示．当点在点处时，；当点在点处时，．综上所述，的长为或5．故答案为：或5．【变式1】（24-25八年级下·河南信阳·阶段练习）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，小正方形的顶点称为格点．(1)请在网格中画出格点三角形，使，，；(2)求的面积．【答案】(1)见解析；(2)．【分析】本题考查了作图——应用与设计作图，勾股定理，构图法求三角形的面积，读懂题目信息，理解构图法的操作方法是解题的关键．（）根据勾股定理画出图形即可；（）利用所在的长方形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，计算即可得解．【详解】（1）解：如图，理由：由网格可得，，，∴即为所求作；（位置不唯一）（2）解：．【变式2】（25-26九年级上·广东广州·开学考试）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．(1)__________．(2)连接，判断是什么三角形？请说明理由．(3)求四边形的面积．【答案】(1)(2)是等腰直角三角形，见解析(3)7【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键．（1）利用勾股定理求解即可；（2）根据勾股定理可求出的长，则可证明，，据此可得结论；（3）根据勾股定理可求出的长，则可证明，得是直角三角形，结合（2）结果，可得结论．【详解】（1）解：由勾股定理得：，故答案为：；（2）解：是等腰直角三角形，理由如下：如图，由勾股定理得：，∵，，，，是等腰直角三角形；（3）解：如图，由勾股定理得：，，∵，，，，，．【变式3】（24-25八年级下·内蒙古呼和浩特·阶段练习）如图，四边形的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为．(1)求四边形的面积；(2)是直角吗？【答案】(1)(2)是直角【分析】本题考查了网格图形，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理，是解题的关键．（1）连接，利用勾股定理求出的长，根据勾股定理的逆定理判断出，为直角三角形，进而根据三角形的面积公式，即可求解；（2）根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，进而可得出结论．【详解】（1）解：连接，，，，．．，，，∴，∴，∴四边形的面积为；（2）解：，，，∴，∴，∴是直角．题型05 勾股定理与折叠问题【典例5】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，为上一点，将沿着翻折至，与交于点，且，求的长．【答案】【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，三角形全等的判定和性质，设与交于点．由折叠的性质可知，根据三角形全等的性质得出．证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出结果即可．【详解】解：如图，设与交于点．∵四边形是长方形，∴，．由折叠的性质可知，∴．在和中，，∴，∴，∴，设，则，∴．根据勾股定理，得，即，解得，∴，∴．【变式1】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在长方形中，，E是边上一点．将四边形沿BE折叠，折叠后点C，D的对应点分别为．若恰好经过点A，求：(1)的长．(2)的面积．【答案】(1)(2)【分析】题目主要考查折叠的性质，勾股定理解三角形，求三角形的面积，结合图形求解是解题关键．（1）根据长方形的性质得出，再由折叠的性质确定，利用勾股定理求解即可；（2）结合图形直接求面积即可．【详解】（1）解：因为四边形为长方形，所以．由折叠的性质，得．由勾股定理，得，所以，所以．设，则．所以，解得，所以．（2）．【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4．(1)求的长；(2)求的值；(3)求阴影部分的面积．【答案】(1)3(2)20(3)【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可；（2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案；（3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可．本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键．【详解】（1）解：由折叠可知 ，．设，则，．在中，，∴，解得，∴．（2）解：如图，过点作于点，则．在中，∵，∴由勾股定理，得，即，∴．∵，∴，∴．（3）解：如图，过点作于点．在中，，，．由，得，∴．【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·阶段练习）已知长方形，，，Q为射线上的一个动点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）． (1)如图1，连接，当点落在上时， ______；(2)如图2，当点Q与点A重合时，与交于点E，求重叠部分（阴影）的面积；(3)当直线经过点D时，求的长．【答案】(1)(2)(3)2或8【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理、等边对等角等知识点，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．（1）由勾股定理可求的长，由折叠的性质可得，即可求解；（2）由平行线的性质和折叠的性质可证，由勾股定理可求的长，即可求解；（3）分在线段上和点D在线段上两种情况讨论，由折叠的性质可得，，，由勾股定理可求，由勾股定理可求的长．