初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理当堂达标检测题

这是一份初中数学北师大版（2024）八年级上册（2024）1 探索勾股定理当堂达标检测题试卷主要包含了将军饮马模型6，将军饮马模型10等内容，欢迎下载使用。

TOC \ "1-4" \h \z \u \l "_Tc23281" PAGEREF _Tc23281 \h 1
\l "_Tc201321764" 模型来源 PAGEREF _Tc201321764 \h 1
\l "_Tc201321765" 真题现模型 PAGEREF _Tc201321765 \h 2
\l "_Tc201321766" 提炼模型4
\l "_Tc201321767" 模型拓展5
\l "_Tc201321768" 模型运用6
\l "_Tc22700" 模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）6
\l "_Tc26551" 模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）10
\l "_Tc23998" 模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动） PAGEREF _Tc23998 \h 13
\l "_Tc4134" 模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）1 PAGEREF _Tc4134 \h 6
\l "_Tc18836" 20
“将军饮马”一词具有双重历史来源：一是源自真实历史事件的典故，二是数学几何问题的命名来源。
传说古罗马将军向数学家海伦（Hern）（约公元前262年）提出一个几何问题：从军营A出发，到河边饮马后再去军营B，如何规划最短路径？海伦通过轴对称原理给出了解决方案。因问题场景与“将军河边饮马”的意象相似，后人借用了霍去病的历史典故命名此数学模型。现代教育中作为“最短路径问题”的经典案例，广泛用于中学数学教学。
（四川成都·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知，，过点作轴的垂线，为直线上一动点，连接，，则的最小值为 ．
（安徽滁州·一模）如图，在中，，A、C两点关于直线EF对称，连接，，的周长为18，若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5B．8C．10D．13
（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，，，点、、分别是边、、上的动点，则周长的最小值是 ．
1）将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线m上的一个动点，求AP+BP的最小值。
模型（1）点A、B在直线m两侧： 模型（2）点A、B在直线同侧：

图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），连结AB,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B,根据两点之间线段最短，AP+BP的最小值即为：线段A’B的长度。
2）将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
条件：A，B为定点，m为定直线，P为直线l上的一个动点，求|AP-BP|的最大值。
模型（1）：点A、B在直线m同侧： 模型（2）：点A、B在直线m异侧：

图（1） 图（2）
模型（1）：如图（1），延长AB交直线m于点P，当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|＜AB，当A、B、P共线时，有|PA-PB|=AB，故|PA-PB|≤AB，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB的长度。
模型（2）：如图（2），作点B作关于直线m的对称点B’，连接AB’交直线m于点P，此时PB=PB’。
当A、B、P不共线时，根据三角形三边关系，有：|P’A-P’B|=|P’A-P’B’|＜AB’，
当A、B、P共线时，有|PA-PB|=|PA-PB’|=AB’，故|PA-PB|≤AB’，即|AP-BP|的最大值即为：线段AB’的长度。
1）将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
如图，A为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使三角形APQ的周长（AP+PQ+QA）最小。

证明：如上图，作点A分别关于定直线m、n的对称点A’、A’’,连结A’B,
根据对称得到：QA=QA’，PA=PA’’，故故PA+PQ+QA=PA’’+PQ+QA’，
再利用“两点之间线段最短”，得到PA+PQ+QA的最小值即为：线段A’A’’的长度。
2）将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
模型（1）：两定点+两动点
条件：A，B为定点，在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。
两个点都在直线外侧（图1-1）； 内外侧各一点（图1-2）； 两个点都在内侧（图1-3）

