初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程教学课件ppt

这是一份初中数学人教版（2024）九年级上册（2024）25.3 实际问题与一元二次方程教学课件ppt，共19页。PPT课件主要包含了思维导图，学习目标，素养学习目标，复习回顾，模型核心公式，适用场景，模型价值，传播问题模型概述，探索新知--传播问题，传播问题关键理解等内容，欢迎下载使用。
1.理解病毒、消息传播问题的指数增长模型.2.掌握增长率、下降率通用模型.3.能独立识别传播、增长率题型特征，准确列出一元二次方程并合理取舍根.4.通过列表推导每一轮传播人数，归纳指数增长规律，体会建模归纳思想.5.对比传播问题与平均变化率问题的公式异同，区分两类题型的应用场景.
解决实际问题的一般步骤：
1. 审：审清题意，明确已知条件和未知条件，找到它们之间的等量关系；2. 设：设未知数；3. 列：根据等量关系列出方程；4. 解：解方程；5. 检验：检验解在实际问题中是否有意义；6. 答：写出实际问题的答案.
通用建模六步法（审、设、列、解、验、答）是解决实际数学问题的系统性方法，每一步都至关重要，确保最终答案准确且符合实际.
模型通用公式为 a(1 + x)n = b，描述初始量、传播率、轮次与总量间的定量关系。
适用于病毒传播、信息扩散、细胞分裂及植物分支等事物数量随传播轮次增长的场景。
帮助清晰分析传播规律，解决实际问题，例如预测病毒在一定时间内的感染人数规模。
两轮传播总数计算容易出错，常见错误为1+x+x，正确应为(1+x)2。
错误理解是简单相加1+x+x，忽略了第二轮是在第一轮结果基础上传播。
第一轮后数量变为1+x，第二轮在此基础上传播，总数为(1+x)乘以(1+x)。
总数应为(1+x)2，因为每轮传播都是在前一轮结果上按比例x增加。
理解(1+x)2的推导过程，对于准确运用传播问题模型至关重要。
2.传播问题的关键理解 - 两轮传播
基于两轮传播，第三轮进一步扩展，总数呈立方增长。
总数量为(1+x)³，由(1+x)²乘以(1+x)推导得出。
掌握三轮计算，能全面分析传播过程中的数量变化。
三轮传播的总数公式为(1+x)³。其推导逻辑是：在两轮传播后数量为(1+x)²的基础上，第三轮传播继续以(1+x)的倍数增长，因此总数为(1+x)²乘以(1+x)，即(1+x)³。
每一轮传播都在前一轮的总数基础上进行。第一轮后为(1+x)，第二轮后为(1+x)²，第三轮则是在(1+x)²的基础上再次增长，体现了传播的指数级扩展特性。
理解三轮传播的计算方法至关重要。它使我们能够更精准地预测和评估多轮次信息或影响力扩散后的最终规模，为策略制定提供量化依据。
3.传播问题的关键理解 - 三轮传播
例1. 某种流感的传染速度很快. 如果开始有2个人被传染，经过两轮传染后共有800个人被传染，那么每轮传染中平均1个人传染了多少个人？
解：设每轮传染中平均1个人传染了 x 个人.
依题意，得 2(1+x)2=800，
解得 x1=19，x2= –21（不合题意，舍去）∴每轮传染中平均1个人传染了19个人.
“树干分支”模型是传播问题中的一种特殊结构，用于描述层级分支关系。
模型包含主干、支干和小分支，总数由公式 1 + x + x² 表示。
1代表主干，x为支干数量，x²为小分支数量，清晰展示数量关系。
适用于分析植物分支、网络节点扩展等问题，帮助理解分支结构。
4.传播问题的“树干分支”模型
例2. 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出与这些支干同样数目的小分支.如果主干、支干和小分支的总数是111，那么每个支干长出多少个小分支？
解：设这种植物每个支干长出 x 个小分支.根据题意，得 1+x+x2=111，解得 x1=10，x2= –11（舍去）.答：每个支干长出10个小分支.
增长公式 a(1 + x)^2 = b 用于描述平均变化率问题中的增长情况。
a 代表初始基数，x 是平均增长率，b 为最终总量，适用于两期变化。
广泛应用于经济和生产领域，如计算产值、产量等增长问题。
反映了事物数量在一定平均增长率下随时间增长的基本规律。
平均变化率问题的增长公式
探索新知--平均变化率1.
例3. 小河村所种小麦某年平均每公顷产 15000 kg，两年后平均每公顷产 18000 kg. 求小麦每公顷产量的年平均增长率（结果写成 a% 的形式，其中 a 保留小数点后两位）
解：设小麦每公顷产量的年平均增长率为 x .根据题意，知 15000(1+x)2=18000.解得 x1≈ 0.10，x2 ≈ –2.10（不合题意，舍去），答：小麦每公顷产量的年平均增长率约为10%.
描述连续变化过程中，单位时间内变化量的大小，是衡量变化快慢的重要指标。
针对连续两次下降问题，核心公式为 a(1 - x)² = b，其中a为原值，x为下降率，b为终值。
广泛应用于药品降价、成本控制等实际问题，通过已知原价和降幅，可计算最终售价。
2.平均变化率问题的下降公式
例4 两年前生产 1t 甲种食品的成本是 10000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 12000 元. 随着生产技术的进步，现在生产 1t 甲种食品的成本是 6000 元，生产 1t 乙种食品的成本是 7200 元. 哪种食品成本的年平均下降率较大？
解：设甲种食品成本的年平均下降率为 x .
依题意，得 10000(1–x)2=6000，
解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775.
答：根据问题的实际意义，甲种食品成本的年平均下降率约为22.5%.
解：设乙种食品成本的年平均下降率为 y .
依题意，得 12000(1–y)2=7200，
解方程，得y1≈0.225，y2≈1.774.
根据问题的实际意义，乙种食品成本的年平均下降率约为22.5%.
两种食品成本的年平均下降率相等.
1.某种植基地3月份蔬菜产量为80t，预计5月份蔬菜产量将达到100t，求蔬菜产量的月平均增长率.设蔬菜产量的月平均增长率为x，则可列方程为( ) A.801+x2=100 B.1001−x2=80C. 80(1+2x)=100 D.801+x2=100
2.某品牌手机原来每部售价为1999元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为1360元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是( ) A.1999x2=1360 B.19991−x2=1360 C.19991−x2=1360D. 1999(1-2x)=1360
5.平均变化率问题的增长公式
6.平均变化率问题的下降公式
1.有一个人收到短信后，再用手机转发短信息，每人只转发一次，经过两轮转发后，共有133人收到短信，问每轮转发中平均一个人转发给多少人?
解：解：设每轮转发中平均一个人转发给x人，则 1+x+x2=133,解得 x1=11,x2=−12.∵x>0, ∴x=11.答:每轮转发中平均一个人转发11人.