【详解】（1）解：，，，∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）．，，故答案为：；（2）解：，，∵将沿直线翻折至的位置（点B落在点处）．，，，，，，∴重叠部分（阴影）的面积；（3）解：当在线段上时，将沿直线翻折至的位置，，，，，，，即：，解得：；当点D在线段上时，∵将沿直线翻折至的位置，，，，，，，，；综上所述：的长为2或8．题型06 勾股定理的应用【典例6】（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形是某公园的荷花观赏池，对角线为观赏浮桥，点为公园小门，，为两条小路，图中阴影部分为草坪，测得米，米，米，米．(1)求观赏池边的长；(2)求草坪的面积．【答案】(1)20米(2)600平方米【分析】此题考查了勾股定理以及逆定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识点．（1）利用勾股定理求解即可；（2）连接,根据勾股定理求出米,然后证明出是直角三角形，且，然后利用代数求解即可.【详解】（1）解：因为四边形为长方形，所以．在Rt中，米，米，由勾股定理，得，即，所以米．答：观赏池边的长为20米;（2）解：连接．因为,米，米，根据勾股定理，得，所以米．因为在中，，，所以，所以是直角三角形，且，所以（平方米）．答：草坪的面积为600平方米．【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）如图，小明在某泳池沿泳道l练习游泳，点A处有一个攀梯．游了一段时间后，在点B处的小明想上岸休息，他决定游至点C处后再向攀梯游去．已知三点都在直线l上，．(1)的长是否为攀梯A到泳道l的最短距离？(2)小明游至点C处后又沿泳道l滑行到达点D，若从点D游至攀梯A，求的长度（结果保留根号）．【答案】(1)的长是攀梯A到泳道l的最近距离，理由见解析(2)【分析】本题考查勾股定理的逆定理，垂线段最短，勾股定理，掌握知识点是解题的关键．（1）根据勾股定理的逆定理，推导出，即，由垂线段最短，得到的长是攀梯A到泳道l的最近距离，即可解答；（2）根据勾股定理求解即可．【详解】（1）解：的长是攀梯A到泳道l的最近距离．理由如下：在中，，，即，由垂线段最短，的长为攀梯A到泳道l的最近距离．（2），．在中，．答：的长度为．【变式2】（25-26八年级上·全国·单元测试）一艘轮船从A港向南偏西方向航行到达B岛，再从B岛沿方向航行到达C岛，A港到航线的距离是．(1)若轮船速度为，求轮船从C岛沿返回A港所需的时间；(2)C岛在A港的什么方向？【答案】(1)(2)北偏西【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理的应用；（1）先求解，结合，可得，再进一步的利用勾股定理计算即可；（2）先证明，可得，再进一步求解即可．【详解】（1）解：由题意可知．在中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，而，∴轮船从岛沿返回港所需的时间为．（2）解：∵，，∴，∴，∴，∴岛在港的北偏西方向上．【变式3】（25-26八年级上·江苏南通·开学考试）小王与小林进行遥控赛车游戏，终点为点，小王的赛车从点出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小林的赛车从点出发，以3米/秒的速度由南向北行驶（如图）．已知赛车之间的距离小于或等于米时，遥控信号会产生相互干扰，米，米．(1)出发秒钟时，遥控信号是否会产生相互干扰？(2)当两赛车距点的距离之和为35米时，遥控信号是否会产生相互干扰？【答案】(1)不会(2)两赛车距点A的距离之和为35米时，遥控信号将会相互干扰，见解析【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．（1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论；（2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论．【详解】（1）解：如图，出发秒钟时，米，米米，米米，米（米）出发三秒钟时，遥控信号不会产生相互干扰；（2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米，由题意得，，解得此时，此时，即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰，答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰．题型07 判断能否构成直角三角形【典例7】（25-26八年级上·全国·期中）下列长度的三条线段能构成直角三角形的是（   ）A．B．C．D．【答案】D【分析】本题查考勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，若三条线段满足两较短边的平方和等于最长边的平方，则可构成直角三角形．逐一验证各选项即可．【详解】解：A、，故不符合题意；B、，故不符合题意；C、，故不符合题意；D、，故符合题意；故选：D．【变式1】（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，的对边分别为，且，则下列说法正确的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．根据得到，即可得到是直角三角形，．【详解】∵，∴，∴是直角三角形，，故选：B．【变式2】（24-25八年级下·广西·阶段练习）在中，下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理，三角形内角和定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可．