图1-1 图1-1 图1-1
模型（1-1）（两点都在直线外侧型）
如图（1-1），连结AB,根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB的长度。
模型（1-2）（直线内外侧各一点型）
如图（1-2），作点B关于定直线n的对称点B’,连结AB’,根据对称得到：QB=QB’，故PA+PQ+QB=PA+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段AB’的长度。
模型（1-3）（两点都在直线内侧型）
如图（1-3），作点B关于定直线n的对称点B’,作点A关于定直线m的对称点A’,连结A’B’,
根据对称得到：QB=QB’，PA=PA’，故PA+PQ+QB=PA’+PQ+QB’，
根据两点之间线段最短，PA+PQ+QB的最小值即为：线段A’B’的长度。
模型1.将军饮马模型（双线段和的最小值）（两定一动）
例1（2026八年级上·山西阳泉·期末）如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，的三个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）．
(1)在图中画出关于直线成轴对称的；(2)求的面积；
(3)在直线上找一点，使的长最短，请在图中标出点的位置．
例2（2026九年级上·云南昆明·期末）如图，点在等边的边上，，射线，垂足为点，点是射线上一动点，点是线段上一动点，当的值最小时，．则这个最小值是（ ）
A．B．C．D．
例3（2026八年级上·山西吕梁·期末）如图，在中，，点D为的中点，点E为上的一个动点，连接、，则的最小值为 ．
例4（2026八年级上·宁夏银川·期末）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析
【提出问题】已知，求的最小值
【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题．
【解决问题】(1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．
① ； ．②____________的线段和．
(2)在（1）的条件下，已知，求的最小值；
例5（2025·四川成都·模拟预测）如图，在中，，，点是的中点，连接，，分别是，上的动点，连接，，则的最小值为 ．
模型2.将军饮马模型（双线段差的最大值）（两定一动）
例1（安徽滁州·一模）如图，在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，连接，，的周长为18．若点P在直线上，连接，，则的最大值为（ ）
A．5B．8C．10D．13
例2（2026八年级上·辽宁营口·期中）如图在中，，，将沿边进行对折使得点落在点处，过点作垂直于点，点是直线上一动点，当的最大值是时，则的度数是（ ）
A．B．C．D．
例3（八年级上·四川达州·期末）如图，已知点，，点为轴上一点当最大值时，点的坐标为( )
A．B．C．D．
例4（2026八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ．
模型3.将军饮马（多线段和的最值模型）（一定两动）
例1（2026七年级下·四川乐山·期末）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（ ）
A．B．C．D．
例2（八年级下·湖南湘西·阶段练习）如图，，点是内的定点且，若点、分别是射线、上异于点的动点，则周长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
例3（2026七年级下·河南平顶山·期末）如图，，点、分别在射线、上，，的面积为14，是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为，当点在直线上运动时，的面积最小值为（ ）
A．6B．8C．12D．18
例4（2026八年级上·江苏南通·阶段练习）问题背景：如图①，点，在直线同侧，在直线上找一点，使的值最小．
作法如下：作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点就是所求的点，线段的长度即为的最小值．
(1)实践应用：如图②，在等边三角形中，若是的中点，为高上一点，，连接，求的最小值．(2)拓展延伸：如图②，在等边三角形中，若为高上一点，高，求的最小值．(3)拓展延伸：如图③，，是四边形内一定点，，分别是，上的动点，当周长的最小值为时，求的长．
模型4.将军饮马（多线段和的最值模型）（两定两动）
例1（2026八年级上·黑龙江七台河·期末）如图，点A在y轴上，G、B两点在x轴上，且，，与关于y轴对称，，P、Q分别是上的动点，则的最小值是 ．
例2（2026八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ．
例3（2026八年级下·黑龙江牡丹江·期中）如图，在中，，D是边上一点，连接，M，N是线段上两点，，，P，Q分别是边上的动点，连接，则的最小值为 ．
1．（2026八年级上·重庆·期末）如图，等腰三角形的底边长为2，面积是8，腰的垂直平分线分别交、边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段EF上一动点，则周长的最小值为（ ）
A．7B．8C．9D．10
2．（2025·安徽马鞍山·三模）在中，，，，点为上一点，为内部一点，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．3
3．（2026八年级上·山东济宁·期末）如图，在中，，，于点D，P是上的一个动点，于点E，连接．若，则的最小值是（ ）．
A．5B．6C．8D．9
4．（2026七年级下·重庆·期末）如图，在中，，，，，点D、E分别是边、上的动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．（2026八年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，在中，，，的面积为，平分，点，分别为，上动点，连结，，则的最小值为（ ）
A．6B．5C．4D．3
6．（2026八年级上·河北秦皇岛·期末）如图，在中，，，点在上，且，过点作的垂线交于点，点为线段上一个动点，若，则的周长的最小值为（ ）
A．B．C．D．
7．（2026八年级下·北京西城·期末）如图，在平面直角坐标系中，，点在直线上．有以下结论：
①当点的坐标为时，取得最小值；②当点的坐标为时，取得最大值；
③当点的坐标为时，取得最大值；④当点的坐标为时，取得最小值．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①③B．①④C．②③D．②④
8．（2026八年级下·重庆·期中）在平面直角坐标系中，已知点，点，点，则的最小值为（ ）
A．B．5C．D．6
9．（2025八年级上·山东·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
10.（2026八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ．
11．（2026八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，，为内一定点，上有一点，上有一点，当的周长取最小值时，的度数是 ．
12．（江苏泰州·八年级专题练习）如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点N，交AB于点M，AB＝12cm，△BMC的周长是20cm，若点P在直线MN上，则PA﹣PB的最大值为_______.
13．（2026八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ．
14．（2026九年级上·河南信阳·阶段练习）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，．
(1)画出关于轴对称的；(2)画出关于直线对称的，并求四边形的面积；(3)为轴上一动点，的最小值为_________．
15．（2026八年级上·福建福州·期末）如图1，在中，．(1)求的面积．(2)如图2，点、、分别为边、、上（均不与端点重合）的动点，求周长的最小值．

