初中25.3 实际问题与一元二次方程教学ppt课件

这是一份初中25.3 实际问题与一元二次方程教学ppt课件，共36页。PPT课件主要包含了学习目标，知识回顾，导入新课，共121个人，新知探究，1审题梳理，3分析数量变化，x1+x，规范解答，直接开平方法等内容，欢迎下载使用。
掌握两轮流感传播问题的数量变化规律，能准确建立传播问题一元二次方程模型；熟练运用平均下降率公式解决连续两次衰减类实际问题；严格规范应用题六步解题流程，能根据实际场景检验、舍去不合理方程根.
经历“情境观察—分析动态变化—提炼等量关系—归纳通用模型—变式应用巩固”的探究过程，掌握动态变化类问题的建模方法，提升分析连续变化数量关系的能力.
通过公共卫生、生活经济类情境，感受数学的实用性与社会性；在模型归纳与错题纠正中，养成严谨规范的解题习惯，增强数学应用意识与探究信心.
列一元二次方程解决实际问题的一般步骤
某种传染病的传染速度很快.如果开始有1个人被传染，经过两轮传染后共有121个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
平均1个人传染了多少个人？
未知数： .
等量关系： .
（2）规范设元： .
设每轮传染中平均一个人传染x个人；
初始患病人数1人，经过两轮完整传染，总人数121人
每轮传染中平均1个人传染的人数
第一轮后总患病人数： .
第二轮新增被传染人数： .
两轮结束后总患病人数： .
原有患者+两轮新增患者
（4）建立方程： .
答：每轮传染中平均1个人传染了10个人
按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人被传染？
如果按这样的传染速度，三轮传染后有多少人被传染？n轮后呢？
分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人.
(1+x)2+(1+x)2·x =(1+x)3
1+x+(1+x)·x =(1+x)2
经过三轮传染后共有 (1+10)3=1331（人）被传染.
经过n轮传染后共有__________个人被传染.
数量关系：第一轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)；第二轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)2；第三轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)3；第n轮传播后的数量 = 传播源×(1+每次传播人数)n；
传播问题：数量 b= a×(1+x)n
常见的传染问题：病毒感染问题、信息传播问题等，等量关系为：
传染源数量+第1轮+第2轮+……+第n轮=第n轮传染后的总数.
两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
（1）甲乙两种食品成本年平均下降额是多少？
甲种食品成本年平均下降额是：（10000-6000）÷2=2000（元），乙种食品成本年平均下降额是：（12000-7200）÷2=2400（元）.
乙种食品成本年平均下降额大
（2）平均下降额与下降率有什么不同？
平均下降额是指平均下降的数值，下降率是比值
下降率是下降的成本与前一年成本的比值.
下降后的量=下降前的量×（1 – 下降率）
（3）下降率是什么意思？它与前一年成本、本年成本之间有何数量关系？
（4）怎样比较哪种食品成本的年平均下降率较⼤?
可以分别求出两种食品品成本的年平均下降率，再进行比较.
设甲种食品成本的年平均下降率为 x .
可列方程： 10000(1–x)2=6000，
10000(1–x)2=6000
解方程，得：x1≈0.225，x2≈1.775.（不合题意舍去）
根据问题的实际意义，下降率不可为负，且不大于1.
答：甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%.
依题意，得 12000(1–y)2=7200，
解方程，得：y1≈0.225，y2≈1.774.（不合题意舍去）
答：乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%.
同理计算乙种食品成本的年平均下降率
结论： 两种食品成本的年平均下降率相等.
（6）年平均下降额大，平均下降率就大吗？
年平均下降额大，平均下降率不一定大
成本下降额较大的产品，其成本下降率不一定较大. 成本下降额表示绝对变化量，成本下降率表示下降的幅度，是相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变化状况.
关于平均增长（下降）率问题，设基数为a，平均增长（下降）率为x，增长（下降）n次后的量为b，则
某种传染病的传染速度很快.如果开始有2个人被传染，经过两轮传染后共有288人感染流感，求每轮平均每人传染的人数.
设每轮传染中平均一个人传染了 x 个人. 第一轮传染后有 人被传染. 第二轮传染中的传染源为 人， 第二轮传染后有 人被传染. 根据等量关系 “ ” 列出方程 . 整理方程 .
2x+2+x(2x+2)
两轮传染后，有288人被传染
2x+2+x(2x+2)=288
2(1+x)2=288
答：每轮平均每人传染11人
经过一轮传染总人数a（1+x）人
经过二轮传染总人数a（1+x）²人
某工厂2023年年生产总值为50万元，经过增产到2025年年生产总值为98万元，求平均每年增长的百分率.
解方程，得y1=0.4，y2 = -2.4.（不合题意舍去）
答：每年增长的百分率为40%.