【详解】解：A、，是直角三角形，不符合题意；B、，设，则，，，，解得，，是直角三角形，不符合题意；C、设，，，，解得：，则，不是直角三角形，符合题意；D、，，，为直角三角形，不符合题意，故选：C．【变式3】（24-25八年级下·辽宁抚顺·开学考试）在中，的对边分别是，则下列条件中不能说明是直角三角形的是（   ）A．B．C．D．【答案】C【分析】本题考查了直角三角形的判定，熟练掌握勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系是解题的关键根据勾股定理逆定理、三角形内角和定理、三角形三边关系分析各选项是否满足直角三角形的条件即可．【详解】解：分析各选项如下：选项A、∵展开得即符合勾股定理逆定理，故是直角三角形；选项B、∵∴．又∵三角形内角和为，∴，故是直角三角形；选项C、设,则,不能构成三角形，故该选项符合题意；选项D、设则．∵，∴，解得，则，故是直角三角形．故选：C．题型08 利用勾股定理的逆定理求解【典例8】（25-26八年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，是上的点，连接，，，，，求的长．【答案】的长为【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理．根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，从而可得，用勾股定理解三角形，可得的长度，与相加，即可得的长．【详解】解：∵，，，∴，∴是直角三角形，，∴，∴，∵，，∴，∴．答：的长为．【变式1】（24-25八年级上·四川巴中·阶段练习）已知：如图，四边形中，，，，且．试求：(1)的度数．(2)四边形的面积．（结果保留根号）【答案】(1)(2)【分析】本题考查的是勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积．（1）连接，由勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出的形状，进而可求出的度数；（2）由（1）可知和是直角三角形，再根据，即可得出结论．【详解】（1）解：连接，∵，，∴，，又∵，，∴，即，∴，∴；（2）解：由（1）可知和是直角三角形，∴．【变式2】（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，在四边形中，．  (1)判断的形状，并说明理由；(2)求的长．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解决问题的关键．（1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形；（2）先求得，再由勾股定理求出的长．【详解】（1）是直角三角形．理由如下：在中，是直角三角形；（2）在四边形中，由（1）得，∴在中，【变式3】（24-25八年级下·湖北恩施·阶段练习）如图，在中，，点是边上一点，连接，且，．(1)求证：；(2)若，求的周长．【答案】(1)证明见解析.(2)【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，关键是根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形．（1）根据勾股定理的逆定理即可得到结论；（2）根据三角形面积公式得出，再利用勾股定理得出，进而解答即可．【详解】（1）证明：在中，，，，∵，∴是直角三角形，且，∴；（2）解：∵，∴是直角三角形，∵，，∴，∴，在中，，即，解得，∴的周长．题型09 勾股定理逆定理的应用【典例9】（2025八年级上·全国·专题练习）已知图①是某超市的购物车，图②是超市购物车的侧面示意图，现已测得购物车支架，，两轮轮轴的水平距离（购物车车轮半径忽略不计），，均与地面平行．(1)猜想两支架与的位置关系并说明理由；(2)若的长度为，，求购物车把手点到的距离．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握定理内容是解题的关键．（1）根据勾股定理逆定理判断为直角三角形，即可得到结论；（2）过点作交的延长线于点，延长交于点，求出，．即可得答案．【详解】（1）解：．理由如下：，． ∴为直角三角形，，；（2）解：过点作交的延长线于点，延长交于点，如图，，∴．又，∴，．，，在中，，∴，根据勾股定理，得，，∴解得：．．购物车把手点到的距离为．【变式1】（24-25八年级下·陕西延安·阶段练习）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，．(1)求的长；(2)若，，求图中阴影部分的面积．【答案】(1)的长为(2)图中阴影部分的面积为【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，对于（1），根据勾股定理计算即可；对于（2），先说明是直角三角形，再根据阴影部分的面积等于计算即可.【详解】（1）解：，，，．即的长为；（2）解：，，，，，，，即图中阴影部分的面积为．【变式2】（24-25八年级下·全国·期末）在春天来临之际，八（1）班和八（2）班的同学计划在学校劳动实践基地种植蔬菜；如图，点是自来水管的位置，点A和点分别表示八（1）班和八（2）班实践基地的位置，A、两处相距6米，两处相距8米，两处相距10米；为了更好的使用自来水灌溉，八（1）班和八（2）班在图纸上设计了两种水管铺设方案：八（1）班方案：沿线段铺设2段水管；八（2）班方案：过点作于点，沿线段铺设3段水管；(1)求证：；(2)从节约水管的角度考虑，你会选择哪个班的铺设方案？为什么？【答案】(1)见解析(2)应选择八（1）班铺设方案，理由见解析【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，求三角形高，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．