16．（2026八年级下·江西上饶·阶段练习）如图，平面直角坐标系中，已知点，，点M在坐标轴上．(1)直接写出A，B两点到y轴的距离分别为______和______；
(2)若点M在y轴上，求的最小值；(3)若点M在x轴，当最大时，求点M的坐标．
17．（2026八年级下·山东德州·阶段练习）阅读材料，在平面直角坐标系中，已知轴上两点，的距离记作，若、是平面上任意两点，我们可以通过构造直角三角形来求间的距离，
如图，过、分别向轴、轴作垂线、和、，垂足分别是、、、，直线交于点，在中，，，
，
平面直角坐标系内任意两点，间的距离公式为：
(1)直接应用平面内两点间距离公式计算点，之间的距离为___________；
(2)在平面直角坐标系中的两点，，为轴上任一点，则的最小值和此时点的坐标；(3)在平面直角坐标系中有一点．①可以表示到点和点___________的距离和；②请结合平面直角坐标系，应用两点间的距离公式求代数式的最小值．
18．（2026七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）【问题起源】如图1，在一条笔直的道路上建一个燃气站，并向路同侧的两个城镇铺设燃气管道，如何确定燃气站的位置使得铺设管道的路径最短．

【解决方案】如图2，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，则点就是燃气站的位置．
【实际运用】（1）如图3，在实际铺设中，在两个城镇之间有一片水源地（水源地的右下角顶点为点），燃气管道不能穿过该区域．下列四种铺设管道路径的方案，最短的铺设路径方案是：_____；（填方案序号）
【数学思考】（2）如图4，在中，，，，点，在，边上运动，且．如何确定点的位置，使得的值最小；

①解决方案：如图5，过点做射线，在射线上截取．请完成后续作图；
②请解释上述作图的理由；（3）如图6，在锐角中，，点与点的距离为，点与点的距离为，点到的距离为．点，，分别在边，，上（均不与点重合），请直接写出周长的最小值．
19.（2026八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图1，已知直线的同侧有两个点A、B，在直线上找一点，使点到A、B两点的距离之和最短的问题，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点就是所要找的点，通过这种方法可以求解很多问题
(1)如图2，画出格点（顶点均在格点上）关于直线对称的，并在上画出点，使最小；(2)如图3，在锐角三角形中，，，的角平分线交于点分别是和上的动点，则的最小值为___________．(3)如图4，，，，点，分别是射线，上的动点，则的最小值为___________．
方案1：过点作于点，连接，则铺设管道路径是．
方案2：连接并延长交于点，连接，则铺设管道路径是．
方案3：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是．
方案4：作点关于的对称点，连接交于点，连接，则铺设管道路径是．