例１.春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数．
例2.某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2020年利润为2亿元，2022年利润为3.92亿元．求该企业从2020年到2022年利润的年平均增长率．
例3.利客来超市销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售、增加盈利，该店采取了降价措施，经过一段时间销售，发现销售单价每降低2元，平均每天可多售出4件．(1)若降价6元，则平均每天销售数量为___________件；(2)为了让顾客更实惠，每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为1200元？
1. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是91，那么每个支干长出多少个小分支？
解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支.根据题意，得： 1+x+x2=91，解得 x1=9，x2= –10（舍去）.答：每个支干长出9个小分支.
树干问题中的基本数量关系：树干问题中主干长出n个支干，第二轮主干不再分支，n个支干进行分支，第二轮有n2个支干，总共有(1+n+n2)个支干.
2. 青山村所种水稻某年平均每公顷产 15000 kg，两年后平均每公顷产 18000 kg. 求水稻每公顷产量的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）
解：设水稻每公顷产量的年平均增长率为 x .根据题意，得 ：15000(1+x)2=18000. (1+x)2=1.2解得 x1≈ 0.10，x2 ≈ –2.10（不合题意，舍去），答：水稻每公顷产量的年平均增长率约为10%.
1．某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每每次下降的百分率相同.(1)求每次下降的百分率；(2)若每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，且要尽快减少库存，那么每千克应涨价多少元？
1．（2025•凉山州）某钢铁厂一月份生产钢铁560吨，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1860吨，若设月平均增长率为x，那么可列出的方程是（　　）A．560（1+x）2＝1860 B．560+560（1+x）+560（1+2x）＝1860C．560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860 D．560+560（1+2x）2＝1860
解：由题意可知，钢铁厂二月份生产钢铁560（1+x）吨， 三月份生产钢铁560（1+x）2吨，又∵该钢铁厂第一季度共生产钢铁1860吨，∴列方程为560+560（1+x）+560（1+x）2＝1860．
2．（2025•重庆）某景区2022年接待游客25万人，经过两年加大旅游开发力度，该景区2024年接待游客达到36万人，那么该景区这两年接待游客的年平均增长率为（　　）A．10%B．20% C．22% D．44%
解：设该景区这两年接待游客的年平均增长率为x，根据题意得：25（1+x）2＝36，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去），∴该景区这两年接待游客的年平均增长率为20%．
3．(2025•泸州)某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元．（1）求乙种商品每件进价的年平均下降率；（2）2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品．
解：（1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据题意得：125(1－x)2＝80，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝1.8(不符合题意，舍去)．答：乙种商品每件进价的年平均下降率为20%；
（2）设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品，根据题意得： (125－25×2)y＋80(100－y)≤7800，解得：y≥40，∴y的最小值为40． 答：最少购进40件甲种商品．
分析：设购进y件甲种商品，则购进(100－y)件乙种商品， 进货总价＝进货单价×购进数量， 进货总价 ≤ 7800元，
（1）动态建模思想：将生活中连续变化、裂变衰减的动态实际问题，抽象为固定的一元二次方程数学模型.（2）分步转化思想：复杂两轮变化问题，拆解为单轮变化逐一分析，化繁为简、化动态为静态.（3）对比归纳思想：对比增长率与下降率、初始1人与初始多人传播模型，归纳通用规律，构建系统化知识体系.（4）严谨验证思想：数学方程解需结合实际情境筛选，保证结果符合现实逻辑.
（1）传播：问题误区：混淆新增传染人数和两轮后总人数；死记公式，不会变通初始人数不为1的题型；忽略人数为正整数，不舍去负根.（2）下降率问题误区：增长、下降公式混用，下降率误用(1+x)列式；忘记百分率取值范围（0＜x＜1），保留不合理根.（3）通用误区：设元不规范，漏写“百分率”含义；解题步骤残缺，无检验、无完整作答；计算平方项时出现运算错误.
4. 2022年我国快递业务量是1105.8 亿件，2024 年增至1750.8 亿件，这两年的年平均增长率是多少（结果写成a% 的形式，其中 a 保留小数点后一位）？
解：设这两年的年平均增长率为 x .由题意，得： 1105.8(1+x)2=1750.8，解方程，得： x1≈-2.258（不合题意，舍去），x2≈0.258.答：这两年的年平均增长率为 25.8% .
7.如图，要为长 22cm，宽 29cm 的照片配相框，要求相框的四条边宽度相等，并且相框边的面积是照片面积的四分之一，相框边的宽度应是多少厘米（结果保留小数点后一位）
8.一个直角三角形的三边长均为正整数，斜边的长比一直角边的长大1，且比另一直角边的长大8，这样的直角三角形存在吗？如果存在，有多少个？
解：设直角三角形的斜边长为 x，则直角边长分别为(x–1)，(x–8).由题意，得：(x–1)2+(x–8)2=x2，解方程，得：x1=13，x2=5（不合题意，舍去）.答：这样的直角三角形只有1个，三边长分别为5，12，13.