（1）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，且，即可证明结论；（2）利用等面积法求出，进而求出两个方案中水管的长度即可得到结论．【详解】（1）证明：由题意得，，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴；（2）解：从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案，理由如下：∵，∴，∴，∴，∵，且，∴八（1）班方案中水管的长度小于八（2）班方案中水管的长度，∴从节约水管的角度考虑，应选择八（1）班铺设方案．【变式3】（24-25八年级下·陕西咸阳·阶段练习）某公园是人们健身散步的好去处．小明跑步的路线如图，从A点到D点有两条路线，分别是和．已知米，米，米，点D在点C的正北方60米处（即米，）．(1)试判断与的位置关系，并说明理由；(2)通过计算比较两条路线谁更短．【答案】(1)，见解析(2)路线更短【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理，实数大小比较解答即可．本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握定理是解题的关键．【详解】（1）解：，理由如下：在中，米，米，米，，，，．（2）解：在中，米，米，由勾股定理得：（米），（米），（米），，路线更短．题型10 验证勾股定理的方法【典例10】（25-26八年级上·全国·课后作业）（教材母题变式）如图①，直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为．(1)用四个这样的直角三角形拼成一大一小两个正方形（如图②）．①大正方形的边长为________，小正方形的边长为________；②大正方形的面积可以表示为________，也可以表示为________；③观察两种表示方法，可得出________，整理得________，从而验证勾股定理；(2)将两个这样的直角三角形按图③所示摆放，使和在一条直线上，连接．请你类比（1）中的方法用图③验证勾股定理．【答案】(1)①，；②，；③；(2)见解析【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键．（1）①通过观察图②，确定大、小正方形的边长；②分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积；③根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理．（2）计算图③中图形的面积，从不同角度表示后，根据面积相等验证勾股定理．【详解】（1）解：①大正方形的边长为，小正方形的边长为．②大正方形的面积可以表示为，也可以表示为．③由面积相等可得，展开得，整理得．（2）解：梯形的面积为，又梯形的面积为，∴，∴，两边同乘得，整理得，验证了勾股定理．【变式1】（24-25八年级下·江西南昌·阶段练习）著名的赵爽弦图（如图1，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为、，斜边长为，则．(1)如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图2推导勾股定理；(2)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点、，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路短多少千米？【答案】(1)见解析(2)新路比原路少0.2千米【分析】此题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识．（1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明；（2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案．【详解】（1）证明：梯形的面积为，也可以表示为，，即；（2）设千米，千米，在中，根据勾股定理得：，，解得，即千米，（千米），答：新路比原路少0.2千米．【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．【初步探究】  （1）如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．①一个直角三角形纸片的面积为____，小正方形边长为_____．（用含a，b的代数式表示）②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）【结论运用】（2）如图2，已知，是直角三角形，．请利用上面得到的结论求解．①若，求的长．②若，的长比的长大2，求的长．【应用拓展】（3）如图3，已知，在中，，请求出的面积．  【答案】（1）①；；②小正方形面积为或，；（2）①5；②10；（3）84【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的证明，列代数式，熟知勾股定理及其证明方法是解题的关键．（1）①根据三角形面积计算公式可得第一空答案，再由图形之间的关系可得小正方形面积等于直角三角形的长直角边的长减去短直角边的长，据此可得第二空的答案；②根据正方形面积计算公式可得小正方形面积为，根据小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积可得小正方形的面积为，则，据此可得答案；（2）①根据（1）可得，据此计算求解即可；②根据（1）可得，据此求解即可；（3）过点A作于D，设，则，则可证明，即，解方程求出的长即可得到答案．