初中人教版（2024）15.1.1 轴对称及其性质测试题

这是一份初中人教版（2024）15.1.1 轴对称及其性质测试题，共9页。试卷主要包含了37，5B．5C．5，5，等内容，欢迎下载使用。
考试时间：120分钟 试卷满分：100分 难度系数：0.37
一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）
1．（2分）（2021秋•香河县校级期中）如图所示，△ABC是等边三角形，且AB＝BD，则∠ADC等于（ ）
A．120°B．135°C．145°D．150°
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠ABC＝60°，
∵AB＝BD，
∴AB＝BD＝CB，
∴∠BAD＝∠BDA，∠BDC＝∠BCD，
∵2∠ADB+∠ABD＝180°，2∠BDC+∠DBC＝180°，
∴2∠BDA+2∠BDC＝360°﹣60°，
∴∠ADB+∠BDC＝150°，
∴∠ADC＝150°．
故选：D．
2．（2分）（2021秋•香河县校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点E，则DF的长（ ）
A．4.5B．5C．5.5D．6
解：∵AB＝AC＝11，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠BAD＝∠BAC＝60°，AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴AD＝AB＝5.5，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝30°，
∵AB∥DF，
∴∠F＝∠BAE＝30°，
∴∠DAE＝∠F＝30°，
∴DA＝DF＝5.5，
故选：C．
3．（2分）（2021秋•鼓楼区校级期末）如图，点P为∠AOB内一点，分别作点P关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OB于M，交OA于N，P1P2＝15，则△PMN的周长为（ ）
A．16B．15C．14D．13
解：∵P点关于OB、OA的对称点为P1，P2，
∴P1M＝PM，P2N＝PN，
∴△PMN的周长＝MN+PM+PN＝MN+P1M+P2N＝P1P2，
∵P1P2＝15，
∴△PMN的周长为15．
故选：B．
4．（2分）（2020秋•碑林区校级期末）如图，在△ABC中，点A、B、C的坐标分别为（m，0）、（0，2）和（5，3）．则当△ABC的周长最小时，m的值为（ ）
A．0B．1C．2D．3
解：如图所示，做出B关于x轴对称点为B′，连接B′C，交x轴于点A'，此时△ABC周长最小
过点C作CH⊥x轴，过点B'作B'H⊥y轴，交CH于H，
∵B（0，2），
∴B′（0，﹣2），
∵C（5，3），
∴CH＝BH＝5，
∴∠CB'H＝45°，
∴∠BB'A'＝45°，
∴∠OB'A'＝∠OA'B'＝45°，
∴OB'＝OA'＝2，
则此时A'坐标为（2，0）．
m的值为2．
故选：C．
5．（2分）（2021秋•威宁县校级期中）如图，等边△AOB的边长为2，则点A的坐标为（ ）
A．（1，1）B．C．D．
解：如图，过A点作AD⊥OB于点D．
∵等边△AOB的边长为2，
∴OA＝OB＝AB＝2．
又∵AD⊥OB，
∴OD＝OB＝1．
在Rt△ADO中，∠ADO＝90°，
∴AD＝＝．
∴D（1，）．
故选：B．
6．（2分）（2021秋•宜秀区校级期末）在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
A．1B．7C．10D．15
解：如图，等边三角形AB边的垂直平分线上可作3个点P，
同理：AC、BC上也分别有3个点，另外，△ABC的外心也是满足条件的一个点，
所以，共有3+3+3+1＝10个．
故选：C．
7．（2分）（2022秋•槐荫区校级期末）如图，在直角坐标系xOy中，直线MN分别与x轴，y轴交于点M，N，且OM＝4，∠OMN＝30°，等边△AOB的顶点A，B分别在线段MN，OM上，点A的坐标为（ ）
A．（1，）B．（1，）C．（，1）D．（，）
解：∵直线MN分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点M、N，OM＝4，∠OMN＝30°，
∴∠ONM＝60°，
∵△AOB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，∠AMO＝30°，
∴∠OAM＝90°，
∴OA⊥MN，即△OAM为直角三角形，
∴OA＝OM＝×4＝2，
过点A作AC⊥OB于点C，
∴OC＝OA＝1，
∴AC＝，
∴点A的坐标为（1，）．
故选：A．
8．（2分）（2020秋•红谷滩区校级期中）如图，在直角坐标系xOy中，点A在y轴正半轴上，点B、C在x轴正半轴上，且∠BAC＝∠ACB＝30°，AC＝4，点D是x轴上的一个动点，点D关于直线AB、AC的对称点为E、F，则线段EF的最小值等于（ ）
