北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理1 探索勾股定理获奖课件ppt

这是一份北师大版（2024）八年级上册（2024）第一章 勾股定理1 探索勾股定理获奖课件ppt，共30页。PPT课件主要包含了活动1，方法一，毕达哥拉斯证法，b-a，方法二，赵爽弦图，刘徽证法，欧几里得法，S25，S10等内容，欢迎下载使用。
会用割补法验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.
经历勾股定理的验证过程，体会数形结合思想和从特殊到一般的思想.
掌握勾股定理的简单应用，培养数学语言表达能力，发展学生分析问题、解决实际问题的能力.
问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？
1. 准备四个全等的直角三角形（设直角边分别为 a，b，斜边为 c）
2. 你能用这四个直角三角形拼成正方形吗？小组合作试一试吧！
探究点一： 勾股定理的验证
所以 a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab，
所以 a2 +b2 = c2.
证明：因为 S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
【点击跳转至几何画板】
因为 S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
所以 S大正方形＝4·S三角形＋S小正方形，
“赵爽弦图”通过对图形的切割、拼接，巧妙地利用面积证明了这一命题，表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲！因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
∴a2 + b2 = c2.
证法三 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，求证：a2 + b2 = c2.
据不完全统计，验证的方法有 400多种，你有自己的方法吗？
如果一个三角形是钝角三角形或锐角三角形，那么它的三边长仍然满足“较长边的平方等于另外两边的平方和”吗？ 说说你的判断和理由，并与同伴进行交流.
①在钝角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，则 a2 + b2 < c2；
②在锐角三角形中，三边长分别为a，b，c，其中 c 为最大边长，则 a2 + b2 > c2.
【活动2】 分小组讨论：一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
探究点二： 勾股定理的简单运用
2.4 m > l.5 m，故横着无法通过
2.4 m > 2 m，故竖着无法通过
对角线 AC 是可斜着通过的最大长度，若 AC > 2.4m，则可以斜着通过
一个门框的尺寸如图所示，一块长 4 m，宽 2.4 m 的长方形薄木板能否从门框内通过？为什么？
解：连接 AC，在Rt△ABC 中，根据勾股定理，AC2＝AB2＋BC2＝1.52＋22＝2.52.所以 AC＝2.5 m.因为 AC 大于木板的宽 2.4 m，所以木板能从门框内通过.
例1 在一次军事演习中，红方侦察员王叔叔在距离一条东西向公路 400 m 处侦察，发现一辆蓝方汽车在这条公路上疾驶. 他用红外测距仪测得汽车与他相距 400 m；过了 10 s，测得汽车与他相距 500 m. 你能帮王叔叔计算蓝方汽车这10s的平均速度吗？
解：根据题意，可以画出图，其中点 A 表示王叔叔所在位置，点 C、点 B 表示两个时刻蓝方汽车的位置.由于王叔叔距离公路 400 m，因此∠C 是直角.由勾股定理，可得
AB2 = BC2 + AC2，
也就是 5002 = BC2 + 4002，
所以 BC = 300.
蓝方汽车 10 s 行驶了 300 m，那么它 1 s 行驶的距离为 300÷10 = 30 (m)，即蓝方汽车这10 s 的平均速度为 30 km/h.
【教材P8 习题1.1 第1题】
1. 求出图中直角三角形未知边的长度。
y2 = 132 - 52 = 144y = 12
2. 求斜边长为 17 cm、一条直角边长为 15 cm 的直角三角形的面积。
【教材P8 习题1.1 第2题】
解：如图，在Rt△ABC中，AB=17cm，BC=15cm，由勾股定理得AC2=AB2－BC2=172－152 = 64，即AC=8cm，S△ABC= BC·AC=60(cm2)。
【教材P8 习题1.1 第3题】
3.如图，强大的台风使得一根旗杆在离地面 3 m 处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆底部 4 m 处。旗杆折断之前有多高？
解：如图，在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 m，BC = 4 m。由勾股定理得AB2 = AC2 + BC2 = 25，即 AB = 5 m，旗杆的高度 AC +AB = 3 + 5 = 8（m），即旗杆折断之前有 8 m 高。
4. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，请在图中找出若干个图形，使得它们的面积之和恰好等于最大正方形①的面积，尝试给出两种以上的方案。
【教材P8 习题1.1 第4题】
S①= S ③ + S ④
S ① = S ⑦ + S ⑨ + S ⑧ + S ⑩
5. 请用如图所示的图形验证勾股定理，并说一说这一方法与课堂上的方法之间的联系。
【教材P8 习题1.1 第5题】
6. 如图（单位：cm），求等腰三角形 ABC 的面积。
【教材P9 习题1.1 第6题】
解：过点C作AB边上的高，由“三线合一”和勾股定理可求得高为 4 cm，所以等腰三角形ABC 的面积为 12 cm2。
7. 如图，某储藏室入口的截面是一个半径为 1.2 m 的半圆形，一个长、宽、高分别是 1.2 m，1 m，0.8 m 的箱子能放进储藏室吗？
解：能放进储藏室，因为 0.82 + 0.52 < 1.22。
【教材P9 习题1.1 第7题】
【教材P9 习题1.1 第8题】
8. 在一张纸上复制四个全等的直角三角形，并将四个三角形剪下来，通过拼图的方法验证勾股定理。你有哪些方法？说说你的方法与课堂上的方法之间有什么联系与区别。
知识点1 勾股定理的验证1.勾股定理是数学定理中证明方法最多的定理之一，也是用代数思想解决几何问题最重要的工具之一.下列图形中可以证明勾股定理的有(　　)A.①③　　B.②③　　C.②④　　D.①④
2.［2026南京期中］如图，在△ABD中，AC⊥BD于点C，点E为AC上一点，连接BE，DE，DE的延长线交AB于点F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°.(1)试说明：DF⊥AB.
【解】因为AC⊥BD，∠CAD＝45°，所以易得△ACD为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°.所以AC＝DC.又因为AB＝DE，所以AB2－AC2＝DE2－DC2，所以BC2＝EC2，所以BC＝EC，所以△ABC≌△DEC.所以∠BAC＝∠EDC.又因为∠EDC＋∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，所以∠AEF＋∠BAC＝90°，所以∠AFE＝90°，所以DF⊥AB.
(2)利用图中阴影部分的面积完成勾股定理的验证.已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，试说明：a2＋b2＝c2.
知识点2 勾股定理的应用3.《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？题意是：一根竹子原高1丈(如图，1丈＝10尺)，一阵风将竹子折断，竹梢抵地处离竹根4尺，试问折断处离地面多高？则折断处离地面的高度为(　　)尺　　尺　　C.4.2尺　　D.5.8尺
4.如图，已知钓鱼竿AC的长为10 m，露在水上的鱼线BC长为6 m，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B′C′的长度为8 m，若A，B，B′三点在同一直线上，则BB′的长为(　　)A.4 m　　B.3 m　　C.2 m　　D.1 m