【详解】解：（1）①由题意得，一个直角三角形纸片的面积为，小正方形的边长为；②∵小正方形的边长为，∴小正方形的面积为；∵小正方形的面积等于边长为c的正方形面积减去4个直角三角形的面积，∴小正方形的面积为，∴，∴，∴；（2）①由（1）可得，∵，∴，∴或（舍去）；②∵的长比的长大2，∴，又∵，，∴，∴；（3）如图所示，过点A作于D，设，则，在中，，在中，，∴，∴，解得，∴，∴，∴．  【变式3】（24-25八年级下·安徽亳州·期末）【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”．（1）在我国最早对勾股定理进行证明的是三国时期吴国的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）拼成，用它可以验证勾股定理；（2）图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为，，斜边为）和直角边为的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理【问题解决】（1）在直角三角形中，直角边分别为，，斜边为，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理；（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是（   ）；A．函数思想    B．整体思想    C．分类讨论思想    D．数形结合思想【知识应用】（3）如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（，，在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长．【答案】（1）见解析；（2）D；（3）0.8千米【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用．（1）在图1中，大正方形的面积等于四个直角三角形的面积与中间小正方形的面积之和，列出式子后化简即可证明；在图2中，梯形的面积等于三个三角形的面积之和，列出式子后化简即可证明．（2）勾股定理的验证过程体现了数形结合思想，据此即可解答；（3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米），根据勾股定理列出方程，求解即可解答．【详解】解：（1）根据赵爽弦图进行证明：∵，∴，∴．根据“总统证法”进行证明：∵，∴，∴，∴．（2）勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想．故选：D（3）当时，最小，能最大限度节省铺路的费用．设千米，则（千米）∵，∴在中，，在中，，∴，解得，∴千米，∴（千米）．答：新修路的长为0.8千米． 一、单选题1．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）下列各组数中，不是勾股数的是（　　）A．，，B．，，C．，，D．，，【答案】A【分析】本题考查了勾股定理的逆定理和勾股数，根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【详解】解：、∵，∴不能组成直角三角形，不是勾股数，故此选项符合题意；、∵，∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意；、∵，∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意；、∵，∴能组成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项不符合题意；故选：．2．（24-25八年级下·河北石家庄·开学考试）在中，，且，若，那么的值是（　　）A．1B．5C．D．【答案】C【分析】本题主要考查了勾股定理．利用勾股定理解答即可．【详解】解：∵，，，∴．故选：C3．（24-25八年级下·江西上饶·期末）设的三边分别为，满足下列条件的中，不是直角三角形的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】本题考查勾股定理的逆定理及直角三角形的判定方法，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据题意运用直角三角形的判定方法，在三角形中，当一个角是直角或两边的平方和等于第三边的平方，可判定该三角形是直角三角形，据此逐个选项进行判断即可．【详解】解：A. 由，可得，是直角三角形，故本选项不符合题意；B. ，，，，不是直角三角形，故本选项符合题意；C. 由，可得，是直角三角形，故本选项不符合题意；D. ，设，，是直角三角形，故本选项不符合题意；故选：B．4．（24-25八年级下·广西贵港·期末）如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为．若．则图中阴影部分的面积为（   ）A．6B．5C．D．【答案】C【分析】本题考查了勾股定理的应用和三角形面积的算法，解决此题的关键是合理的运用勾股定理；先根据勾股定理和已知的式子算出，再根据同底等高的算法即可得到答案；【详解】解：在△中，这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，由勾股定理得：，即，∵，∴，∴阴影部分的面积为，∴阴影部分的面积为，故选C．5．（25-26八年级上·全国·单元测试）将挂好彩旗的旗杆垂直插在操场上，旗杆从旗顶到地面的高度为，在无风的天气里，彩旗自然下垂，如图①．彩旗完全展平时的尺寸（单位：）如图②的长方形，则彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h是（   ）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查了勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，得，再结合勾股定理得，故，再把数值代入进行计算，即可作答．【详解】如图，连接．依题意，∵，∵在中，，∴，∴．