A．2B．3C．4D．5
解：如图，连接AD，AE．AF．
由题意，AD＝AE＝AF，∠DAB＝∠BAE，∠DAC＝∠CAF，
∵∠BAC＝∠ACB＝30°，AC＝4，∠AOC＝90°，
∴OA＝AC＝2，∠OAC＝60°，∠CAE+∠EAB＝30°，
∴∠EAF＝∠CAE+∠CAF＝∠CAE+∠CAE+∠DAE＝2（∠CAE+∠BAE）＝60°，
∵AE＝AF，
∴△AEF是等边三角形，
轨迹垂线段最短可知，当点D与O重合时，AD的值最小，
∴AE的最小值＝OA＝2，
∴EF的最小值为2，
故选：A．
9．（2分）（2018秋•玉州区期末）四边形ABCD中，∠BAD＝122°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，当三角形AMN周长最小时，∠MAN的度数为（ ）
A．58°B．64°C．61°D．74°
解：如图，延长AB到A′使得BA′＝AB，延长AD到A″使得DA″＝AD，连接A′A″与BC、CD分别交于点M、N．
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，
∴A、A′关于BC对称，A、A″关于CD对称，
此时△AMN的周长最小，
∵BA＝BA′，MB⊥AB，
∴MA＝MA′，
同理：NA＝NA″，
∴∠A′＝∠MAB，∠A″＝∠NAD，
∵∠AMN＝∠A′+∠MAB＝2∠A′，∠ANM＝∠A″+∠NAD＝2∠A″，
∴∠AMN+∠ANM＝2（∠A′+∠A″），
∵∠BAD＝122°，
∴∠A′+∠A″＝180°﹣∠BAD＝58°，
∴∠AMN+∠ANM＝2×58°＝116°．
∴∠MAN＝180°﹣116°＝64°，
故选：B．
10．（2分）（2021秋•周村区校级期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（ ）
A．168°B．158°C．128°D．118°
解：如图，连接CE，
∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，
∴CA＝CB，CE＝CD，
∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，
∴∠ACB＝∠ECD＝36°，
∴∠ACE＝∠BCD，
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠AEC＝∠BDC，
设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，
∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，
∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，
故选：C．
二．填空题（共10小题，满分20分，每小题2分）
11．（2分）（2023春•和平县期末）如图，△ABC中，AB的垂直平分线交AC于D，已知AC＝10cm，BC＝7cm，则△BCD的周长是 17cm ．
解：∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD＝BD，
∵AC＝16cm，BC＝10cm，
∴△BCD的周长为：BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝7+10＝17（cm）．
故答案为：17cm．
12．（2分）（2023春•十堰期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（0，4）在y轴正半轴上，点B（﹣3，0）在x轴负半轴上，且AB＝5，点M坐标为（3，0），N点为线段OA上一动点，P为线段AB上一动点，则MN+NP的最小值为 ．
解：连接AM，
∵点A （0，4），点B（﹣3，0），点M坐标为（3，0），
∴OA＝4，OB＝3，OM＝3，
过M作MP⊥AB于P交OA于N，
则此时，MN+NP的值最小，且MN+NP的最小值＝MP，
∵S△ABM＝AB•PM＝OA•MB，BM＝6,OA＝4,AB＝5,
∴PM＝＝＝．
故答案为：．
13．（2分）（2022秋•宛城区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝BC，，边BC的垂直平分线为l，点D是边AC的中点，点P是l上的动点，当PC+PD取最小值4时，则AC＝ 3cm ．
解：∵l垂直平分边BC，点P是l上的一点，
∴PB＝PC，
∴PC+PD＝PB+PD，
当B、P、D三点共线时，PB+PD＝BD，
∵△ABC中，AB＝BC，点D是边AC的中点，
∴BD⊥AC，此时PB+PD的值最小，
∵PC+PD的最小值为4，
∴PB+PD的值最小值为4，即BD＝4．
∵，
∴，
∴AC＝3．
故答案为：3cm．