故选：A．6．（24-25八年级下·安徽阜阳·期中）我国古代称直角三角形为“勾股形”．如图，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．若，，则此勾股形的面积为（   ）A．7．5B．10C．12D．15【答案】A【分析】通过设未知数，利用勾股定理建立方程，求出相关线段长度，进而根据直角三角形面积公式计算勾股形的面积．本题主要考查了勾股定理（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 ）以及直角三角形面积公式的应用，熟练掌握勾股定理并能通过设未知数建立方程求解线段长度是解题的关键．【详解】解：如图，设阴影部分的直角三角形的未知边长为，则，，．由勾股定理，得，即，解得．．．故选A．二、填空题7．（25-26八年级上·全国·单元测试）在中，为直角边，c为斜边，若，则 ．【答案】4【分析】本题主要考查了勾股定理，先根据勾股定理得，则此题可解.【详解】解：根据勾股定理，得，解得.故答案为：4.8．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在镇和镇之间有一座大山，原来从镇到镇，需沿道路绕过两镇间的大山，为了促进两镇交流发展，决定修建一条从镇直达镇的公路．已知，，那么直达公路建成后从镇到镇比原来少走 ．【答案】60【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．勾股定理求出的长，再用计算即可．【详解】解：∵，∵，，，；即：打通隧道后从镇到镇比原来减少的路程为；故答案为：60．9．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的三边a，b，c满足，则的面积为 ．【答案】54【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，绝对值的非负性，熟练掌握勾股定理的逆定理及绝对值的非负性是解题的关键．根据绝对值的非负性求得，，，然后根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据三角形的面积公式即可．【详解】解：，，，，，，的面积为．故答案为：54．10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，公园内有一块长方形的草坪，已知的长为，的长为，由于路人沿路线抄近道，践踏了绿地，小亮想在处树立一个标牌“少走□米，踏之何忍”，则小亮应在标牌的□处填入的数是 ．【答案】8【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．先根据长方形的性质和勾股定理求出的长度，再计算出沿、走的路程与沿走的路程之差．【详解】解：∵ 四边形是长方形，∴ ．在中，，，∴ ．沿、走的路程为，沿走的路程为，∴ 少走的路程为．故答案为：．11．（25-26八年级上·全国·期中）如图，在一个长为2米，宽为1米的长方形草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且长于草地宽，木块的上下底面是边长为米的正三角形，一只蚂蚁从点A处到C处需要爬行的最短路程是 米．【答案】【分析】本题考查了勾股定理的应用．将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，长方形的长为米，因为长方形的宽为1米，一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，利用勾股定理求解即可．【详解】解：如图，将木块展开，相当于长方形草地的长多了正三角形的一个边长，∴长方形的长为米，∵长方形的宽为1米，∴一只蚂蚁从点处到处需要走的最短路程是对角线，∴米，故答案为：．12．（25-26八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中有一长方形，点B的坐标为为x轴上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在y轴上时，的长为 ．【答案】或10【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理与折叠问题，掌握知识点是解题的关键．先由题意求出，再由折叠的性质得到，利用勾股定理求出的长，进而求出的长，在中，由勾股定理建立方程求出的长即可得到答案．【详解】解：由题意得，轴，轴，∵B的坐标为，∴，∴，分两种情况：①当点D在x轴的正半轴时，如图所示：由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，∴，设，则，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴；②当点D在x轴的负半轴时，如图所示：由折叠的性质可得，在中，由勾股定理得，∴，设，则，在中，由勾股定理得，∴，∴，∴，故答案为：或10．三、解答题13．（25-26九年级上·河北唐山·开学考试）在中，a，b，c 分别是、、所对应的边，，试解决下列问题：(1)已知，，求c的长；(2)已知，，求a的长；【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．（1）利用勾股定理计算c的长；（2）利用勾股定理计算a的长．【详解】（1）解：，，，；（2）解：，，，．14．（20-21八年级下·陕西西安·期中）如图，在中，，是的垂直平分线，交于点D，于点E．(1)求证：为直角三角形．(2)求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和勾股定理，垂直平分线的性质，关键是掌握勾股定理的逆定理．（1）利用勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形可得是直角三角形；（2）根据线段垂直平分线的性质可得，设，则,根据勾股定理可得，求出x的值，再根据勾股定理即可求解．