14．（2分）（2022秋•雁塔区校级期末）如图，△ABC中，AC＝DC＝3，BD垂直∠BAC的角平分线于D，E为AC的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值为 ．
解：延长BD交AC于点H．设AD交BE于点O．
∵AD⊥BH，
∴∠ADB＝∠ADH＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠H+∠HAD＝90°，
∵∠BAD＝∠HAD，
∴∠ABD＝∠H，
∴AB＝AH，
∵AD⊥BH，
∴BD＝DH，
∵DC＝CA，
∴∠CDA＝∠CAD，
∵∠CAD+∠H＝90°，∠CDA+∠CDH＝90°，
∴∠CDH＝∠H，
∴CD＝CH＝AC，
∵AE＝EC，
∴S△ABE＝S△ABH，S△CDH＝S△ABH，
∵S△OBD−S△AOE＝S△ADB−S△ABE＝S△ADH−S△CDH＝S△ACD，
∵AC＝CD＝3，
∴当DC⊥AC时，△ACD的面积最大，最大面积为×3×3＝．
故答案为：．
15．（2分）（2022秋•天山区校级期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，点E、F在AD上，若△ABC的面积为16cm2，则图中阴影部分的面积为 8 cm2．
解：∵AB＝AC，AD⊥DC，
∴BD＝CD，
∴S△BEF＝S△CEF，
∴S阴影部分＝S△ABD＝S△ABC＝×16＝8（cm2）．
故答案为：8．
16．（2分）（2022秋•沙坪坝区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣2，2），B（﹣5，5）是第二象限角平分线上的两点，点C的纵坐标为2，且CA＝CB，在y轴上取一点D，连接AC，BC，AD，BD，使得四边形ACBD的周长最小，则周长的最小值为 6+ ．
解：∵点A（﹣2，2），点C的纵坐标为2，
∴AC∥x轴，
∴∠BAC＝45°，
∵CA＝CB，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°，
∴∠C＝90°，
∵B（﹣5，5），
∴C（﹣5，2），
∴AC＝BC＝3，
如图，作点A关于y轴的对称点A′，
连接A′B交y轴于D′，
此时，四边形ACBD的周长最小，这个最小周长的值＝AC+BC+A′B，
∵AC＝BC＝3，AA′＝4，
∴A′C＝3+4＝7，
∴A′B＝＝＝，
∴最小周长的值＝AC+BC+A′B＝6+，
故答案为：6+．
17．（2分）（2022秋•邹城市校级期末）如图，点B在射线AN上，以AB为边作等边△ABC，M为AN中点，且AN＝4，P为BC中点，当PM+PN最小时，AB＝ ．
解：如图，在AC边上截取CM′＝BM，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠C＝∠CBA＝60°，
∵P为BC中点，
∴CP＝BP，
在△CPM′和△BPM中，
，
∴△CPM′≌△BPM（SAS），
∴PM′＝PM，
∴PM+PN＝PM′+PN，
∵PM′+PN≥M′N，
当NM′⊥AC时，NM′最小，
∴NM′＝AM′＝2，即PM+PN最小为2，
如图，作PM′⊥AC于点M′，作PM″⊥AB于点M″，连接AP，
∵△ABC是等边三角形，P为BC中点，
∴PM′＝PM″，∠PAM′＝30°，
∵AM′＝AM″＝2，
∴PM″＝PM′＝2×＝，
∵∠PBM″＝60°，
∴BM″＝，
∴AB＝AM″+BM″＝2+＝．
故答案为：．
18．（2分）（2022秋•海安市期中）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝6，D是线段AB上一个动点，以BD为边在△ABC外作等边△BDE．若F是DE的中点，当CF取最小值时，△BDE的周长为 18 ．
解：连接BF，过点C作CH⊥BF．交BF的延长线于H，
∵△BDE是等边三角形，点F是DE的中点，
∴∠ABF＝30°，
∴点F在射线BF上运动，
当点F与点H重合时，CF最小，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，
∴∠A＝60°，AB＝2AC＝12，
∵∠ABF＝30°，
∴∠BD'H＝∠AD'C＝60°，
∴△ACD'是等边三角形，
∴AD'＝AC＝6，
∴BD'＝AB﹣AD'＝12﹣6＝6，
∴△BDE的周长为：18，
故答案为：18．
19．（2分）（2022秋•千山区期中）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，∠AOB＝30°，则△PMN周长的最小值＝ 5cm ．
解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OP、OC、OD、PM、PN．
∵点P关于OA的对称点为C，关于OB的对称点为D，
∴PM＝CM，OP＝OC，∠COA＝∠POA；
∵点P关于OB的对称点为D，
∴PN＝DN，OP＝OD，∠DOB＝∠POB，
∴OC＝OD＝OP＝5cm，∠COD＝∠COA+∠POA+∠POB+∠DOB＝2∠POA+2∠POB＝2∠AOB＝60°，
∴△COD是等边三角形，
∴CD＝OC＝OD＝5cm．
∴△PMN的周长的最小值＝PM+MN+PN＝CM+MN+DN≥CD＝5cm．
故答案为5cm；
20．（2分）（2022春•汉寿县期末）如图，在等腰△ABC中，底边BC的长为5cm，面积是20cm2，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E，F，若点D为边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则BM+DM的最小值为 8 cm．
解：连接AD，
∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC•AD＝×5×AD＝20，解得AD＝8，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为BM+MD的最小值，
∴△CDM周长的最小值＝（BM+MD）+CD＝AD＝8．
故答案为：8．
三．解答题（共9小题，满分60分）
21．（6分）（2022秋•龙岩期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且CA＝CD．求证：∠B＝∠ACD．
证明：法一：∵CA＝CD，
∴．
△ABC中，∠ACB＝90°，
∴．
法二：过点C作CE⊥AB于E，
∵CA＝CD，，
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠A＝90°，∠B+∠A＝90°，
∴．
22．（6分）（2022秋•宁波期末）将一副三角板按如图方式叠放在一起，两直角顶点重合于点O．
（1）求∠AOD+∠BOC的度数；
（2）当AB的中点E恰好落在CD的中垂线上时，求∠AOC的度数．
解：（1）∵∠BOC＝∠AOB+∠COD﹣∠AOD，
∴∠AOD+∠BOC＝∠AOB+∠COD＝90°+90°＝180°；
（2）连接OE，
∵OE是CD的中垂线，
∴∠COE＝45°．
又∵E是AB的中点，
∴OE＝AB＝AE，
∴∠AOE＝∠A＝60°，
∴∠AOC＝∠AOE﹣∠COE＝15°．
23．（6分）（2022秋•青岛期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A（0，1），B（2，0），C（4，4）均在正方形网格的格点上．
（1）画出△ABC关于x轴对称的图形△A1B1C1并写出顶点A1，B1，C1的坐标；
（2）已知P为y轴上一点，若△ABP与△ABC的面积相等，请直接写出点P的坐标．
解：（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1如图所示．
△A1B1C1顶点坐标为：A1（0，﹣1），B1（2，0），C1（4，﹣4）．
（2）设P（0，m），
由题意，|1﹣m|×2＝××2，
解得m＝6或﹣4，
∴点P的坐标为（0，6）或（0，﹣4）．
24．（6分）（2022秋•开福区校级期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．
（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；
（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的长．
（1）证明：∵CD是∠ACB的平分线，∴∠BCD＝∠ACD，
∵DE∥BC，∴∠BCD＝∠EDC，∴∠EDC＝∠ACD，∴ED＝EC，
即△CDE是等腰三角形；
（2）解：∵DE∥BC，∠ABC＝30°
，∴∠ADE＝∠ABC＝30°，
又∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE＝30°，
由（1）可知，∠ACD＝∠BCD＝∠CDE＝30°，
∵BF＝DF，
∴∠B＝∠BDF＝30°，
∴∠DFC＝30°+30°＝60°，
在Rt△DFC中，∠FDC＝90°，∠FCD＝30°，
∴，
又∵DF＝BF，BC＝12，
∴．
25．（6分）（2023•陇南模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，4），B（﹣4，1），C（﹣1，2）．
（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1（点A，B，C的对应点分别为点A1，B1，C1，），并直接写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）点D在x轴上，使得BD＝CD，仅用无刻度的直尺作出点D；（不写作法，保留作图痕迹）
（3）点P在y轴上，使得△ACP的周长最小，作出点P．（不写作法，保留作图痕迹）
解：（1）如图，△A1B1C1即为所求；