【详解】（1）证明：中，，又，即，是直角三角形；（2）如图，连接是的垂直平分线，，设，则，．解得：，即，,，．15．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，把一块直角三角形（其中）土地划出一个三角形后，测得米，米，米，米．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求图中阴影部分土地的面积．【答案】(1)直角三角形，见解析(2)平方米【分析】本题考查勾股定理及其逆定理的实际应用；（1）直角三角形中，利用勾股定理解出，再利用勾股定理的逆定理判断是直角三角形；（2）由，结合三角形面积公式解答．【详解】（1）解：直角三角形ABC中，，，，，，，是直角三角形；（2）（平方米）．16．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，通过比较代数式和的大小，探究的形状（按角分类）．(1)当三边长分别为6，8，9时，为________角形；当三边长分别为6，8，11时，为________三角形；(2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；(3)当时，探究的形状，并求出对应的的取值范围．【答案】(1)锐角，钝角(2)，(3)是锐角三角形，此时；时，是直角三角形；是钝角三角形，此时【分析】本题主要考查了勾股定理和三角形的性质，熟练掌握“大边对大角，大角对大边”、“三角形任意两边之和大于第三边”是解题的关键．【详解】（1）解：当三边长分别为6，8，10时，是一个直角边长分别为6、8的直角三角形，斜边长为10，，所以当三边长分别为6，8，9时，边长为9的边所对的角小于直角，则为锐角三角形； ，所以当三边长分别为6，8，11时，边长为11的边所对的角大于直角，则为钝角三角形；故答案为：锐角，钝角．（2）解：由（1），猜想当时，为锐角三角形；当时，为钝角三角形；故答案为：，．（3）解：为最长边，，时，是直角三角形；时，是锐角三角形，此时，即；时，是钝角三角形，此时，即；综上，时，是锐角三角形；时，是直角三角形；时，是钝角三角形．17．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，．(1)如图①，将长方形沿翻折，使点与点重合，点落在点处，求的长；(2)如图②，将沿翻折，若交于点，求的长；(3)如图③，为边上的一点，将沿翻折得到分别交边于点，且，求的长．【答案】(1)(2)(3)【分析】设，在中，根据，构建方程即可解决问题；首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题；设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题；【详解】（1）解：根据折叠的性质，得．因为四边形是长方形，所以．设，则，在Rt中，因为，所以，解得，所以．（2）因为四边形是长方形，所以．根据折叠的性质，得．又因为，所以．因为交于点，所以，所以，所以．设，则．在Rt中，因为，所以，解得，所以．（3）因为四边形是长方形，所以．根据折叠的性质，得，所以．又因为，所以，所以，所以．又因为，设，则，所以．在Rt中，，解得，所以．【点睛】此题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键．18．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．【知识迁移】（1）把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为，显然，用分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理；【方法运用】（2）请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为________；【拓展延伸】（3）如图④，在中，是边上的高，，设，请直接写出x的值． 【答案】（1）见解析（2）（3）x的值为．【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点．（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证；（2）计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高；（3）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可；【详解】（1）解： ，，，，，，，，，；（2）解：借助网格，可知，，边上的高为：；故答案为：；（3）解：在中，，，，，在中，，，，，，．教学目标1. 知识与技能：理解勾股定理及其逆定理的内容，能用数学语言准确表述，能识别勾股数 ，并掌握常见勾股数组合。2. 过程与方法：通过测量、数格子、拼图等活动，经历勾股定理及其逆定理的探索与证明过程，体会数形结合、从特殊到一般等数学思想 ，提升合情推理与逻辑推理能力。3. 情感态度与价值观：了解勾股定理的历史文化背景，感受数学的魅力，增强对数学学习的兴趣 ，并能将其应用到实际生活中解决问题。教学重难点1.重点（1）勾股定理的证明与应用，能熟练运用公式a2+b2=c2（a、b为直角边，c为斜边），已知直角三角形两边求第三边 ，解决如几何图形边长计算、实际生活中的距离测量等问题。（2）勾股定理逆定理的理解与运用，通过判断三角形三边是否满足a2+b2=c2（c为最长边），来判定三角形是否为直角三角形 。2.难点（1）勾股定理及其逆定理的区分与准确运用，学生易混淆二者条件和结论，在具体题目中不能正确判断该使用哪个定理，导致解题错误。（2）将实际问题抽象转化为数学模型，运用勾股定理及其逆定理求解 ，例如解决立体图形表面两点间最短距离、路线规划等复杂实际问题时，如何构建合适的直角三角形是难点。