∴A1（3，4），B1（4，1），C1（1，2）；
（2）如图，点D即为所求；
（3）如图，点P即为所求．
26．（6分）（2022秋•嵩县期末）在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前刘老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：
①AB＝DC； ②∠ABE＝∠DCE； ③AE＝DE； ④∠A＝∠D
小明同学闭上眼睛从四张纸片中随机抽取一张，再从剩下的纸片中随机抽取另一张．请结合图形解答下列两个问题：
（1）请你写出在抽取的两张纸片上的等式为条件不能判断△BCE是等腰三角形的所有情形：
①③；②④ ；（用序号表示）
（2）当抽得①和②时，用①，②作为条件能判定△BCE是等腰三角形吗？说说你的理由．
解：（1）若使△BEC为等腰三角形，即求解BE＝CE即可．
若抽取的两张为①②，则可得出△ABE≌△DCE，∴BE＝EC；
若是①③，AE＝DE，AB＝CD，并不能得出△ABE≌△DCE，∴这种情况不成立；
若是①④，则可得出△ABE≌△DCE，∴BE＝EC；
若是②③，同样可得△ABE≌△DCE，∴BE＝EC；
若是②④，三个角相等，但边长并不一定相等，则不成立，
若是③④，同样可得BE＝EC．
故答案为：①③；②④．
（2）用①，②作为条件能判定△BCE是等腰三角形．
∵AB＝DC，∠ABE＝∠DCE，
又∵∠AEB＝∠DEC
∴△ABE≌△DCE（AAS），
∴BE＝EC，即△BCE是等腰三角形．
27．（8分）（2021春•西乡县期末）如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，过点D作DE⊥AB于E交BC边延长线于F，AE＝1，求BF的长．
解：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，
∴∠A＝∠ACB＝60°，AC＝BC，AD＝CD＝AC，
∵DE⊥AB于E，
∴∠ADE＝90°﹣∠A＝30°，
∴CD＝AD＝2AE＝2，
∴∠CDF＝∠ADE＝30°，
∴∠F＝∠ACB﹣∠CDF＝30°，
∴∠CDF＝∠F，
∴DC＝CF，
∴BF＝BC+CF＝2AD+AD＝6．
（8分）（2021秋•雨花区校级月考）已知△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE平分∠ADC，DE∥BC．

（1）如图1，如果点E是边AC的中点，AC＝10，求DE的长；
（2）在（1）的条件下，求证：△ADC是等腰三角形．
（3）如图2，若∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝18，求DF的长．
（1）解∵DE平分∠ADC，CD平分∠ACB，
∴∠ADE＝∠CDE，∠ACD＝∠BCD，
∵DE∥BC，
∴∠EDC＝∠DCB＝∠EC D，
∴DE＝EC，
∵E是AC中点，
∴DE＝EC＝AC＝5．
（2）证明：延长DE到G使EG＝DE，
∵∠AEG＝∠DEC，AE＝EC，
∴△AEG≌△CED（SAS），
∴AG＝DC，∠G＝∠CDE，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠G＝∠ADE，
∴AD＝AG，
∴AD＝DC，
∴△ADC是等腰三角形．
（3）∵BF＝DF，
∴∠BDF＝∠B＝30°，
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝30°，
∵DE平分∠ADC，
∴∠EDC＝∠ADE＝30°，
∴∠FDC＝90°，
∵∠DCF＝∠EDC＝30°，
∴DF＝FC，
∴DF＝BC＝×18＝6．
29．（8分）（2022秋•明水县校级期末）（1）如图①，在△ABC中，BF，CF分别平分∠ABC，∠ACB，过点F作直线平行于BC，分别交AB，AC于点D，E，求证：DE＝BD+CE；
（2）如图②，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE，DB，EC之间有何数量关系？证明你的猜想．
（1）证明：∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，
∴∠1＝∠2，∠5＝∠4．
∵DE∥BC，∴∠2＝∠3，∠4＝∠6．
∴∠1＝∠3，∠6＝∠5．
根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD＝DF，EF＝CE．
∴DE＝DF+EF＝BD+CE；
（2）DE+EC＝BD．
证明：∵BF分∠ABC，
∴∠DBF＝∠FBC．
∵DF∥BC，∴∠DFB＝∠FBC．
∴∠ABF＝∠DFB，
∴BD＝DF．
∵CF平分∠ACG，
∴∠ACF＝∠FCG．
∵DF∥BC，
∴∠DFC＝∠FCG．
∴∠ACF＝∠DFC，
∴CE＝EF．
∴EF+DE＝DF，即DE+EC＝BD．